分治(交易逆序对的总数)(6)

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一.题目

二.思路讲解

2.1 逆序对是什么

逆序对 的概念来源于线性代数 ，它用于衡量一个序列的有序程度 。简单来说，在一个数组中，如果存在一对下标 i < j 且 nums $i$ > nums $j$ ，那么 (i, j) 就构成一个逆序对。统计逆序对的数量有两种常用视角：

固定当前元素，看它前面有多少个比它大的元素，将这些个数累加。
固定当前元素，看它后面有多少个比它小的元素，同样累加。

这两种视角是等价的，可以根据具体算法选择方便的一种。理解逆序对是解决很多排序相关问题的基础。

2.2 逆序对和归并如何结合

根据前面几个比它大（升序合并）

当我们将两个有序子数组合并成升序序列时，可以使用固定右区间元素，看左区间有多少比它大的思路。具体来说：

假设当前合并的是左区间 $l, mid$ 和右区间 $mid+1, r$ ，且两个区间都已升序。
用指针 cur1 遍历左区间，cur2 遍历右区间。在合并过程中，如果发现 nums[cur1] > nums[cur2] ，那么由于左区间是升序，cur1 及其后面的所有元素都大于 nums[cur2]。因此，对于当前右区间的这个元素，左区间中从 cur1 到 mid 的所有元素都与它构成逆序对，个数为 mid - cur1 + 1 。然后我们将较小的 nums[cur2] 放入临时数组，并移动 cur2。
如果 nums[cur1] <= nums[cur2]，则没有逆序对，直接将 nums[cur1] 放入临时数组，移动 cur1。

这样，在合并的同时就统计出了所有跨越左右区间的逆序对。而左区间内部和右区间内部的逆序对已在递归中统计完毕。这种方法的关键在于利用升序性质，通过一次比较得到多个逆序对。

根据后面几个比它小（降序合并）

如果我们将两个有序子数组合并成降序序列，则可以使用固定左区间元素，看右区间有多少比它小的思路。具体来说：

假设当前合并的是左区间 $l, mid$ 和右区间 $mid+1, r$ ，且两个区间都已降序。
用指针 cur1 遍历左区间，cur2 遍历右区间。在合并过程中，如果发现 nums[cur1] > nums[cur2] ，那么由于右区间是降序，cur2 及其后面的所有元素都小于 nums[cur1]（因为降序排列，越往后越小）。因此，对于当前左区间的这个元素，右区间中从 cur2 到 r 的所有元素都与它构成逆序对，个数为 r - cur2 + 1 。然后我们将较大的 nums[cur1] 放入临时数组，并移动 cur1。
如果 nums[cur1] <= nums[cur2]，则没有逆序对，直接将 nums[cur2] 放入临时数组，移动 cur2。

这种方式同样可以批量统计逆序对，且与升序合并对称。两种方法本质相同，只是视角不同，实际应用中可以根据需要选择。

三.代码演示

3.1 升序合并

cpp 复制代码

class Solution 
{
    vector<int> tmp;
    int ret = 0;
public:
    int reversePairs(vector<int>& record) 
    {
        int n = record.size();
        tmp.resize(n);
        mermageSort(record,0,n-1);
        return ret;
    }
    void mermageSort(vector<int>& record,int left,int right)
    {
        if(left >= right) return;

        //1.找中间点
        int mid = left + (right - left)/2;

        //2.左右区间排序
        mermageSort(record,left,mid);
        mermageSort(record,mid+1,right);

        //3.合并数组升序
        int cur1 = left,cur2 = mid + 1,i = 0;
        while(cur1 <= mid && cur2 <= right)
        {
            if(record[cur1] <= record[cur2])
            {
                tmp[i++] = record[cur1++];
            }
            else
            {
                ret += mid - cur1 + 1;//cur-mid都是大于record[cur2]的
                tmp[i++] = record[cur2++];
            }
        }
        while(cur1 <= mid)   tmp[i++] = record[cur1++]; 
        while(cur2 <= right) tmp[i++] = record[cur2++];
        //4.还原数组
        for(int i = left;i <= right;i++)
        {
            record[i] = tmp[i - left];
        }
    }
};

