一、归并排序
1.1 基本思想
归并排序：将两个或多个有序序列合并为一个更长的有序序列。2路归并排序是其中最常用的形式。
2路归并排序过程：
初始： [49] [38] [65] [97] [76] [13] [27]
第一趟： [38 49] [65 97] [13 76] [27]
第二趟： [38 49 65 97] [13 27 76]
第三趟： [13 27 38 49 65 76 97]
1.2 归并操作（Merge）
ElemType *B = (ElemType *)malloc((n + 1) * sizeof(ElemType));
void Merge(ElemType A[], int low, int mid, int high) {
for (int k = low; k <= high; k++) B[k] = A[k];
int i = low, j = mid + 1, k = low;
while (i <= mid && j <= high) {
if (B[i] <= B[j]) A[k++] = B[i++];
else A[k++] = B[j++];
}
while (i <= mid) A[k++] = B[i++];
while (j <= high) A[k++] = B[j++];
}1.3 递归实现
void MergeSort(ElemType A[], int low, int high) {
if (low < high) {
int mid = (low + high) / 2;
MergeSort(A, low, mid);
MergeSort(A, mid + 1, high);
Merge(A, low, mid, high);
}
}1.4 性能分析
| 指标 | 值 |
|---|---|
| 空间复杂度 | O(n)（需辅助数组） |
| 时间复杂度（最好/最坏/平均） | O(n log₂n) |
| 稳定性 | 稳定 |
| 适用性 | 顺序存储 + 链式存储 |
每趟归并需遍历所有元素O(n)，共⌈log₂n⌉趟，总时间复杂度O(n log₂n)。
二、基数排序
2.1 基本思想
基数排序 ：不比较元素大小，而是基于关键字各位的大小进行排序。是一种多关键字排序。
两种方法：
-
MSD（最高位优先）：按关键字位权重递减，逐层划分
-
LSD（最低位优先）：按关键字位权重递增，依次排序（更常用）
2.2 链式基数排序（LSD）
以10个三位数为例：278, 109, 063, 930, 589, 184, 505, 269, 008, 083
第一趟（按个位分配→收集）：
分配：0:930 3:063,083 4:184 5:505 8:278,008 9:109,589,269
收集：930,063,083,184,505,278,008,109,589,269
第二趟（按十位分配→收集）：
分配：0:505,008,109 6:063,269 7:278 8:083,184 9:589,930
收集：505,008,109,063,269,278,083,184,589,930
第三趟（按百位分配→收集）：
分配：0:008,063,083 1:109,184 2:269,278 5:505,589 9:930
收集：008,063,083,109,184,269,278,505,589,930
2.3 性能分析
| 指标 | 值 |
|---|---|
| 空间复杂度 | O(r)（r个队列） |
| 时间复杂度 | O(d(n + r)) |
| 稳定性 | 稳定 |
| 适用性 | 顺序存储 + 链式存储 |
基数排序的时间复杂度与序列初始状态无关。
三、计数排序
3.1 基本思想
计数排序：统计每个元素值出现的次数，根据次数确定每个元素在有序序列中的位置。
void CountSort(ElemType A[], ElemType B[], int n, int k) {
int C[k];
for (int i = 0; i < k; i++) C[i] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) C[A[i]]++;
for (int i = 1; i < k; i++) C[i] = C[i] + C[i - 1];
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
B[C[A[i]] - 1] = A[i];
C[A[i]]--;
}
}3.2 性能分析
| 指标 | 值 |
|---|---|
| 空间复杂度 | O(n + k) |
| 时间复杂度 | O(n + k) |
| 稳定性 | 稳定 |
| 适用性 | 顺序存储 |
注 ：计数排序不在统考大纲范围内，但其思想在历年真题中多次涉及。
四、各种内部排序算法的比较
4.1 时间复杂度对比
| 算法 | 最好 | 平均 | 最坏 |
|---|---|---|---|
| 直接插入排序 | O(n) | O(n²) | O(n²) |
| 冒泡排序 | O(n) | O(n²) | O(n²) |
| 简单选择排序 | O(n²) | O(n²) | O(n²) |
| 希尔排序 | --- | O(n^1.3) | O(n²) |
| 快速排序 | O(n log₂n) | O(n log₂n) | O(n²) |
| 堆排序 | O(n log₂n) | O(n log₂n) | O(n log₂n) |
| 归并排序 | O(n log₂n) | O(n log₂n) | O(n log₂n) |
| 基数排序 | O(d(n+r)) | O(d(n+r)) | O(d(n+r)) |
