【TJU】应用统计学------第五周作业（3.1 假设检验的基本思想、3.2 单个正态总体参数的假设检验）
一、单选题
题目1～3
1️⃣ 对正态总体数学期望的检验问题，当方差已知时采用的检验统计量服从（ ）分布
- A. 标准正态分布 ✅
- B. 自由度为 n n n 的 t t t 分布
- C. 自由度为 n − 1 n-1 n−1 的 t t t 分布
- D. 自由度为 n − 1 n-1 n−1 的卡方分布
设总体为 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2)，且 σ 2 \sigma^2 σ2 已知，检验 H 0 : μ = μ 0 H_0:\mu=\mu_0 H0:μ=μ0 时常用统计量为
Z = X ˉ − μ 0 σ / n Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n} Z=σ/n Xˉ−μ0
在 H 0 H_0 H0 成立下，由正态总体与样本均值分布性质可得： X ˉ ∼ N ( μ 0 , σ 2 n ) \bar X\sim N\!\left(\mu_0,\frac{\sigma^2}{n}\right) Xˉ∼N(μ0,nσ2)
因此标准化后 Z ∼ N ( 0 , 1 ) Z\sim N(0,1) Z∼N(0,1)
所以检验统计量服从标准正态分布。
答案：A. 标准正态分布
2️⃣ 第一类错误是在（ ）条件下发生的。
- A. 原假设为真 ✅
- B. 原假设为假
- C. 显著性水平较小
- D. 显著性水平较大
设原假设为 H 0 H_0 H0，备择假设为 H 1 H_1 H1。
第一类错误（Type I Error）的定义是：在 H 0 H_0 H0 真实成立时，错误地拒绝了 H 0 H_0 H0。 其概率记为
α = P ( 拒绝 H 0 ∣ H 0 为真 ) \alpha=P(\text{拒绝 }H_0\mid H_0\text{ 为真}) α=P(拒绝 H0∣H0 为真)
因此，第一类错误发生的前提条件是： H 0 H_0 H0 为真。
答案：A. 原假设为真
3️⃣ 显著性水平 α \alpha α 等于
- A. 犯第一类错误的概率 ✅
- B. 犯第二类错误的概率
在假设检验中，显著性水平定义为：当原假设 H 0 H_0 H0 为真时，拒绝 H 0 H_0 H0 的概率，即第一类错误概率。记为
α = P ( 拒绝 H 0 ∣ H 0 为真 ) \alpha=P(\text{拒绝 }H_0\mid H_0\text{ 为真}) α=P(拒绝 H0∣H0 为真)
第二类错误概率记为 β \beta β，其定义为
β = P ( 不拒绝 H 0 ∣ H 1 为真 ) \beta=P(\text{不拒绝 }H_0\mid H_1\text{ 为真}) β=P(不拒绝 H0∣H1 为真)
因此， α \alpha α 对应第一类错误概率，而不是第二类错误概率。
答案：A. 犯第一类错误的概率
题目4～6
4️⃣ 以下哪个情形是第二类错误
- A. 当原假设为假，接受原假设 ✅
- B. 当原假设为真，拒绝原假设
设原假设为 H 0 H_0 H0，备择假设为 H 1 H_1 H1。第二类错误（Type II Error）的定义是：在 H 0 H_0 H0 实际为假时，没有拒绝（或接受） H 0 H_0 H0。其概率记为 β = P ( 接受 H 0 ∣ H 0 为假 ) \beta=P(\text{接受 }H_0\mid H_0\text{ 为假}) β=P(接受 H0∣H0 为假)。选项 A 正是该定义。
选项 B 是第一类错误，对应 α = P ( 拒绝 H 0 ∣ H 0 为真 ) \alpha=P(\text{拒绝 }H_0\mid H_0\text{ 为真}) α=P(拒绝 H0∣H0 为真)
答案：A. 当原假设为假，接受原假设
5️⃣ t t t 检验采用的检验统计量服从自由度为（ ）的 t t t 分布
- A. n n n
- B. n − 1 n-1 n−1 ✅
对于单样本 t t t 检验（总体方差未知），统计量为 t = X ˉ − μ 0 S / n t=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt{n}} t=S/n Xˉ−μ0。
