每天学一个算法--动态规划（Dynamic Programming, DP）

📘 教案 04：动态规划（Dynamic Programming, DP）

1. 问题定义

动态规划用于解决一类问题：

最优子结构 + 重叠子问题

典型目标：

求最小值 / 最大值
求方案数
求可行性

2. 核心思想

动态规划的本质：

将复杂问题分解为子问题，并保存子问题结果，避免重复计算

3. 核心术语（必须讲清）

3.1 最优子结构（Optimal Substructure）

定义：

一个问题的最优解可以由其子问题的最优解构成

例子：

最短路径：

dist(A \to C) = dist(A \to B) + dist(B \to C)

]

3.2 重叠子问题（Overlapping Subproblems）

定义：

子问题会被多次重复计算

例子（斐波那契）：

text 复制代码

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

会重复计算：

text 复制代码

f(n-2), f(n-3), ...

3.3 状态（State）

定义：

描述子问题的变量

示例：

dp\[i\]=前 i 个元素的最优解\]\[ dp\[i\] = \\text{前 i 个元素的最优解} \]\[dp\[i\]=前 i 个元素的最优解

3.4 状态转移（State Transition）

定义：

从子问题推导当前问题的关系

示例：

dp\[i\]=dp\[i−1\]+dp\[i−2\]\]\[ dp\[i\] = dp\[i-1\] + dp\[i-2\] \]\[dp\[i\]=dp\[i−1\]+dp\[i−2\]

3.5 边界条件（Base Case）

定义：

最小子问题的初始值

4. DP 的本质（核心理解）

动态规划不是"算法技巧"，而是：

建立状态 + 建立转移方程

5. DP 与递归的关系

递归：

自顶向下
会重复计算

DP：

自底向上
记录结果（避免重复）

6. DP 基本步骤（必须背）

Step 1：定义状态

dp\[i\]=?\]\[ dp\[i\] = ? \]\[dp\[i\]=?

Step 2：写转移方程

dp\[i\]=f(dp\[...\])\]\[ dp\[i\] = f(dp\[...\]) \]\[dp\[i\]=f(dp\[...\])

Step 3：确定初始值

Step 4：计算顺序

7. 示例1：斐波那契（入门）

定义：

text 复制代码

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

DP写法：

text 复制代码

dp[0] = 0
dp[1] = 1

for i = 2 to n:
    dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

时间复杂度：

O(n)\]\[ O(n) \]\[O(n)

8. 示例2：爬楼梯（核心模型）

问题：

每次可以走 1 或 2 步，问有多少种走法

状态定义：

dp\[i\]=走到第 i 阶的方法数\]\[ dp\[i\] = \\text{走到第 i 阶的方法数} \]\[dp\[i\]=走到第 i 阶的方法数

转移：

dp\[i\]=dp\[i−1\]+dp\[i−2\]\]\[ dp\[i\] = dp\[i-1\] + dp\[i-2\] \]\[dp\[i\]=dp\[i−1\]+dp\[i−2\]

本质：

👉 这是"组合问题"

9. 示例3：背包问题（必须讲）

0-1背包

给定：

重量 (w $i$ )
价值 (v $i$ )
容量 (W)

状态：

dp\[i\]\[j\]=前 i 个物品，容量 j 的最大价值\]\[ dp\[i\]\[j\] = \\text{前 i 个物品，容量 j 的最大价值} \]\[dp\[i\]\[j\]=前 i 个物品，容量 j 的最大价值

转移：

dp\[i\]\[j\]=max⁡(dp\[i−1\]\[j\],dp\[i−1\]\[j−w\[i\]\]+v\[i\])\]\[ dp\[i\]\[j\] = \\max( dp\[i-1\]\[j\], dp\[i-1\]\[j-w\[i\]\] + v\[i\] ) \]\[dp\[i\]\[j\]=max(dp\[i−1\]\[j\],dp\[i−1\]\[j−w\[i\]\]+v\[i\])

含义：

不选第 i 个物品
选第 i 个物品

10. 时间复杂度

取决于状态数量：

O(状态数×转移成本)\]\[ O(\\text{状态数} × \\text{转移成本}) \]\[O(状态数×转移成本)

11. 空间优化（进阶）

从二维到一维

text 复制代码

for i:
    for j = W down to w[i]:
        dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i])

为什么倒序？

防止重复使用同一物品

12. DP 的分类（重要）

类型	特点
线性DP	一维
区间DP	区间转移
背包DP	容量限制
树形DP	树结构
状态压缩DP	位运算

13. 常见错误（教学重点）

❌ 错误1：不会定义状态

👉 状态必须"完整描述子问题"

❌ 错误2：转移方程写错

👉 本质是"决策枚举"

❌ 错误3：顺序错

👉 会导致使用未计算值

❌ 错误4：边界条件遗漏

14. DP 与贪心区别

项目	DP	贪心
是否全局最优	✅	❌（不一定）
是否回溯	有	无
复杂度	高	低

15. 关键结论

DP = 状态 + 转移
本质是"避免重复计算"
适用于最优问题
设计难点在建模