递归(汉诺塔问题)(1)

一.题目

二.思路讲解

2.1 思路讲解

现在我们理解递归，就采取宏观理解递归 的方法来解决这题。首先，用上节课说的从小方面找规律，帮助我们理解大问题如何拆成小问题！

当只有一个盘子的情况下，我们是不是可以直接把 A 上的盘子直接移到 C 里面即可。
当有两个盘子的情况下，我们是不是需要先把 A 的第一个盘子移到 B ，然后再把第二个盘子从 A 移到 C ，最后再把 B 的盘子移到 C。
当有三个盘子的情况下，我们要想把第三个盘子移到 C，那么是不是先把第一和第二个盘子移到 B，然后就能把第三个盘子移到 C，最后再把 B 的两个盘子移到 C。

但是，怎么能移动两个盘子呢？直接移不合法。因此我们要把移动两个盘子变成合法的，这不就回到了只有两个盘子的情况 吗？只不过这次是让盘子从 A 移到 B，不再是 A 移到 C，因此我们的目标柱变成了 B ，而 C 变成了中转站（辅助柱）。

那如果有四个盘子，不也是先把前三个盘子移到 B，然后最后一个移到 C，接着处理三个盘子------这不就又回到了只有三个盘子的情况吗？如此层层递进，就形成了递归的规律。

三.代码演示

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    void hanota(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C) 
    {
        dfs(A,B,C,A.size());
    }
    void dfs(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C,int n)
    {
        //递归终止条件
        if(n == 1)
        {
            C.push_back(A.back());
            A.pop_back();
            return;
        }
        //1.把A中n-1个盘子移到B柱借用C柱子
        dfs(A,C,B,n - 1);

        //2.把A中第n个盘子移动到C柱子
        C.push_back(A.back());
        A.pop_back();

        //3.把B中n-1个盘子移动到C柱子借用A柱子
        dfs(B,A,C,n-1);
        
    }
};

四.代码讲解

一、递归函数设计

我们定义一个递归函数 dfs(A, B, C, n) ，它的含义是：将柱子 A 上的 n 个盘子，借助辅助柱子 B ，全部移动到目标柱子 C 上。这里 A、B、C 分别对应三个柱子的数组引用，直接操作原数组。

二、递归终止条件

当 n == 1 时，说明只剩下一个盘子需要移动。此时，直接将 A 的最后一个盘子（即栈顶）取出，放入 C 中，然后从 A 中移除该盘子。这个操作是直接可行 的，也是递归的最小子问题。

三、递归步骤分解

对于 n > 1 的情况，我们将问题分解为三个子步骤，这正是汉诺塔问题的核心规律：

将 A 上的 n-1 个盘子借助 C 移动到 B 调用 dfs(A, C, B, n - 1)。这一步的目标是把除了最底下那个最大的盘子之外的所有盘子，从 A 移到 B，期间可以借助 C 作为辅助。此时，B 成为这些盘子的目标柱，C 是辅助柱。
将 A 上剩下的第 n 个盘子直接移动到 C 此时 A 上只剩下最大的那个盘子，直接将其从 A 的末尾取出，放入 C 的末尾，并从 A 中删除。这个操作是单步移动，无需借助其他柱子。
将 B 上的 n-1 个盘子借助 A 移动到 C 调用 dfs(B, A, C, n - 1)。现在，所有较小的盘子都在 B 上，我们需要把它们再移到 C 上，此时可以借助 A 作为辅助柱。这一步完成后，所有盘子都按顺序移到了 C。

四、关键细节

宏观理解 ：我们不必纠结于每一步具体如何移动，只需相信递归函数能完成它的任务 。例如，dfs(A, C, B, n-1) 一定能把 A 上的 n-1 个盘子正确移到 B，至于它内部怎么做的，我们暂时不用管。
参数顺序 ：递归调用时，柱子的角色会发生变化。注意每次调用时，三个参数的顺序对应着源柱、辅助柱、目标柱 。例如 dfs(A, C, B, n-1) 表示从 A 移到 B，C 是辅助。
数组操作 ：这里用 push_back 和 pop_back 模拟盘子的取出和放入，每个柱子就是一个栈，后进先出，符合汉诺塔规则。