其中 S S S 是样本标准差。由于分母使用了样本方差估计总体方差，会损失一个自由度，因此该统计量服从 t ∼ t ( n − 1 ) t\sim t(n-1) t∼t(n−1)
答案：B. n − 1 n-1 n−1
6️⃣ 当均值未知时，对正态总体方差的检验选择的检验统计量服从（ ）分布
- A. 自由度为 n − 1 n-1 n−1 的卡方分布 ✅
- B. 自由度为 n n n 的卡方分布
- C. 自由度为 n − 1 n-1 n−1 的 t t t 分布
- D. 自由度为 n n n 的 t t t 分布
设总体 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2)， μ \mu μ 未知。检验总体方差时使用样本方差 S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2 S2=n−11∑i=1n(Xi−Xˉ)2
构造统计量 χ 2 = ( n − 1 ) S 2 σ 0 2 \chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} χ2=σ02(n−1)S2，在原假设成立时有 χ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \chi^2\sim \chi^2(n-1) χ2∼χ2(n−1) ，即服从自由度为 n − 1 n-1 n−1 的卡方分布。
答案：A. 自由度为 n − 1 n-1 n−1 的卡方分布
题目7～9
7️⃣ 正态总体的方差未知，检验总体均值，构造_____统计量。
- A. U U U
- B. T T T ✅
- C. 卡方
对于正态总体均值检验：
-
若总体方差 σ 2 \sigma^2 σ2 已知，使用 U = X ˉ − μ 0 σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) U=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1) U=σ/n Xˉ−μ0∼N(0,1)
-
若总体方差 σ 2 \sigma^2 σ2 未知，使用 T = X ˉ − μ 0 S / n ∼ t ( n − 1 ) T=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}\sim t(n-1) T=S/n Xˉ−μ0∼t(n−1)
题目给定"方差未知，检验总体均值"，应构造 T T T 统计量。
答案：B. T T T
8️⃣ 设 X 1 , X 2 , ⋯ , X n X_1,X_2,\cdots,X_n X1,X2,⋯,Xn 是来自正态总体 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2) 的简单随机样本，其中 μ , σ 2 \mu,\sigma^2 μ,σ2 未知，记 X ‾ = 1 n ∑ i = 1 n X i , Q 2 = ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i,\quad Q^2=\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2 X=n1∑i=1nXi,Q2=∑i=1n(Xi−X)2，则假设 H 0 : μ = 0 H_0:\mu=0 H0:μ=0 的 t t t 检验使用的统计量 T = （ ） T=（\ \ ） T=（ ）
- A. T = X ‾ Q n ( n − 1 ) T=\dfrac{\overline{X}}{Q}\sqrt{n(n-1)} T=QXn(n−1) ✅
- B. T = Q X ‾ n ( n − 1 ) T=\dfrac{Q}{\overline{X}}\sqrt{n(n-1)} T=XQn(n−1)
- C. T = n X ‾ Q T=\dfrac{n\overline{X}}{Q} T=QnX
- D. T = ( n − 1 ) X ‾ Q T=\dfrac{(n-1)\overline{X}}{Q} T=Q(n−1)X
t t t 检验统计量为 T = X ‾ − μ 0 S / n , μ 0 = 0 T=\frac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}},\quad \mu_0=0 T=S/n X−μ0,μ0=0
