P10108 [GESP202312 六级] 闯关游戏

记录95

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[20010],skip[110];//通道就是可跳的长度
long long dp[20010];//跳的最远长度
int main(){
	int N,M;
	cin>>N>>M;	
	int max_s=0;//最远长度 
	for(int i=0;i<M;i++){
		cin>>skip[i];
		max_s=max(max_s,skip[i]);
	}//默认dp都是不连通的，即不可达
	for(int i=0;i<N+max_s;i++) dp[i]=INT_MIN;
	for(int i=0;i<N;i++) cin>>a[i];
	for(int i=0;i<M;i++) dp[skip[i]]=a[skip[i]]+a[0];//更新可通初始点
	dp[0]=a[0];//不忘第一个
	for(int i=1;i<N+max_s;i++){
		for(int j=0;j<M;j++){
			if(i>=skip[j]&&dp[i-skip[j]]!=INT_MIN){
				dp[i]=max(dp[i],a[i]+dp[i-skip[j]]);
			}//从i点开始看是从前面哪里跳过来的
		}//长度没超并且前面有可达点
	}//a[i]有值就是几，没有就是0
	long long ans=INT_MIN;
	for(int i=N-1;i<N+max_s;i++) ans=max(ans,dp[i]);//终点与能跳最远距离中
	cout<<ans;//最大的得分
	//for(int i=0;i<N+max_s;i++) cout<<dp[i]<<' ';
    return 0;
}

题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P10108

突破口

你来到了一个闯关游戏。

这个游戏总共有 N 关，每关都有 M 个通道，你需要选择一个通道并通往后续关卡。其中，第 i 个通道可以让你前进 ai 关，也就是说，如果你现在在第 x 关，那么选择第 i 个通道后，你将直接来到第 x+ai 关（特别地，如果 x+ai≥N，那么你就通关了）。此外，当你顺利离开第 s 关时，你还将获得 bs 分。

游戏开始时，你在第 0 关。请问，你通关时最多能获得多少总分。

思路

🎯 游戏规则

有 N 关（编号 0 到 N−1）
每关都有 M 个通道 ，每个通道让你 前进 a[i] 关
当你 离开第 s 关 （即从第 s 关跳走），获得分数 b[s]
起点：第 0 关（尚未获得 b[0]）
通关条件：跳到 ≥ N 的位置

✅ 注意：只有当你"离开"某一关时才得分

所以如果你从第 x 关跳走 → 得 b[x]

🎯 目标

求 通关时能获得的最大总分

🧠 解题思路：动态规划（DP）

关键观察

这是一个 有向图上的最长路径问题
状态：dp[i] = 到达第 i 关（并准备从此跳走）时能获得的最大总分
转移：从前面某个位置 i - skip[j] 跳 skip[j] 步到达 i → 得 b[i]

💡 但注意：你必须"离开"第 i 关才能得 b[i]

所以 dp[i] 应理解为：已经获得了 b[i]，且当前位于第 i 关（即将跳走）

边界处理

起点在第 0 关，但还没跳 → 要先获得 b[0] 才能开始跳
所以初始状态：可以从 0 关选择任意通道 skip[j]，跳到 skip[j]，此时已获得 b[0] + b[skip[j]]（如果 skip[j] < N）

终止条件

一旦跳到 pos ≥ N，游戏结束
所以答案 = 所有 dp[i] 中，满足 i ≥ N−1 且通过某次跳跃能 跳到 ≥N 的最大值

更简单：因为从 i 跳 skip[j] 后若 i + skip[j] ≥ N 就通关，所以只要 i ∈ [N−1, N+max_skip−1] 都可能是最后一步的起点

但代码采用更直接方式：计算所有 dp[i]（i < N+max_s） ，然后在 [N−1, N+max_s−1] 中取最大值

⚠️ 特殊细节

数组 a[] 实际存储的是 b[]（题目中的得分）
代码中 a[i] 对应题目中的 b_i
skip[] 存储 M 个通道的跳跃长度

代码解析

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[20010], skip[110]; // a[i] 存 b_i（第 i 关的分数），skip 存 M 个跳跃步长
long long dp[20010];     // dp[i] 表示"到达位置 i 时已获得的最大总分"

数组大小足够：N ≤ 10000，最大可能到达位置为 N + max(skip) ≤ 20000。
dp[i] 的含义：当你站在位置 i（准备从此跳走）时，已经拿到的总分 。
- 如果 i < N，说明你刚离开第 i 关，已加 a[i]。
- 如果 i ≥ N，说明你已通关，不再加分，dp[i] 只是继承前驱值。

