量子力学 16 算符运算、对易式、算符函数、薛定谔绘景和海森堡绘景

量子力学 16 算符运算规则总结

[1 算符运算总结](#1 算符运算总结)
[2 对易式总结](#2 对易式总结)
[3 算符函数](#3 算符函数)
[4 两种绘景](#4 两种绘景)
- 薛定谔绘景
- 海森堡绘景
参考资料

1 算符运算总结

算符作用于左矢要取厄米共轭：
⟨ ψ ∣ A ^ ∣ ψ ⟩ = ⟨ ψ ∣ A ^ ψ ⟩ = ⟨ A ^ † ψ ∣ ψ ⟩ \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle = \langle\psi|\hat{A}\psi\rangle = \langle\hat{A}^\dagger\psi|\psi\rangle ⟨ψ∣A^∣ψ⟩=⟨ψ∣A^ψ⟩=⟨A^†ψ∣ψ⟩
算符乘积：
( A ^ B ^ ) ψ = A ^ ( B ^ ψ ) (\hat{A}\hat{B})\psi = \hat{A}(\hat{B}\psi) (A^B^)ψ=A^(B^ψ)
算符乘积的转置：
( A ^ B ^ ) T = B ^ T A ^ T (\hat{A}\hat{B})^T = \hat{B}^T \hat{A}^T (A^B^)T=B^TA^T ，算符乘积的复共轭：
( A ^ B ^ ) ∗ = A ^ ∗ B ^ ∗ (\hat{A}\hat{B})^* = \hat{A}^* \hat{B}^* (A^B^)∗=A^∗B^∗
算符乘积的厄米共轭：
( A ^ B ^ ) † = B ^ † A ^ † (\hat{A}\hat{B})^\dagger = \hat{B}^\dagger \hat{A}^\dagger (A^B^)†=B^†A^†
算符的逆：
$A \^ , A \^ − 1 \] = 0 , ( A \^ B \^ ) − 1 = B \^ − 1 A \^ − 1 \[\\hat{A}, \\hat{A}\^{-1}\] = 0, \\quad (\\hat{A}\\hat{B})\^{-1} = \\hat{B}\^{-1} \\hat{A}\^{-1} \[A\^,A\^−1\]=0,(A\^B\^)−1=B\^−1A\^−1$

