【数据结构与算法】第19篇：树与二叉树的基础概念

一、什么是树

1.1 树的定义

树是 n（n ≥ 0）个节点的有限集合。当 n = 0 时称为空树。任意非空树满足：

有且仅有一个根节点
其余节点可分为 m 个互不相交的子树

现实中的例子：文件系统、公司组织架构、网页DOM树。

1.2 树的术语

画一棵树来理解：

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         A          ← 根节点
       / | \
      B  C  D       ← 子树
     / \    |
    E   F   G       ← 叶子节点

术语	说明	示例
根节点	树的最顶层节点	A
父节点	直接上层节点	A是B、C、D的父节点
子节点	直接下层节点	B、C、D是A的子节点
兄弟节点	同一父节点的节点	B、C、D互为兄弟
叶子节点	没有子节点的节点	E、F、G
度	节点拥有的子节点个数	A的度是3，B的度是2
树的度	所有节点度的最大值	树的度是3
深度	从根到该节点的层数（根深度为1）	B的深度是2
高度	从该节点到最远叶子的距离	A的高度是3

二、二叉树

2.1 二叉树的定义

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构，子树分为左子树和右子树，左右有序。

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typedef struct TreeNode {
    int data;
    struct TreeNode *left;
    struct TreeNode *right;
} TreeNode;

2.2 二叉树的特点

每个节点最多有两棵子树
左右子树有顺序，不能颠倒
二叉树可以是空树

2.3 特殊的二叉树

满二叉树：所有分支节点都有左右子树，且所有叶子节点都在同一层。

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完全二叉树：除了最后一层，其他层都是满的，且最后一层的叶子节点都靠左排列。

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2.4 二叉树的性质

性质	内容
性质1	第 i 层最多有 2^(i-1) 个节点
性质2	深度为 k 的二叉树最多有 2^k - 1 个节点
性质3	叶子节点数 = 度为2的节点数 + 1
性质4	n 个节点的完全二叉树深度为 ⌊log₂n⌋ + 1

性质3的推导：

设 n0 为叶子节点数，n1 为度为1的节点数，n2 为度为2的节点数
总节点数：n = n0 + n1 + n2
总边数：n - 1 = n1 + 2n2
相减得：n0 = n2 + 1

三、二叉树的顺序存储

3.1 存储方式

用数组存储二叉树，按完全二叉树的编号规则，将节点放入数组对应位置。

编号规则（根节点编号为1）：

编号 i 的左孩子：2i
编号 i 的右孩子：2i + 1
编号 i 的父节点：⌊i/2⌋

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        1(0)
       /    \
    2(1)    3(2)
   /   \    /
 4(3) 5(4) 6(5)

数组存储：[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]
下标：    0  1  2  3  4  5  6

3.2 顺序存储的优缺点

优点：

随机访问，通过下标快速定位节点
适合满二叉树和完全二叉树

缺点：

空间浪费：非完全二叉树会留下大量空位
插入删除不方便

3.3 代码实现

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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX_SIZE 100

typedef struct {
    int data[MAX_SIZE];
    int size;  // 实际节点个数
} SeqBinaryTree;

// 初始化
void initTree(SeqBinaryTree *tree) {
    for (int i = 0; i < MAX_SIZE; i++) {
        tree->data[i] = 0;  // 0表示空节点
    }
    tree->size = 0;
}

// 设置根节点
void setRoot(SeqBinaryTree *tree, int value) {
    tree->data[1] = value;
    tree->size = 1;
}

// 设置左孩子（父节点索引为p，从1开始）
void setLeft(SeqBinaryTree *tree, int parent, int value) {
    int idx = parent * 2;
    if (idx >= MAX_SIZE) {
        printf("索引越界\n");
        return;
    }
    tree->data[idx] = value;
    if (idx > tree->size) tree->size = idx;
}

// 设置右孩子
void setRight(SeqBinaryTree *tree, int parent, int value) {
    int idx = parent * 2 + 1;
    if (idx >= MAX_SIZE) {
        printf("索引越界\n");
        return;
    }
    tree->data[idx] = value;
    if (idx > tree->size) tree->size = idx;
}