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int main(){
    int N, M;
    cin >> N >> M;	
    int max_s = 0; // 记录所有通道中最大的跳跃步长
    for(int i = 0; i < M; i++){
        cin >> skip[i];
        max_s = max(max_s, skip[i]);
    }

读入 N（关卡数）、M（通道数）。
读入 M 个跳跃步长 skip[0..M-1]，并记录最大值 max_s。
用途：确定 DP 数组需要计算到多远（N + max_s）。

cpp 复制代码

    // 初始化 dp 数组：所有位置初始为"不可达"
    for(int i = 0; i < N + max_s; i++) 
        dp[i] = INT_MIN;

INT_MIN 表示"无法到达该位置"。
范围 [0, N + max_s) 覆盖了所有可能被跳到的位置（包括通关后的位置）。

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    for(int i = 0; i < N; i++) 
        cin >> a[i]; // 读入每关的分数 b_i，存入 a[i]

a[i] 即题目中的 b_i：离开第 i 关时获得的分数。
注意：a[i] 只定义在 i = 0 ~ N-1，i ≥ N 时无意义（但全局初始化为 0）。

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    // 初始化：从第 0 关出发，尝试所有通道
    for(int i = 0; i < M; i++) 
        dp[skip[i]] = a[skip[i]] + a[0];

起点在第 0 关，必须先"离开"它才能得分 → 获得 a[0]。
选择通道 skip[i]：
- 跳到位置 skip[i]。
- 如果 skip[i] < N，则你也离开了第 skip[i] 关 → 再得 a[skip[i]]。
- 所以总得分 = a[0] + a[skip[i]]。
如果 skip[i] ≥ N，则跳完就通关，只应得 a[0]。
- 但此时 a[skip[i]] 是未定义的（全局为 0），所以 a[0] + 0 = a[0] → 结果正确。
因此，这一行统一处理了所有初始跳跃。

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    dp[0] = a[0]; // 站在第 0 关（准备跳）时，已获得 a[0] 分

这是为了让后续 DP 能从位置 0 转移。
虽然游戏一开始在第 0 关，但只有离开它才得分 ，所以 dp[0] = a[0] 表示"已准备好从 0 出发，并已计入 a[0]"。

🎯 这样设计后，DP 转移可以统一写成：
dp[i] = max(dp[i - skip[j]] + a[i])

其中 a[i] 在 i ≥ N 时为 0，自动忽略无效加分。

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    // 动态规划主循环
    for(int i = 1; i < N + max_s; i++){
        for(int j = 0; j < M; j++){
            if(i >= skip[j] && dp[i - skip[j]] != INT_MIN){
                dp[i] = max(dp[i], a[i] + dp[i - skip[j]]);
            }
        }
    }

枚举当前位置 i（从 1 到 N + max_s - 1）。
枚举每个通道 skip[j]：
- 如果可以从 i - skip[j] 跳 skip[j] 步到达 i（即 i ≥ skip[j]），
- 且 i - skip[j] 是可达的（dp[i - skip[j]] != INT_MIN），
- 那么尝试更新 dp[i]：
  - 新得分 = 前驱得分 dp[i - skip[j]] + 当前位置得分 a[i]
  - 注意：若 i ≥ N，a[i] = 0（全局初始化），所以不加分 → 正确！

✅ 这个转移覆盖了所有可能路径，包括多次跳跃。

cpp 复制代码

    // 寻找答案：所有能导致通关的位置中，取最大得分
    long long ans = INT_MIN;
    for(int i = N - 1; i < N + max_s; i++) 
        ans = max(ans, dp[i]);
    cout << ans;

为什么从 i = N - 1 开始？
- 因为从 i = N - 1 跳任意 ≥1 步都会 ≥ N → 通关。
- 从更早的位置（如 N - 2）也可能跳到 ≥N，但那些位置的 dp 值会在 i = N - 2 + skip[j] ≥ N 时被复制到 dp[i]（因为 a[i] = 0）。
所以，所有能一步跳到通关的位置 x（x < N）的得分 dp[x]，都会出现在 dp[N ... N+max_s-1] 中。
同时，dp[N-1] 本身也可能是答案（如果从它跳 1 步通关）。
因此，在 [N-1, N+max_s) 范围内取最大值，就能覆盖所有可能的最终得分。

总结

设计点	说明
统一状态定义	`dp[i]` 表示"站在位置 i 时的总得分"，无论 i 是否 ≥N
利用全局初始化	`a[i] = 0`（i ≥ N）自动处理"通关后不加分"
扩展状态空间	计算到 `N + max_s`，确保所有"最后一步"的得分都被记录
起点处理巧妙	`dp[0] = a[0]` + 初始化 `dp[skip[i]]`，确保第一跳正确