求导 z = (x + y)^2

求导 z=(x+y)2\displaystyle z = (x + y)^2z=(x+y)2

求导 z=x+y\displaystyle z = x + yz=x+y

z 对 x 的偏导数：∂z∂x\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}∂x∂z，意思是 x 变 1，z 变多少？答案是 x 加 1，z 就加 1，永远是 1

求导 y=x2y = x^2y=x2

根据微积分中的幂法则，对于任意实数 nnn，有 ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}dxdxn=nxn−1。当 n=2n=2n=2 时，即得 ∂y∂x=2x\displaystyle \frac{\partial y}{\partial x} = 2x∂x∂y=2x。

求导 z=(x+y)2z = (x + y)^2z=(x+y)2

根据链式法则，令 t=x+yt = x + yt=x+y，则 z=t2z = t^2z=t2。

首先求偏导数： ∂z∂t=2t,∂t∂x=1.\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} = 2t, \quad \frac{\partial t}{\partial x} = 1.∂t∂z=2t,∂x∂t=1.

然后相乘： ∂z∂x=∂z∂t⋅∂t∂x=2t⋅1=2(x+y)\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial t} \cdot \frac{\partial t}{\partial x} = 2t \cdot 1 = 2(x + y)∂x∂z=∂t∂z⋅∂x∂t=2t⋅1=2(x+y)

因此，z=(x+y)2\displaystyle z = (x + y)^2z=(x+y)2，zzz 关于 xxx 的导数为 2(x+y)2(x + y)2(x+y)。