且 S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 = Q 2 n − 1 ⇒ S = Q n − 1 S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2=\frac{Q^2}{n-1} \Rightarrow S=\frac{Q}{\sqrt{n-1}} S2=n−11∑i=1n(Xi−X)2=n−1Q2⇒S=n−1 Q
代入得 T = X ‾ ( Q / n − 1 ) / n = X ‾ Q n ( n − 1 ) T=\frac{\overline{X}}{(Q/\sqrt{n-1})/\sqrt{n}}=\frac{\overline{X}}{Q}\sqrt{n(n-1)} T=(Q/n−1 )/n X=QXn(n−1)
答案：A. T = X ‾ Q n ( n − 1 ) T=\dfrac{\overline{X}}{Q}\sqrt{n(n-1)} T=QXn(n−1)
9️⃣ 在假设检验中，显著性水平 α \alpha α 的含义是（ ）
- A. 原假设 H 0 H_0 H0 成立时，经检验不被拒绝的概率
- B. 原假设 H 0 H_0 H0 成立时，经检验被拒绝的概率 ✅
- C. 原假设 H 0 H_0 H0 不成立时，经检验不被拒绝的概率
- D. 原假设 H 0 H_0 H0 不成立时，经检验被拒绝的概率
显著性水平定义为第一类错误概率，即在原假设 H 0 H_0 H0 为真时，错误拒绝 H 0 H_0 H0 的概率： α = P ( 拒绝 H 0 ∣ H 0 为真 ) \alpha=P(\text{拒绝 }H_0\mid H_0\text{ 为真}) α=P(拒绝 H0∣H0 为真)
与各选项对照可知，选项 B 与定义一致。
其中：
- A 对应 1 − α 1-\alpha 1−α（在 H 0 H_0 H0 为真时不拒绝 H 0 H_0 H0 的概率）
- C 对应第二类错误概率 β \beta β
- D 对应检验功效 1 − β 1-\beta 1−β
答案：B
题目10～12
1️⃣0️⃣ 设 X 1 , X 2 , ⋯ , X 25 X_1,X_2,\cdots,X_{25} X1,X2,⋯,X25 是取自正态总体 N ( μ , 9 ) N(\mu,9) N(μ,9) 的样本，其中 μ \mu μ 为未知参数，如果检验问题 H 0 : μ = μ 0 ↔ H 1 : μ ≠ μ 0 H_0:\mu=\mu_0 \leftrightarrow H_1:\mu\ne\mu_0 H0:μ=μ0↔H1:μ=μ0，其中 μ 0 \mu_0 μ0 为已知常数，取检验的拒绝域为 W = { ∣ X ‾ − μ 0 ∣ ≥ C } W=\{|\overline X-\mu_0|\ge C\} W={∣X−μ0∣≥C}，为使检验的显著性水平为 α \alpha α， C C C 的值应取（ ）
- A. 0.6 u 1 − α 0.6u_{1-\alpha} 0.6u1−α
- B. 0.6 u 1 − α / 2 0.6u_{1-\alpha/2} 0.6u1−α/2 ✅
- C. 5 3 u 1 − α / 2 \dfrac{5}{3}u_{1-\alpha/2} 35u1−α/2
- D. 5 3 u 1 − α \dfrac{5}{3}u_{1-\alpha} 35u1−α
在 H 0 H_0 H0 下，
X ‾ ∼ N ( μ 0 , 9 25 ) , X ‾ − μ 0 3 / 5 ∼ N ( 0 , 1 ) . \overline X\sim N\!\left(\mu_0,\frac{9}{25}\right),\quad \frac{\overline X-\mu_0}{3/5}\sim N(0,1). X∼N(μ0,259),3/5X−μ0∼N(0,1).
显著性水平条件为
P H 0 ( ∣ X ‾ − μ 0 ∣ ≥ C ) = α ⟺ P ( ∣ Z ∣ ≥ C 3 / 5 ) = α . P_{H_0}\!\left(|\overline X-\mu_0|\ge C\right)=\alpha \;\Longleftrightarrow\; P\!\left(|Z|\ge \frac{C}{3/5}\right)=\alpha. PH0(∣X−μ0∣≥C)=α⟺P(∣Z∣≥3/5C)=α.
