考研复习 Day 18 | 数据结构与算法--图（上）

一、图的基本概念

1.1 图的定义

图G由顶点集V和边集E组成，记为G=(V,E)

要素	说明
V(G)	顶点的有限非空集
E(G)	顶点之间关系的集合

重要 ：线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空图。顶点集V必须非空，但边集E可以为空。

---

1.2 基本术语

1. 有向图 vs 无向图

类型	边的形式	说明
有向图	<v, w>	v称为弧尾 ，w称为弧头，表示v→w
无向图	(v, w) 或 (w, v)	v和w互为邻接点

2. 简单图 vs 多重图

类型	条件
简单图	① 不存在重复边；② 不存在顶点到自身的边
多重图	两顶点之间边数可超过1条，允许顶点通过边与自身关联

这里仅讨论简单图。

3. 顶点的度、入度、出度

图类型	定义	重要结论
无向图	度TD(v) = 依附于v的边数	所有顶点的度之和 = 2|E|
有向图	入度ID(v) = 以v为终点的边数；出度OD(v) = 以v为起点的边数	所有顶点的入度之和 = 出度之和 =|E|

注：符号含义对照表

符号	含义	类型	举例
E	边集（Edge Set）	集合	E = {(A,B), (B,C)}
`	E	`	边的条数

很多人会偷懒直接用 E 表示边数，但它本质上是 |E| 。
顶点v的度：TD(v) = ID(v) + OD(v)

4. 路径与回路

术语	定义
路径	顶点序列 v₀, v₁, ..., vₙ
路径长度	路径上边的数量
回路（环）	第一个顶点和最后一个顶点相同的路径
简单路径	路径中顶点不重复出现
简单回路	除首尾外，其余顶点不重复的回路
距离	从u到v的最短路径的长度（不存在则为∞）

若一个图有n个顶点，且有大于n-1条边 ，则此图一定有环。

5. 子图

若 V' ⊆ V 且 E' ⊆ E，则称G'是G的子图。

类型	定义
生成子图	满足 V(G') = V(G) 的子图

并非V和E的任何子集都能构成子图------E'中的边关联的顶点必须在V'中。

6. 连通性（无向图）

术语	定义
连通	从v到w存在路径
连通图	图中任意两个顶点都是连通的
连通分量	无向图中的极大连通子图

若一个图有n个顶点，边数少于n-1 ，则此图必然是非连通的。

7. 强连通性（有向图）

术语	定义
强连通	从v到w和从w到v都有路径
强连通图	图中任意一对顶点都是强连通的
强连通分量	有向图中的极大强连通子图

有向图强连通的最少边数：n条（形成一个环）

8. 生成树与生成森林

术语	定义
生成树	连通图的极小连通子图，包含所有顶点和n-1条边
生成森林	非连通图中，每个连通分量的生成树共同构成

区分：极大连通子图（连通分量）要求包含尽可能多的顶点和边；极小连通子图（生成树）要求保持连通且边数最少。

9. 其他术语

术语	定义
完全图	无向：`
稀疏图/稠密图	`
网	边上带有权值的图
有向树	一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图

---

二、图的存储及基本操作

2.1 邻接矩阵法

#define MaxVertexNum 100
typedef struct {
    VertexType vex[MaxVertexNum];              // 顶点表
    EdgeType edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; // 邻接矩阵（边表）
    int vexnum, arcnum;                        // 当前顶点数和边数
} MGraph;

特点：

图类型	邻接矩阵特点
无向图	一定是对称矩阵，第i行（列）非零元素个数 = 顶点i的度
有向图	第i行非零元素个数 = 出度；第i列 = 入度

重要结论：

• 空间复杂度：O(n²)

• 判断两点是否有边：O(1)

• 确定图中边数：需遍历整个矩阵

• 稠密图适合邻接矩阵

• Aⁿ[i][j] = 从i到j长度为n的路径数量

---

2.2 邻接表法

#define MaxVertexNum 100
typedef struct ArcNode {           // 边表结点
    int adjvex;                    // 邻接点位置
    struct ArcNode *nextarc;       // 下一条边的指针
    // InfoType info;              // 网边权值
} ArcNode;

typedef struct VNode {             // 顶点表结点
    VertexType data;               // 顶点信息
    ArcNode *firstarc;             // 第一条边
} VNode, AdjList[MaxVertexNum];

typedef struct {
    AdjList vertices;              // 邻接表
    int vexnum, arcnum;            // 顶点数和边数
} ALGraph;

