1 线性常系数差分方程的表达形式
- 常系数：是指方程中ak和bm为常数；
- 阶数：y(n)项中变量序号的最高值与最低值之差；
- 线性：y(n-k)与x(n-m)项都只有一次幂，且不存在相乘项
2 线性常系数差分方程的求解方法
- 经典解法：类似于模拟系统求解微分方程的方法，要求齐次解、特解，并由边界条件求待定系数。由于计算复杂，较少使用。
- 递推（迭代）法：简单、适于用计算机进行求解。但只能得到一系列数值解，不易得到封闭式（公式）解答。
- 变换域法：将差分方程变换到Z域求解。
- 卷积法：由差分方程求出系统的h(n)，再与已知的x(n)进行卷积，得到y(n)。
例：用迭代法求解差分方程，求单位抽样响应h(n)
设系统差分方程为：y(n) - ay(n-1) = x(n)，求h(n)
解1：设x(n) = δ(n)，对因果系统，且有当n<0时，y(n)=h(n)=0
h(0) = ah(-1) + δ(0) = 0 + 1 = 1
h(1) = ah(0) + δ(1) = a + 0 = a
h(2) = ah(1) + δ(2) = a^2 + 0 = a^2
......
h(n) = ah(n-1) + δ(n) = a^n + 0 = a^n
因此系统的单位抽样响应为h(n) = a^nu(n)，这个系统显然是因果系统，当|a| < 1时，它还是稳定系统。
注意：一个常系数线性差分方程，并不一定代表因果系统。如果边界条件假设不同，可以得到非因果系统
解2： 设x(n) = δ(n)，且有当n>0时，y(n)=h(n)=0
往之前时刻进行推导，y(n-1)=a^(-1)y(n) - x(n)
h(0) = a^(-1)h(1) - δ(1) = 0
h(-1) = a^(-1)h(0) - δ(0) = -a^(-1)
h(-2) = a^(-1)h(-1) - δ(-1) = -a^(-2)
......
h(-n) = a^(-1)h(-n+1) - δ(-n+1) = -a^(-n)
因此系统的单位抽样响应为h(n) = -a^(-n)u(-n-1)。显然这个系统是非因果系统。
差分方程表示法优点：可以直接得到系统的结果。
例：差分方程 
该差分方程所表示的结果如下：
消耗2个乘法器、1个加法器、1个延迟单元（存储单元Z^(-1)，用于存储上一时刻的值y(n-1)）
3 MATLAB中实现差分方程递推解的filter函数
函数形式为y = filter(b, a, x)，其中b = b0, b1, ..., bM，a = a0, a1, ..., aN，且a0 != 0，x为输入序列，y为输出序列
例：y(n) - 0.5y(n - 1) = 0.5x(n)
Matlab
%% 方法1：使用filter函数
% 定义系统系数
% 标准形式: a(1)*y(n) + a(2)*y(n-1) + ... = b(1)*x(n) + b(2)*x(n-1) + ...
% 原方程: y(n) - 0.5y(n-1) = 0.5x(n)
% 所以: a = [1, -0.5], b = [0.5]
a = [1, -0.5]; % 分母系数（y的系数）
b = [0.5]; % 分子系数（x的系数）
% 生成输入信号
N = 50; % 信号长度
n = 0:N-1;
% 测试不同输入信号
% 1. 单位脉冲信号
x1 = [1, zeros(1, N-1)];
% 2. 单位阶跃信号
x2 = ones(1, N);
% 3. 正弦信号
x3 = sin(2*pi*0.1*n);
%% 计算响应
% filter(b, a, x, ic) - ic是初始条件
% 零初始条件
y1 = filter(b, a, x1);
y2 = filter(b, a, x2);
y3 = filter(b, a, x3);