故
C 3 / 5 = u 1 − α / 2 ⟹ C = 3 5 u 1 − α / 2 = 0.6 u 1 − α / 2 . \frac{C}{3/5}=u_{1-\alpha/2} \;\Longrightarrow\; C=\frac{3}{5}u_{1-\alpha/2}=0.6u_{1-\alpha/2}. 3/5C=u1−α/2⟹C=53u1−α/2=0.6u1−α/2.
答案：B. 0.6 u 1 − α / 2 0.6u_{1-\alpha/2} 0.6u1−α/2
1️⃣1️⃣ 甲制药厂进行有关麻疹疫苗效果的研究，用 X X X 表示一个人用这种疫苗注射后的抗体强度，假定 X ∼ ( μ , σ 2 ) X\sim(\mu,\sigma^2) X∼(μ,σ2)。另一家与之竞争的乙制药厂生产的同种疫苗的平均抗体强度是 1.9 1.9 1.9，若甲厂为证实其疫苗有更高的平均抗体，则应检验（ ）
- A. H 0 : μ = 1.9 ↔ H 1 : μ ≠ 1.9 H_0:\mu=1.9 \leftrightarrow H_1:\mu\ne1.9 H0:μ=1.9↔H1:μ=1.9
- B. H 0 : μ = 1.9 ↔ H 1 : μ > 1.9 H_0:\mu=1.9 \leftrightarrow H_1:\mu>1.9 H0:μ=1.9↔H1:μ>1.9 ✅
- C. H 0 : μ = 1.9 ↔ H 1 : μ < 1.9 H_0:\mu=1.9 \leftrightarrow H_1:\mu<1.9 H0:μ=1.9↔H1:μ<1.9
题目目标是"证实甲厂平均抗体更高"，即要支持 μ > 1.9 \mu>1.9 μ>1.9。
因此备择假设应设为 H 1 : μ > 1.9 H_1:\mu>1.9 H1:μ>1.9。
对应原假设取 H 0 : μ = 1.9 H_0:\mu=1.9 H0:μ=1.9（或常见写法 H 0 : μ ≤ 1.9 H_0:\mu\le 1.9 H0:μ≤1.9）。
所以应做右单侧检验。
答案：B. H 0 : μ = 1.9 ↔ H 1 : μ > 1.9 H_0:\mu=1.9 \leftrightarrow H_1:\mu>1.9 H0:μ=1.9↔H1:μ>1.9
1️⃣2️⃣ 一种混杂的小麦品种，株高的标准差为 σ 0 = 14 cm \sigma_0=14\text{ cm} σ0=14 cm，经提纯后随机抽取 10 10 10 株，它们的株高（以 cm 计）为 90 , 105 , 101 , 95 , 100 , 100 , 101 , 105 , 93 , 97 90,\ 105,\ 101,\ 95,\ 100,\ 100,\ 101,\ 105,\ 93,\ 97 90, 105, 101, 95, 100, 100, 101, 105, 93, 97。 考察提纯后的群体是否比原群体整齐？取显著性水平 α = 0.01 \alpha=0.01 α=0.01，并设小麦株高服从 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)。 该问题适宜选取的原假设和备择假设是
- A. H 0 : σ = σ 0 , H 1 : σ ≠ σ 0 H_0:\sigma=\sigma_0,\quad H_1:\sigma\ne\sigma_0 H0:σ=σ0,H1:σ=σ0
- B. H 0 : σ ≥ σ 0 , H 1 : σ < σ 0 H_0:\sigma\ge \sigma_0,\quad H_1:\sigma<\sigma_0 H0:σ≥σ0,H1:σ<σ0 ✅