特点：

图类型	空间复杂度	特点
无向图	O(n + 2|E|)	每条边出现两次
有向图	O(n + |E|)	---

• 稀疏图适合邻接表

• 找所有邻接点：邻接表高效；邻接矩阵需扫描整行

• 判断两点是否有边：邻接表需遍历边表，效率较低

• 有向图入度：需遍历所有顶点的边表

• 邻接表的表示不唯一（取决于输入顺序）

---

2.3 十字链表（有向图）

每条弧用一个弧结点 表示，每个顶点用一个顶点结点表示。

弧结点结构：

顶点结点结构：

优点：容易找到以v为尾的弧（出度）和以v为头的弧（入度）

---

2.4 邻接多重表（无向图）

每条边只用一个结点表示，解决了邻接表中一条边用两个结点表示的问题。

边结点结构：

顶点结点结构：

优点：判断边是否存在只需遍历一次

---

2.5 四种存储方式对比

存储方式	空间复杂度	找相邻边	删除边/顶点	适用场景	表示唯一性
邻接矩阵	O(n²)	遍历行/列O(n)	删边方便，删顶点需移动数据	稠密图	唯一
邻接表	无向O(n+2|E|)，有向O(n+|E|)	方便	不方便	稀疏图	不唯一
十字链表	O(n+|E|)	方便	方便	有向图	不唯一
邻接多重表	O(n+|E|)	方便	方便	无向图	不唯一

---

三、图的遍历

3.1 广度优先搜索（BFS）

类似于树的层序遍历 ，借助队列实现，按路径长度递增的顺序访问顶点。

bool visited[MAX_VERTEX_NUM];

void BFSTraverse(Graph G) {
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) visited[i] = FALSE;
    InitQueue(Q);
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
        if (!visited[i]) BFS(G, i);
}

void BFS(ALGraph G, int i) {
    visit(i); visited[i] = TRUE;
    EnQueue(Q, i);
    while (!QueueEmpty(Q)) {
        DeQueue(Q, v);
        for (ArcNode *p = G.vertices[v].firstarc; p; p = p->nextarc) {
            w = p->adjvex;
            if (!visited[w]) {
                visit(w); visited[w] = TRUE;
                EnQueue(Q, w);
            }
        }
    }
}

性能分析：

• 空间复杂度：O(n)（辅助队列）

• 时间复杂度：

  • 邻接表：O(n + |E|)

  • 邻接矩阵：O(n²)

BFS求单源最短路径（非带权图）：

void BFS_MIN_Distance(Graph G, int u) {
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) d[i] = ∞;
    visited[u] = TRUE; d[u] = 0;
    EnQueue(Q, u);
    while (!QueueEmpty(Q)) {
        DeQueue(Q, u);
        for (w = FirstNeighbor(G, u); w >= 0; w = NextNeighbor(G, u, w))
            if (!visited[w]) {
                visited[w] = TRUE;
                d[w] = d[u] + 1;
                EnQueue(Q, w);
            }
    }
}

广度优先生成树：

• 邻接矩阵存储：生成树唯一

• 邻接表存储：生成树可能不唯一

---

3.2 深度优先搜索（DFS）

类似于树的先序遍历 ，借助**递归（栈）**实现，遵循"尽可能深"地探索的策略。

bool visited[MAX_VERTEX_NUM];

void DFSTraverse(Graph G) {
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++) visited[i] = FALSE;
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
        if (!visited[i]) DFS(G, i);
}

void DFS(ALGraph G, int i) {
    visit(i); visited[i] = TRUE;
    for (ArcNode *p = G.vertices[i].firstarc; p; p = p->nextarc) {
        j = p->adjvex;
        if (!visited[j]) DFS(G, j);
    }
}

性能分析：

• 空间复杂度：O(n)（递归工作栈）

• 时间复杂度：

  • 邻接表：O(n + |E|)

  • 邻接矩阵：O(n²)

深度优先生成树/森林：

• 连通图：一棵生成树

• 非连通图：生成森林

---

3.3 图的遍历与连通性

图类型	遍历特点
无向图	调用BFS/DFS的次数 = 连通分量数
有向图	一次遍历不一定能访问所有顶点，需外层循环确保全覆盖

---

四、思考

1. 邻接矩阵 ≈ 城市之间的直达航班表

行是出发城市，列是到达城市，单元格填1表示有直达航班。对角线是自己的城市（0），矩阵对称表示往返都有航班。
2. 邻接表 ≈ 微信好友列表

每个用户有一个好友列表（边表），只存储自己的好友，不存储非好友关系。空间利用率高。
3. BFS ≈ 六度分隔理论

你认识的朋友是第一层，朋友的朋友是第二层......BFS正是按这个层层递进的顺序探索"社交网络"中的人际关系。
4. DFS ≈ 走迷宫

沿着一条路一直走，走到死胡同就退回上一个岔路口，换一条路继续走，直到走遍所有路。

注：以上内容参考 2027年数据结构考研复习指导 王道论坛 组编，其中有一些个人想法，如有任何错误或不妥，欢迎各位大佬指出，如果各位有一些有意思的想法，也可以和我交流一下~感谢！

---

五、明日计划

图（下）--- 最小生成树、最短路径、拓扑排序、关键路径