【递归算法】目标和

文章摘要：

本文解析了LeetCode上的目标和问题，要求在非负数组的每个数字前添加"+"或"-"，使得总和等于目标值。通过决策树和深度优先搜索（DFS）实现组合枚举，分别讨论了全局变量和函数参数两种回溯方法。核心思路是递归遍历所有可能的符号组合，统计符合条件的路径数。代码示例展示了两种实现方式，并解释了回溯与剪枝的细节。最终，该问题转化为二叉树路径搜索，时间复杂度为指数级，但通过回溯优化避免了重复计算。

文章目录

一、题目解析
[二、算法原理 + 代码实现](#二、算法原理 + 代码实现)
- 决策树
- 全局变量
- [dfs 函数](#dfs 函数)
- - 函数头
  - 函数体
- 细节问题
- 代码实现
- - [path 作为全局变量的版本](#path 作为全局变量的版本)
  - [path 作为函数参数的版本](#path 作为函数参数的版本)

题目链接

一、题目解析

题目给我们一个非负数组，要我们对数组中的每个数字添加 "加号+ " 或 "减号- "，使得数组中的数字之和等于 target。要我们返回能使得数组中数字之和等于 target 的组合个数。

例如，nums = $1, 1, 1, 1, 1$ ，target = 3。我们需要对 nums 数组中的每一个数字添加符号 "+" 或 "-" ，使得 nums 中的数字之和等于 3。能够满足的组合：+1+1+1+1-1 = 3；+1+1+1-1+1 = 3；+1+1-1+1+1 = 3；+1-1+1+1+1 = 3；-1+1+1+1+1 = 3。因此共有五种，返回 5。

二、算法原理 + 代码实现

本题同样是一道找组合的题目，按照暴搜的思考方式来做。

决策树

我们根据示例1，画出决策树。

遍历 nums 数组，然后依次选择给当前数字添加 "+" 或者 "-"，看看总共有多少种组合。

我们在每一个节点直接写上数组中数字之和，则决策树（部分）如下：

从第一个数字开始，若选择给它添加 "+"，则得到 1；若选择给它添加 "-"，则得到 -1。
基于第一个数字为 "1" 的情况，再给第二个数字选择符号，若是 "+"，得到 1，两数之和就是 2；若是 "-"，得到 -1，两数之和就是 0。
基于第一个数字为 "1" 、第二个数字为 "1" 的情况，再给第三个数字选择...以此类推。
最终在叶子节点就可以得到结果，统计结果的数量为 5。

全局变量

这里需要两个全局变量：ret 记录结果，path 记录路径。本题可以多设置一个 aim，作为 target，就无需每一次递归都将 target 作为参数传来传去了。

Java 复制代码

int ret, path, aim;

dfs 函数

函数头

我们在每一次的递归过程中都需要对 nums 数组中的数字进行添加符号，因此需要将 nums 作为参数。由于我们是通过递归对 nums 数组进行遍历的，因此需要知道每一次递归的时候遍历的位置 pos，需要将 pos 下标作为参数。

Java 复制代码

dfs(int[] nums, int pos);

本题有另一种思路是将记录路径的变量 path 改为函数参数，具体原因是：本题的路径可以依靠程序自动完成恢复现场的操作（只是对整数类型进行加减），回到上一层就相当于完成了恢复现场的执行了（读者可以自行模拟一遍流程体会），因此可以将它作为参数（参考二叉树的所有路径这道题目）。而作为全局变量是因为依靠程序的回溯无法自动完成恢复现场，需要在 dfs 函数中手动处理来恢复现场（例如数组，没法通过函数参数的方式自动完成恢复现场的操作，只能手动处理），干脆改成全局变量（参考子集这道题目）。

Java 复制代码

dfs(int[] nums, int pos, int path);

函数体

我们每一次递归要做的事情就是选择 "+" 或者 "-"，分别执行这两种情况的逻辑就行了。

Java 复制代码

// path 作为全局变量
// 添加加号的情况
path += 当前位置的数字；
// 递归
// 回溯恢复现场

// 添加减号的情况
path -= 当前位置的数字;
// 递归
// 回溯恢复现场

若是 path 作为函数参数，则代码会相对简洁，因为无需手动恢复现场

Java 复制代码

// 添加加号的情况
dfs(nums, 下一个数字的下标, path + 当前位置的数字);

// 添加减号的情况
dfs(nums, 下一个数字的下标, path - 当前位置的数字);

细节问题

回溯

path 为全局变量的时候，需要在回溯的时候恢复现场，将加上/减去的数字再减去/加上即可。

而当 path 为函数参数的时候，程序执行回溯会自动恢复现场，无需手动处理。

剪枝

我们这里是将所有组合都枚举到了，因此不涉及到剪枝操作。

递归出口

在给当前数字添加符号之前我们要判断一下 pos 是否到达数组末尾，如果到了数组末尾（即叶子节点），再判断一下当前的 path 是否等于 aim/target，如果等于就更新结果然后返回，否则不更新结果直接返回。

代码实现

path 作为全局变量的版本

Java 复制代码

class Solution {
    int ret, aim, path;

    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        aim = target;
        
        dfs(nums, 0);
        return ret;
    }

    private void dfs(int[] nums, int pos) {
    	// 递归出口
        if (pos == nums.length) {
            if (path == aim) ret++;
            return;
        }

        // 添加加号的情况
        path += nums[pos];
        dfs(nums, pos + 1);
        path -= nums[pos]; // 回溯恢复现场

        // 添加减号的情况
        path -= nums[pos];
        dfs(nums, pos + 1);
        path += nums[pos]; // 回溯恢复现场
    }
}

path 作为函数参数的版本

Java 复制代码

class Solution {
    int ret, aim;

    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        aim = target;
        
        dfs(nums, 0, 0);
        return ret;
    }

    private void dfs(int[] nums, int pos, int path) {
    	// 递归出口
        if (pos == nums.length) {
            if (path == aim) ret++;
            return;
        }

        // 添加加号的情况
        dfs(nums, pos + 1, path + nums[pos]);

        // 添加减号的情况
        dfs(nums, pos + 1, path - nums[pos]);
    }
}

文章到这里就告一段落啦，若有错误请尽管指出~

完