$A \^ , B \^ \] ≡ A \^ B \^ − B \^ A \^ \[\\hat{A},\\hat{B}\] \\equiv \\hat{A}\\hat{B} - \\hat{B}\\hat{A} \[A\^,B\^\]≡A\^B\^−B\^A\^， { A \^ , B \^ } ≡ A \^ B \^ + B \^ A \^ \\{ \\hat{A}, \\hat{B} \\} \\equiv \\hat{A} \\hat{B} + \\hat{B} \\hat{A} {A\^,B\^}≡A\^B\^+B\^A\^$
$A \^ , A \^ \] = 0 , \[ A \^ , c \] = 0 ( c 为普通的数 ) \[\\hat{A},\\hat{A}\] = 0,\\quad \[\\hat{A},c\] = 0 \\quad (c\\text{ 为普通的数}) \[A\^,A\^\]=0,\[A\^,c\]=0(c 为普通的数)$ $A \^ , B \^ + C \^ \] = \[ A \^ , B \^ \] + \[ A \^ , C \^ \] , \[ A \^ + B \^ , C \^ \] = \[ A \^ , C \^ \] + \[ B \^ , C \^ \] \[\\hat{A},\\hat{B}+\\hat{C}\] = \[\\hat{A},\\hat{B}\] + \[\\hat{A},\\hat{C}\],\\quad \[\\hat{A}+\\hat{B},\\hat{C}\] = \[\\hat{A},\\hat{C}\] + \[\\hat{B},\\hat{C}\] \[A\^,B\^+C\^\]=\[A\^,B\^\]+\[A\^,C\^\],\[A\^+B\^,C\^\]=\[A\^,C\^\]+\[B\^,C\^$
$A \^ B \^ , C \^ \] = A \^ \[ B \^ , C \^ \] + \[ A \^ , C \^ \] B \^ , \[ A \^ , B \^ C \^ \] = \[ A \^ , B \^ \] C \^ + B \^ \[ A \^ , C \^ \] \[\\hat{A}\\hat{B},\\hat{C}\] = \\hat{A}\[\\hat{B},\\hat{C}\] + \[\\hat{A},\\hat{C}\]\\hat{B},\\quad \[\\hat{A},\\hat{B}\\hat{C}\] = \[\\hat{A},\\hat{B}\]\\hat{C} + \\hat{B}\[\\hat{A},\\hat{C}\] \[A\^B\^,C\^\]=A\^\[B\^,C\^\]+\[A\^,C\^\]B\^,\[A\^,B\^C\^\]=\[A\^,B\^\]C\^+B\^\[A\^,C\^$
基本对易关系：
$r \^ i , p \^ j \] = i ℏ δ i j , \[\\hat{r}_i, \\hat{p}_j\] = i\\hbar \\delta_{ij}, \[r\^i,p\^j\]=iℏδij,$ $r \^ i , r \^ j \] = 0 , \[ p \^ i , p \^ j \] = 0 , \[\\hat{r}_i, \\hat{r}_j\] = 0, \\quad \[\\hat{p}_i, \\hat{p}_j\] = 0, \[r\^i,r\^j\]=0,\[p\^i,p\^j\]=0,$ $L \^ i , L \^ j \] = i ℏ L \^ k ε i j k , \[\\hat{L}_i, \\hat{L}_j\] = i\\hbar \\hat{L}_k \\varepsilon_{ijk}, \[L\^i,L\^j\]=iℏL\^kεijk,$ $L \^ i , r \^ j \] = i ℏ r \^ k ε i j k , \[\\hat{L}_i, \\hat{r}_j\] = i\\hbar \\hat{r}_k \\varepsilon_{ijk}, \[L\^i,r\^j\]=iℏr\^kεijk,$ $L \^ i , p \^ j \] = i ℏ p \^ k ε i j k , \[\\hat{L}_i, \\hat{p}_j\] = i\\hbar \\hat{p}_k \\varepsilon_{ijk}, \[L\^i,p\^j\]=iℏp\^kεijk,$ $L \^ 2 , L \^ z \] = 0 , \[ L \^ 2 , L \^ x \] = 0 , \[ L \^ 2 , L \^ y \] = 0 \[\\hat{L}\^2, \\hat{L}_z\] = 0, \\quad \[\\hat{L}\^2, \\hat{L}_x\] = 0, \\quad \[\\hat{L}\^2, \\hat{L}_y\] = 0 \[L\^2,L\^z\]=0,\[L\^2,L\^x\]=0,\[L\^2,L\^y\]=0$
算符函数的定义（泰勒展开）：
f ( A ^ ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! A ^ n f(\hat{A}) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \hat{A}^n f(A^)=n=0∑∞n!f(n)(0)A^n
典型例子：算符指数函数
e A ^ = 1 + A ^ + 1 2 ! A ^ 2 + 1 3 ! A ^ 3 + ⋯ e^{\hat{A}} = 1 + \hat{A} + \frac{1}{2!}\hat{A}^2 + \frac{1}{3!}\hat{A}^3 + \cdots eA^=1+A^+2!1A^2+3!1A^3+⋯
对易关系：
$A \^ , e A \^ \] = 0 \[\\hat{A}, e\^{\\hat{A}}\] = 0 \[A\^,eA\^\]=0$

我们将指数函数 e a d d x e^{a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}} eadxd 按照泰勒级数定义展开成算符形式： e a d d x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( a d d x ) n = 1 + a d d x + a 2 2 ! d 2 d x 2 + a 3 3 ! d 3 d x 3 + ... e^{a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \left( a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \right)^n = 1 + a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} + \frac{a^2}{2!}\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} + \frac{a^3}{3!}\frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}x^3} + \dots eadxd=n=0∑∞n!1(adxd)n=1+adxd+2!a2dx2d2+3!a3dx3d3+...

作用在波函数 ψ ( x ) \psi(x) ψ(x) 上：
U x ( a ) ψ ( x ) = ψ ( x ) + a ψ ′ ( x ) + a 2 2 ! ψ ′ ′ ( x ) + ... U_x(a)\psi(x) = \psi(x) + a\psi'(x) + \frac{a^2}{2!}\psi''(x) + \dots Ux(a)ψ(x)=ψ(x)+aψ′(x)+2!a2ψ′′(x)+...

我们观察数学中函数 ψ \psi ψ 在变量 x x x 处关于增量 a a a 的泰勒展开：

如果我们要计算 ψ ( x + a ) \psi(x+a) ψ(x+a)，将其在 x x x 点展开，公式为： ψ ( x + a ) = ∑ n = 0 ∞ ( ( x + a ) − x ) n n ! ψ ( n ) ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n n ! ψ ( n ) ( x ) \psi(x+a) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{( (x+a) - x )^n}{n!} \psi^{(n)}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^n}{n!} \psi^{(n)}(x) ψ(x+a)=n=0∑∞n!((x+a)−x)nψ(n)(x)=n=0∑∞n!anψ(n)(x)写开来就是： ψ ( x + a ) = ψ ( x ) + a ψ ′ ( x ) + a 2 2 ! ψ ′ ′ ( x ) + a 3 3 ! ψ ′ ′ ′ ( x ) + ... \psi(x+a) = \psi(x) + a \psi'(x) + \frac{a^2}{2!} \psi''(x) + \frac{a^3}{3!} \psi'''(x) + \dots ψ(x+a)=ψ(x)+aψ′(x)+2!a2ψ′′(x)+3!a3ψ′′′(x)+...