// 获取左孩子
int getLeft(SeqBinaryTree *tree, int parent) {
    int idx = parent * 2;
    if (idx > tree->size) return 0;
    return tree->data[idx];
}

// 获取右孩子
int getRight(SeqBinaryTree *tree, int parent) {
    int idx = parent * 2 + 1;
    if (idx > tree->size) return 0;
    return tree->data[idx];
}

// 获取父节点
int getParent(SeqBinaryTree *tree, int child) {
    if (child <= 1) return 0;
    int idx = child / 2;
    return tree->data[idx];
}

// 打印树（按层）
void printTree(SeqBinaryTree *tree) {
    printf("二叉树数组存储（下标从1开始）：\n");
    for (int i = 1; i <= tree->size; i++) {
        if (tree->data[i] != 0) {
            printf("data[%d]=%d", i, tree->data[i]);
            // 打印父节点信息
            if (i > 1) {
                printf(" (父节点: %d)", getParent(tree, i));
            }
            printf("\n");
        }
    }
}

int main() {
    SeqBinaryTree tree;
    initTree(&tree);
    
    // 构建一个完全二叉树
    setRoot(&tree, 1);
    setLeft(&tree, 1, 2);
    setRight(&tree, 1, 3);
    setLeft(&tree, 2, 4);
    setRight(&tree, 2, 5);
    setLeft(&tree, 3, 6);
    
    printTree(&tree);
    
    printf("\n节点2的左孩子: %d\n", getLeft(&tree, 2));
    printf("节点3的右孩子: %d\n", getRight(&tree, 3));
    printf("节点6的父节点: %d\n", getParent(&tree, 6));
    
    return 0;
}

运行结果：

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二叉树数组存储（下标从1开始）：
data[1]=1
data[2]=2 (父节点: 1)
data[3]=3 (父节点: 1)
data[4]=4 (父节点: 2)
data[5]=5 (父节点: 2)
data[6]=6 (父节点: 3)

节点2的左孩子: 4
节点3的右孩子: 0
节点6的父节点: 3

四、满二叉树与完全二叉树的性质

4.1 满二叉树

性质	说明
节点数	深度为k，节点数 = 2^k - 1
叶子节点	都在最后一层，叶子数 = 2^(k-1)
度为1的节点	0个

4.2 完全二叉树

性质	说明
节点数	深度为k，节点数在 $2\^(k-1), 2\^k-1$ 之间
叶子节点	只能在最后两层
顺序存储	适合用数组存储，没有空间浪费

完全二叉树的顺序存储特点：

按层序遍历的顺序存入数组
下标 i 的节点，左孩子下标 2i，右孩子下标 2i+1
如果 2i > n，则没有左孩子
如果 2i+1 > n，则没有右孩子

五、二叉树与树的区别

对比项	树	二叉树
节点度数	无限制	最多2
子树顺序	无序	有序（左右区分）
空树	通常不允许	允许

六、小结

这一篇我们学习了树和二叉树的基础概念：

要点	说明
树术语	根、叶子、度、深度、高度
二叉树	每个节点最多两个子节点，左右有序
满二叉树	所有层满，节点数 2^k-1
完全二叉树	最后一层靠左排列，适合数组存储
顺序存储	用数组下标模拟父子关系：2i, 2i+1

核心公式：

第i层最多节点数：2^(i-1)
深度k的二叉树最多节点数：2^k - 1
叶子节点数 = 度为2的节点数 + 1

下一篇我们讲二叉树的链式存储和四种遍历方式。

七、思考题

一棵完全二叉树有100个节点，它的叶子节点有多少个？
一棵二叉树的叶子节点数为20，度为2的节点数是多少？
顺序存储中，如何判断一个节点是否有左孩子？如何判断是否有右孩子？
为什么完全二叉树适合用数组存储，而普通二叉树不适合？

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