4.2 空间复杂度对比
| 算法 | 空间复杂度 |
|---|---|
| 直接插入/冒泡/简单选择/希尔/堆排序 | O(1) |
| 快速排序 | O(log₂n) ~ O(n) |
| 归并排序 | O(n) |
| 基数排序 | O(r) |
4.3 稳定性对比
| 稳定 | 不稳定 |
|---|---|
| 直接插入排序 | 简单选择排序 |
| 冒泡排序 | 快速排序 |
| 归并排序 | 希尔排序 |
| 基数排序 | 堆排序 |
在平均时间复杂度为O(n log₂n)的排序算法中，只有归并排序是稳定的。
4.4 适用性对比
| 适用顺序存储 | 顺序存储 + 链式存储 |
|---|---|
| 折半插入排序 | 直接插入排序 |
| 希尔排序 | 冒泡排序 |
| 快速排序 | 简单选择排序 |
| 堆排序 | 归并排序 |
| --- | 基数排序 |
4.5 排序算法选型建议
| 场景 | 推荐算法 |
|---|---|
| n较小 | 直接插入排序 / 简单选择排序 |
| n较大 | 快速排序 / 堆排序 / 归并排序 |
| 基本有序 | 直接插入排序 / 冒泡排序 |
| 关键字位数少、可分解 | 基数排序 |
| 要求稳定 | 归并排序（O(n log₂n)中唯一稳定） |
| 记录信息量大 | 链表 + 插入类/归并类排序 |
五、外部排序
5.1 基本概念
外部排序：待排序记录存储在外存中，无法一次性全部装入内存，需在内存与外存之间多次交换数据。
外部排序时间组成：
总时间 = 内部排序时间 + 外存读/写时间 + 内部归并时间
外存读/写时间远大于内部排序/归并时间，是优化重点。
5.2 外部排序的基本方法
两个阶段：
-
生成初始归并段：将文件分块读入内存，用内部排序排序后写回外存
-
多路归并：逐趟归并初始归并段，直到得到完整有序文件
示意图（2路归并，8个初始归并段）：
R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8
↓ ↓ ↓ ↓
R1' R2' R3' R4'
↓ ↓
R1" R2"
↓
R1"'
5.3 多路平衡归并与败者树
问题：增大归并路数k可减少归并趟数，但内部归并时间会增加（每选一个最小元素需k-1次比较）。
解决方案 ：引入败者树
败者树特点：
-
k个叶结点存放k个归并段当前参与比较的元素
-
内部结点记录"败者"（关键字较大者）
-
胜者继续向上比较
-
最终胜者存于ls[0]
使用败者树后，每选一个最小元素仅需⌈log₂k⌉次比较，内部归并比较次数与k无关。
归并路数k的限制：k不能过大，否则每个输入缓冲区容量减小，每趟归并中外存读/写次数增加，可能反而降低性能。
5.4 置换-选择排序（生成初始归并段）
目的：生成更长的初始归并段，减少归并段个数r。
算法步骤：
-
从输入文件FI读入w个记录到工作区WA
-
从WA中选出关键字最小的记录，记为MINIMAX
-
将MINIMAX输出到输出文件FO
-
若FI非空，读入下一个记录到WA
-
从WA中所有关键字≥当前MINIMAX的记录中，选出最小者作为新的MINIMAX
-
重复3-5，直到WA中无关键字≥当前MINIMAX的记录（完成一个归并段）
-
重复2-6，直到FI和WA均为空
5.5 最佳归并树
问题：初始归并段长度不等，如何安排归并顺序使I/O次数最少？
解决方案 ：构造k叉哈夫曼树（最佳归并树）
虚段的添加：
-
设初始归并段个数为n₀，归并路数为k
-
若
(n₀ - 1) % (k - 1) = 0，可直接构造严格k叉树 -
否则，需添加
(k - 1) - (n₀ - 1) % (k - 1)个虚段（长度为0）
六、思考
1. 归并排序 ≈ 合并两个有序链表
这和合并两个有序链表的代码思想是一样的。归并排序就是反复做这件事------先把序列拆成单个元素（天然有序），再两两合并。
2. 基数排序 ≈ 图书馆图书排序先按个位数字排（书架号），再按十位数字排（楼层号），最后按百位数字排（馆区号）。每趟排序不影响上一趟的相对顺序。(反之亦可)
3. 败者树 ≈ 锦标赛淘汰赛8个选手比赛，每场记录败者，胜者晋级。最后胜者是冠军，而败者树记录了每场比赛谁输了。
4. 置换-选择排序 ≈ 流水线生产工作区就像一个"蓄水池"，不断从上游（输入文件）取新元素，同时向下游（输出文件）送元素，只要新元素不小于刚送走的元素，就继续。
七、各算法复杂度表
| 算法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 稳定性 |
|---|---|---|---|
| 归并排序 | O(n log₂n) | O(n) | 稳定 |
| 基数排序 | O(d(n+r)) | O(r) | 稳定 |
| 计数排序 | O(n+k) | O(n+k) | 稳定 |
| 直接插入排序 | O(n²) | O(1) | 稳定 |
| 冒泡排序 | O(n²) | O(1) | 稳定 |
| 简单选择排序 | O(n²) | O(1) | 不稳定 |
| 希尔排序 | O(n^1.3) | O(1) | 不稳定 |
| 快速排序 | O(n log₂n) | O(log₂n) | 不稳定 |
| 堆排序 | O(n log₂n) | O(1) | 不稳定 |
注：以上内容参考 2027年数据结构考研复习指导 王道论坛 组编，其中有一些个人想法，如有任何错误或不妥，欢迎各位大佬指出，如果各位有一些有意思的想法，也可以和我交流一下~感谢！
另：因计划报考的的学校专业课只考察《计算机网络》《数据结构与算法》，故其他两门计算机专业课不再复习。并且这两门专业课已经复习完毕，所以明日起就开始写题。