P2722 [USACO3.1] 总分 Score Inflation

记录111

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[10010];//时间状态 
int main(){
	int m,n,p,t;
	cin>>m>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){//遍历题目 
		cin>>p>>t;//分数，时间 
		for(int j=t;j<=m;j++){//正序更新，重新寻找 
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-t]+p);//更新为最大值 
		}
	}
	cout<<dp[m];
	return 0;//结束程序 
}

题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P2722

突破口

我们可以从几个种类中选取竞赛的题目，这里的一个"种类"是指一个竞赛题目的集合，解决集合中的题目需要相同多的时间并且能得到相同的分数。

你的任务是写一个程序来告诉 USACO 的职员，应该从每一个种类中选取多少题目，使得解决题目的总耗时在竞赛规定的时间里并且总分最大。

🔍 一、题目核心理解

🎯 问题描述

竞赛总时间限制为 m
有 n 类题目，每类题目：
- 解一道得 p_i 分
- 耗时 t_i
- 可以重复选择（无限道）
目标：在总时间 ≤ m 的前提下，最大化总得分

✅ 这是一个典型的 完全背包问题（Unbounded Knapsack）：

背包容量 = 总时间 m

每个物品（题目类）可以选任意多次

物品重量 = 时间 t_i，价值 = 分数 p_i

求最大总价值

📌 输入样例解析（输入 #1）

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300 4          → 总时间 300，4 类题目
100 60         → 类1：60分钟得100分
250 120        → 类2：120分钟得250分
120 100        → 类3：100分钟得120分
35 20          → 类4：20分钟得35分

最优策略：

选 15 道第4类题 ：15 × 20 = 300 分钟，得分 15 × 35 = 525 ❌
更优：选 2 道类2（2×120=240分钟，500分） + 3 道类4（3×20=60分钟，105分） → 总时间 300，总分 605 ✅

输出：605

🧠 二、解题思路：完全背包动态规划

状态定义

dp[j] 表示：在总时间恰好为 j 时，能获得的最大分数

💡 注意：虽然定义是"恰好 j"，但由于我们从 0 开始且只做 max，最终 dp[m] 就是"≤m"的最大值。

状态转移

对每一类题目（分数 p，时间 t）：

因为可以无限选 ，所以对每个时间 j 从 t 到 m：
cpp 复制代码
```
dp[j] = max(dp[j], dp[j - t] + p);
```

关键：正序遍历

完全背包必须正序遍历容量 （j = t to m）
这样 dp[j - t] 可能已经包含了当前类题目，从而允许多次选择

✅ 对比 0-1 背包：倒序防止重复；完全背包：正序允许重复

初始化

全局 int dp[] 自动初始化为 0
dp[0] = 0（0 时间得 0 分），其余初始为 0，正确

最终答案

dp[m]：在不超过 m 时间下的最大得分

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[10010]; // dp[j]：使用 j 单位时间能获得的最大分数（m ≤ 10000）

数组大小 10010 > m_max = 10000，安全

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int main(){
    int m, n, p, t;
    cin >> m >> n; // 读入总时间 m 和题目类数 n

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    for(int i = 1; i <= n; i++){ // 遍历每一类题目
        cin >> p >> t; // 读入该类题的分数 p 和耗时 t

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        for(int j = t; j <= m; j++){ // 正序遍历时间（完全背包关键！）
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - t] + p); // 更新最大分数
        }
    }

🔄 核心逻辑说明：

外层：处理第 i 类题目
内层正序 ：j = t to m
- dp[j - t] 可能已经使用了当前类题目（因为 j-t < j，且已更新）
- 所以 dp[j] 可以包含多个当前类题目 → 实现"无限选择"

✅ 举例：若 t=20, p=35

j=20：dp[20] = max(0, dp[0]+35) = 35

j=40：dp[40] = max(0, dp[20]+35) = 70 → 相当于选了 2 道

j=60：dp[60] = 105 → 3 道，依此类推

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    cout << dp[m]; // 输出最大得分
    return 0;
}

⚠️ 关键细节说明

细节	说明
正序遍历	完全背包的核心特征，允许重复选择同一类题目
初始化为 0	正确，因为不选任何题得 0 分
空间优化	使用一维数组，空间 O(m)，时间 O(n×m) ≈ 1e8，在 C++ 中可接受
无后效性	每次只依赖更小的时间状态，DP 正确

总结：问题与解法对应

题目要素	DP 设计
多类题目，每类无限选	完全背包
时间限制 m	背包容量
每类题：耗时 t，得分 p	物品重量和价值
最大化总分	`max` 转移
正序更新	允许重复选择