- C. H 0 : σ ≤ σ 0 , H 1 : σ > σ 0 H_0:\sigma\le \sigma_0,\quad H_1:\sigma>\sigma_0 H0:σ≤σ0,H1:σ>σ0
"更整齐"表示离散程度更小，即标准差（或方差）变小，所以研究目标应为 H 1 : σ < σ 0 H_1:\sigma<\sigma_0 H1:σ<σ0。
对应原假设应取其对立并包含等号： H 0 : σ ≥ σ 0 H_0:\sigma\ge \sigma_0 H0:σ≥σ0，这正是左单侧方差检验的假设设定。
答案：B. H 0 : σ ≥ σ 0 , H 1 : σ < σ 0 H_0:\sigma\ge \sigma_0,\ H_1:\sigma<\sigma_0 H0:σ≥σ0, H1:σ<σ0
二、填空题
题目13～15
1️⃣3️⃣ 设样本 X 1 , ⋯ , X 25 X_1,\cdots,X_{25} X1,⋯,X25 取自正态总体 N ( μ , 9 ) N(\mu,9) N(μ,9)，其中 μ \mu μ 为未知参数， X ‾ \overline{X} X 为样本均值。 如检验问题 H 0 : μ = μ 0 , H 1 : μ ≠ μ 0 H_0:\mu=\mu_0,\ H_1:\mu\ne\mu_0 H0:μ=μ0, H1:μ=μ0，检验的拒绝域 W = { ∣ X ‾ − μ 0 ∣ ≥ C } W=\{|\overline{X}-\mu_0|\ge C\} W={∣X−μ0∣≥C}，显著性水平 α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05，则常数 C = ‾ C=\underline{\qquad} C=
在 H 0 H_0 H0 下，
X ‾ ∼ N ( μ 0 , 9 25 ) , X ‾ − μ 0 3 / 5 ∼ N ( 0 , 1 ) . \overline{X}\sim N\!\left(\mu_0,\frac{9}{25}\right),\quad \frac{\overline{X}-\mu_0}{3/5}\sim N(0,1). X∼N(μ0,259),3/5X−μ0∼N(0,1).
由双侧检验显著性水平条件：
P ( ∣ X ‾ − μ 0 ∣ ≥ C ∣ H 0 ) = 0.05 ⟺ P ( ∣ Z ∣ ≥ C 3 / 5 ) = 0.05. P\!\left(|\overline{X}-\mu_0|\ge C\mid H_0\right)=0.05 \iff P\!\left(|Z|\ge \frac{C}{3/5}\right)=0.05. P(∣X−μ0∣≥C∣H0)=0.05⟺P(∣Z∣≥3/5C)=0.05.
故
C 3 / 5 = u 1 − α / 2 = u 0.975 , C = 3 5 u 0.975 = 0.6 u 0.975 . \frac{C}{3/5}=u_{1-\alpha/2}=u_{0.975}, \quad C=\frac{3}{5}u_{0.975}=0.6u_{0.975}. 3/5C=u1−α/2=u0.975,C=53u0.975=0.6u0.975.
取 u 0.975 = 1.96 u_{0.975}=1.96 u0.975=1.96，得 C = 0.6 × 1.96 = 1.176. C=0.6\times1.96=1.176. C=0.6×1.96=1.176.