3.2 降序合并

cpp 复制代码

class Solution 
{
    vector<int> tmp;
    int ret = 0;
public:
    int reversePairs(vector<int>& record) 
    {
        int n = record.size();
        tmp.resize(n);
        mermageSort(record,0,n-1);
        return ret;
    }
    void mermageSort(vector<int>& record,int left,int right)
    {
        if(left >= right) return;

        //1.找中间点
        int mid = left + (right - left)/2;

        //2.左右区间排序
        mermageSort(record,left,mid);
        mermageSort(record,mid+1,right);

        //3.合并数组降序
        int cur1 = left,cur2 = mid + 1,i = 0;
        while(cur1 <= mid && cur2 <= right)
        {
            if(record[cur1] <= record[cur2])
            {
                tmp[i++] = record[cur2++];
            }
            else
            {
                ret += right - cur2 + 1;//right - cur都是小于record[cur1]的
                tmp[i++] = record[cur1++];
            }
        }
        while(cur1 <= mid)   tmp[i++] = record[cur1++]; 
        while(cur2 <= right) tmp[i++] = record[cur2++];
        //4.还原数组
        for(int i = left;i <= right;i++)
        {
            record[i] = tmp[i - left];
        }
    }
};

四.代码讲解

一、初始化临时数组与结果变量

在开始排序前，我们需要一个临时数组 tmp 来辅助合并操作，同时定义一个全局变量 ret 用于累计逆序对的总数。在 reversePairs 函数中，首先获取数组长度 n，将 tmp 的大小调整为 n，然后调用归并排序函数 mermageSort 对数组进行排序并统计逆序对。最终返回 ret。

二、递归函数与终止条件

mermageSort 函数接收当前待处理区间的左右边界 left 和 right（闭区间）。当 left >= right 时，说明区间内只有一个元素或为空，不存在逆序对，直接返回。这是递归的终止条件。

三、找中间点，划分左右区间

为了分治，我们需要将当前区间一分为二。计算中间位置 mid = left + (right - left) / 2，这样就将区间划分为 左区间 [left, mid] 和 右区间 [mid + 1, right]。这种写法可以防止整数溢出。

四、递归排序左右区间

分别对左区间和右区间调用 mermageSort 进行递归排序。这一步保证了当递归返回时，左区间和右区间各自内部已经是有序的，同时它们内部的逆序对已经在递归过程中被统计并累加到 ret 中。

五、合并两个有序区间并统计逆序对

当左右区间都有序后，我们需要将它们合并成一个大的有序区间（这里采用升序合并），并在合并过程中统计跨越左右区间的逆序对。定义三个指针：

cur1 指向左区间的起始位置 left
cur2 指向右区间的起始位置 mid + 1
i 指向临时数组 tmp 的起始位置（从0开始）

然后进入循环，条件为 cur1 <= mid && cur2 <= right，即两个区间都还有元素未处理。在循环中，比较 record[cur1] 和 record[cur2]：

如果 record[cur1] <= record[cur2] ：说明左边元素小于等于右边，此时不构成逆序对（因为左边在前，且值更小）。将左边元素放入临时数组，然后 cur1++，i++。
如果 record[cur1] > record[cur2] ：说明左边元素大于右边，**此时对于右边这个元素，左区间中从 cur1 到 mid 的所有元素都大于它（因为左区间是升序），**因此这些元素都与当前右边元素构成逆序对， 个数为 mid - cur1 + 1 。将这个数量累加到 ret 中，然后将右边元素放入临时数组，cur2++，i++。

当其中一个区间遍历完后，将另一个区间剩余的元素全部放入临时数组（这些剩余元素不会产生新的跨越逆序对，因为已经比较过了）。

六、将临时数组还原回原数组

合并完成后，tmp 的 [0, i-1] 区间内存储了当前 [left, right] 范围内的所有有序元素。现在需要将这些元素拷贝回原数组 的对应位置。用一个循环，从 left 到 right，将 tmp[i-left] 赋值给 record[i]。这样，原数组在 [left, right] 范围内就变得有序了。

七、关键细节

临时数组的作用：避免了在每次合并时创建新数组，节省了时间和空间开销。
统计时机：逆序对的统计只在合并过程中进行，利用了两个子数组已经有序的特性，通过一次比较就能得到多个逆序对，大大提高了效率。