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前言：今天是链表篇章的最后一题，但是对于新手来说，一看题目，就有点胆怯了，这题可以说是纸老虎了，虽然看着不是很简单，其实也不是那么简单，里面需要注意很多细节地方，还有一些简单的推理，所以还是需要重点理解的。
题目背景：LeetCode142
给定一个链表的头节点
head，返回链表开始入环的第一个节点。 如果链表无环，则返回null。如果链表中有某个节点，可以通过连续跟踪
next指针再次到达，则链表中存在环。 为了表示给定链表中的环，评测系统内部使用整数pos来表示链表尾连接到链表中的位置（索引从 0 开始 ）。如果pos是-1，则在该链表中没有环。注意：pos不作为参数进行传递，仅仅是为了标识链表的实际情况。不允许修改链表。
示例 1：
输入：head = [3,2,0,-4], pos = 1 输出：返回索引为 1 的链表节点 解释：链表中有一个环，其尾部连接到第二个节点。示例 2：
输入：head = [1,2], pos = 0 输出：返回索引为 0 的链表节点 解释：链表中有一个环，其尾部连接到第一个节点。示例 3：
输入：head = [1], pos = -1 输出：返回 null 解释：链表中没有环。提示：
- 链表中节点的数目范围在范围
[0, 104]内-105 <= Node.val <= 105pos的值为-1或者链表中的一个有效索引
题目答案：
java
public class Solution {
public ListNode detectCycle(ListNode head) {
ListNode slow = head;
ListNode fast = head;
while (fast != null && fast.next != null) {
slow = slow.next;
fast = fast.next.next;
if (slow == fast) {// 有环
ListNode index1 = fast;
ListNode index2 = head;
// 两个指针，从头结点和相遇结点，各走一步，直到相遇，相遇点即为环入口
while (index1 != index2) {
index1 = index1.next;
index2 = index2.next;
}
return index1;
}
}
return null;
}
}题目解析：
这题代码看着很简单很少，但是重点是思路，下面我们具体分析：
首先，我们第一个需要判断的就是链表是否有环。这里我们使用快慢指针的方式，分别定义 fast 和 slow 指针，从头结点出发，fast指针每次移动两个节点，slow指针每次移动一个节点，如果 fast 和 slow指针在途中相遇 ，说明这个链表有环。
为什么fast 走两个节点，slow走一个节点，有环的话，一定会在环内相遇呢，而不是永远的错开呢
这就需要好好解释一下了：首先，既然是快指针，肯定是先进入环中的（因为fast指针每次移动两个节点，为什么是两个节点，后面我们就知道了），fast进入环中之后，那肯定就一直在环中运动，与慢指针也只能是在环中相遇，我们可以用相对运动的方式，此时相对于慢指针，快指针始终以每次一个节点的速度靠近慢指针，此时慢指针相对静止。那么只要是有环，快指针就一定能追上慢指针。我们也可以画图模拟一下过程，随机让fast指针在任意一个节点开始追慢指针，发现最后都是快指针差一个节点追上慢指针。
动态过程如图：
解决了第一个问题之后
那么继续回到题目的要求，要求返回链表开始入环的第一个节点，若链表无环，则返回null（这个已经在第一步解决了）。
假设从头结点到环形入口节点 的节点数为x。 环形入口节点到 fast指针与slow指针相遇节点 节点数为y。 从相遇节点 再到环形入口节点节点数为 z。 如图所示：
那么相遇时：slow指针走过的节点数为:
x + y， fast指针走过的节点数：x + y + n (y + z)，n为fast指针在环内走了n圈才遇到slow指针， （y+z）为 一圈内节点的个数A。因为fast指针是一步走两个节点，slow指针一步走一个节点， 所以 fast指针走过的节点数 = slow指针走过的节点数 * 2：
(x + y) * 2 = x + y + n (y + z)两边消掉一个（x+y）:
x + y = n (y + z)因为要找环形的入口，那么要求的是x，因为x表示 头结点到 环形入口节点的的距离。
所以要求x ，将x单独放在左面：
x = n (y + z) - y,再从n(y+z)中提出一个 （y+z）来，整理公式之后为如下公式：
x = (n - 1) (y + z) + z**
这里我们也可以使用从特殊到一般的办法，递归寻找，对n进行赋值，也能发现这一规律。**注意这里n一定是大于等于1的，因为 fast指针至少要多走一圈才能相遇slow指针。由此我们就可以找到入环的第一个节点。如下操作
javaif (slow == fast) {// 有环 ListNode index1 = fast; ListNode index2 = head; // 两个指针，从头结点和相遇结点，各走一步，直到相遇，相遇点即为环入口 while (index1 != index2) { index1 = index1.next; index2 = index2.next; } return index1; }同时这里又有一个问题了，为什么n一定是大于等于一呢，就好比跑步一样，一个快的追一个慢的，那么你们要想相遇，就一定是快的跑了一圈之后或者n，之后追到了慢的，毕竟不可能反向跑吧。
易错点：
为什么第一次在环中相遇，slow的 步数 是 x+y 而不是 x + 若干环的长度 + y 呢？
需要注意的是，我们要讨论的是第一次相遇的时候，这时就一定有：
slow 刚进入环的那一刻
环长 = L = y + z
- slow 刚入环时，位置在哪里
slow 在 环入口
fast 已经在 环里面某个位置
- 两者之间的距离
因为 fast 速度是 2 倍，slow 走 x 时，fast 走 2x。所以 fast 已经领先一段距离。
但不管领先多少，距离一定满足： 0 ≤ 距离 d ＜ L
不可能 ≥ L，否则 fast 早就多跑一圈了。
- 两者距离取模后一定 0 ≤ d < L
- 相对速度 1，所以 d 步必相遇
- d < L → slow 不可能走满一圈
- fast 也不需要跑一圈就能追上
- 接下来开始追
slow 速度：1
fast 速度：2
每走 1 步，fast 靠近 slow 1 步
距离是 d，所以只需要 d 步 就会相遇。
- 关键来了
因为 d ＜ L 所以 slow 在环里只走了 d 步 就相遇了。
也就是说：slow 在环里走的步数 y = d ＜ L
y ＜ 环长 → slow 根本没走完一圈 就被追上了。
第一次相遇时，慢指针一定没有走完一圈环，所以它的路程只能是 x+y，不可能带上若干个环。
数学推理：
- slow 进环前走的距离：x
- 环的总长度：n
- slow 进环时，fast 距离环入口的长度：k
- 且 k < n（因为在环里）
- 第一句重点
slow 进环的时候，fast 一定已经在环里了。→ 这个没问题，因为 fast 快。
2.核心推理（重点！）
当 slow 刚进环时：
fast 已经在环里某个位置
fast 距离环入口的长度是 k
k 一定小于 n
- 原文最关键一句
fast 走到环入口时，走了 k + n 步 那么 slow 应该走了 (k + n)/2 步
因为 fast 速度是 2 倍，路程也是 2 倍。
- 最关键不等式（决定一切）
因为 k < n所以：
(k + n) / 2 < (n + n) / 2 = n
也就是说：
slow 走的距离 < n
n 是一环的长度。
- 最终结论
slow 还没走完一环，fast 已经回到环入口了！
这意味着：
在 slow 走完第一环之前，fast 必然追上 slow
- 所以：
第一次相遇时，slow 绝对不可能走完一环
slow 走过的路程一定是 x + y
绝对不可能是 x + 一环 + y
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