答案： C = 0.6 u 0.975 ≈ 1.176 C=0.6u_{0.975}\approx1.176 C=0.6u0.975≈1.176
1️⃣4️⃣ 某种导线要求其电阻（单位 Ω \Omega Ω）的标准差不得超过 0.005 0.005 0.005。今在生产的一批导线中随机抽取 9 9 9 根，测得电阻标准差 s = 0.007 Ω s=0.007\Omega s=0.007Ω，设导线电阻服从正态分布，在显著性水平 α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05 下，能否认为这批导线的电阻标准差显著变大？在这个检验问题中检验统计量的值为（ ）
这是总体方差的右侧检验，取 H 0 : σ ≤ 0.005 , H 1 : σ > 0.005 H_0:\sigma\le 0.005,\qquad H_1:\sigma>0.005 H0:σ≤0.005,H1:σ>0.005
所用统计量为 χ 2 = ( n − 1 ) s 2 σ 0 2 , n = 9 , s = 0.007 , σ 0 = 0.005 \chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2},\quad n=9,\ s=0.007,\ \sigma_0=0.005 χ2=σ02(n−1)s2,n=9, s=0.007, σ0=0.005
代入得 χ 2 = 8 × ( 0.007 ) 2 ( 0.005 ) 2 = 8 × 49 25 = 15.68 \chi^2=\frac{8\times(0.007)^2}{(0.005)^2}=8\times\frac{49}{25}=15.68 χ2=(0.005)28×(0.007)2=8×2549=15.68
答案： χ 2 = 15.68 \chi^2=15.68 χ2=15.68
1️⃣5️⃣ 有一种新制成的安眠药，为检查该药的疗效，随机抽取 9 9 9 名失眠病人服用此药。发现失眠病人平均增进睡眠时间为 0.85 0.85 0.85 小时，标准差为 1.25 1.25 1.25 小时。假定失眠病人服用此药后增进的睡眠时间服从正态分布，问在显著性水平 α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05 下，这种新安眠药的疗效是否显著？ 此问题应采用____检验，其中检验统计量的值为（ ）
设总体均值为 μ \mu μ（服药后平均增加睡眠时间）：
-
原假设： H 0 : μ ≤ 0 H_0:\mu\le 0 H0:μ≤0
-
备择假设： H 1 : μ > 0 H_1:\mu>0 H1:μ>0
总体方差未知、样本量 n = 9 n=9 n=9 且总体正态，应采用单样本 t t t 检验（右单侧）。
检验统计量：
t = X ˉ − μ 0 S / n = 0.85 − 0 1.25 / 9 = 0.85 1.25 / 3 = 0.85 0.4167 ≈ 2.04 t=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n} =\frac{0.85-0}{1.25/\sqrt9} =\frac{0.85}{1.25/3} =\frac{0.85}{0.4167} \approx 2.04 t=S/n Xˉ−μ0=1.25/9 0.85−0=1.25/30.85=0.41670.85≈2.04
答案：采用 单样本右单侧 t t t 检验 ，检验统计量值 t ≈ 2.04. t\approx 2.04. t≈2.04.
三、判断题
题目16
1️⃣6️⃣ 一台车床加工的一批轴料中取 15 15 15 件，测量其椭圆度，计算样本标准差 S = 0.025 S=0.025 S=0.025，假设椭圆度服从正态分布，则认为该椭圆度的方差与规定的 σ 2 = 0.0004 \sigma^2=0.0004 σ2=0.0004 无显著差别？（ α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05）
- A. 对 ✅
- B. 错
这是总体方差的双侧检验： H 0 : σ 2 = 0.0004 , H 1 : σ 2 ≠ 0.0004 H_0:\sigma^2=0.0004,\qquad H_1:\sigma^2\ne 0.0004 H0:σ2=0.0004,H1:σ2=0.0004
检验统计量 χ 2 = ( n − 1 ) S 2 σ 0 2 = 14 × ( 0.025 ) 2 0.0004 = 14 × 0.000625 0.0004 = 21.875 \chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}=\frac{14\times(0.025)^2}{0.0004}=\frac{14\times0.000625}{0.0004}=21.875 χ2=σ02(n−1)S2=0.000414×(0.025)2=0.000414×0.000625=21.875
自由度为 n − 1 = 14 n-1=14 n−1=14，双侧显著性水平 α = 0.05 \alpha=0.05 α=0.05 的接受域为 χ 0.025 2 ( 14 ) ≤ χ 2 ≤ χ 0.975 2 ( 14 ) \chi^2_{0.025}(14)\le \chi^2 \le \chi^2_{0.975}(14) χ0.0252(14)≤χ2≤χ0.9752(14)，即约为 5.63 ≤ χ 2 ≤ 26.12 5.63 \le \chi^2 \le 26.12 5.63≤χ2≤26.12
因为 21.875 ∈ [ 5.63 , 26.12 ] 21.875 \in [5.63,\,26.12] 21.875∈[5.63,26.12]，故不拒绝 H 0 H_0 H0，可认为"与规定方差无显著差别"。
答案：A. 对