此外还有空间旋转生成元、时间平移生成元。

4 两种绘景

薛定谔绘景

力学量算符的期望值和概率分布是含时的，即随 t t t 演化。其变化是由于态矢 Ψ \Psi Ψ 随时间演化为 Ψ ( t ) \Psi(t) Ψ(t)，而力学量算符本身不变： ⟨ Q ^ ⟩ ( t ) = ⟨ Ψ ( t ) ∣ Q ^ ∣ Ψ ( t ) ⟩ \langle \hat{Q} \rangle(t) = \langle \Psi(t) | \hat{Q} | \Psi(t) \rangle ⟨Q^⟩(t)=⟨Ψ(t)∣Q^∣Ψ(t)⟩

这种观点称为薛定谔绘景。
态矢 Ψ ( t ) \Psi(t) Ψ(t) 随时间演化，其演化遵循薛定谔方程：
i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( t ) = H ^ Ψ ( t ) i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(t) = \hat{H}\Psi(t) iℏ∂t∂Ψ(t)=H^Ψ(t)
我们令 Ψ ( t ) = U ^ ( t , 0 ) Ψ ( t = 0 ) \Psi(t) = \hat{U}(t,0)\Psi(t=0) Ψ(t)=U^(t,0)Ψ(t=0)，称 U ^ \hat{U} U^ 为时间演化算符 。其具体形式为：
U ^ ( t , 0 ) = e − i H ^ t / ℏ \hat{U}(t,0) = e^{-i\hat{H}t/\hbar} U^(t,0)=e−iH^t/ℏ
则力学量期望值在薛定谔绘景下应表示为：
⟨ F ^ ⟩ = ⟨ Ψ ( t ) ∣ F ^ ∣ Ψ ( t ) ⟩ = ⟨ U ^ ( t , 0 ) Ψ ( 0 ) ∣ F ^ ∣ U ^ ( t , 0 ) Ψ ( 0 ) ⟩ \langle \hat{F} \rangle = \langle \Psi(t) | \hat{F} | \Psi(t) \rangle = \langle \hat{U}(t,0)\Psi(0) | \hat{F} | \hat{U}(t,0)\Psi(0) \rangle ⟨F^⟩=⟨Ψ(t)∣F^∣Ψ(t)⟩=⟨U^(t,0)Ψ(0)∣F^∣U^(t,0)Ψ(0)⟩

海森堡绘景

与薛定谔绘景相对的一种观点，认为力学量期望值随时间的变化完全是因为力学量算符本身随时间变化 F ^ ( t ) \hat{F}(t) F^(t)，而态矢 Ψ \Psi Ψ 并不变。
在海森堡绘景下，力学量期望值应为：
⟨ F ^ ⟩ = ⟨ Ψ ∣ F ^ ( t ) ∣ Ψ ⟩ = ⟨ Ψ ( 0 ) ∣ U ^ † ( t , 0 ) F ^ U ^ ( t , 0 ) ∣ Ψ ( 0 ) ⟩ \langle \hat{F} \rangle = \langle \Psi | \hat{F}(t) | \Psi \rangle = \langle \Psi(0) | \hat{U}^\dagger(t,0)\hat{F}\hat{U}(t,0) | \Psi(0) \rangle ⟨F^⟩=⟨Ψ∣F^(t)∣Ψ⟩=⟨Ψ(0)∣U^†(t,0)F^U^(t,0)∣Ψ(0)⟩
所以算符随时间的演化满足：
F ^ ( t ) = U ^ † ( t , 0 ) F ^ ( 0 ) U ^ ( t , 0 ) \hat{F}(t) = \hat{U}^\dagger(t,0)\hat{F}(0)\hat{U}(t,0) F^(t)=U^†(t,0)F^(0)U^(t,0)
两种绘景是等价的。力学量期望值如何变化是客观的实验事实，不取决于绘景的选取。

参考资料

【兰兰的不自量力】量子力学考研教学视频16：算符运算规则总结
《量子力学概论》格里菲斯