如题，这俩是一回事，但大家不知道为什么。
圆锥曲线有 3 种定义，截面定义是阿波罗尼奥斯的，轨迹定义是帕普斯的，方程定义是笛卡尔-费马的。前面 重构帕普斯发现圆锥曲线准线的过程 关联了截面定义和轨迹定义，今天来看看方程定义和截面定义的关系。本质上这些定义都是一回事，教科书不教的是它们的关系。
圆锥曲线在解析几何中叫二次曲线，这也是截面截圆锥决定的。
空心圆锥的解析式是：
(a):x2+y2=z2⋅tan2αx^2+y^2=z^2\cdot\tan^2\alphax2+y2=z2⋅tan2α
其中 α\alphaα 是半顶角。
截面平面的解析式是：
(b):Px+Qy+Rz+T=0Px+Qy+Rz+T=0Px+Qy+Rz+T=0
"截" 的动作相当于联立平面方程和圆锥方程，将 z 代入即可，不管怎么截，所得的方程都是二次的，而我们已经知道，按照截面和 xy 平面夹角 β\betaβ 不同，一共可以截出 3 类曲线，抛物线，椭圆，双曲线。
教科书上讲的是，二次曲线标准型为：
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
设 Δ=B2−4AC\Delta=B^2-4ACΔ=B2−4AC，然后让大家背下来结论：
- 当 Δ>0\Delta>0Δ>0，为双曲线；
- 当 Δ=0\Delta=0Δ=0，为抛物线；
- 当 Δ<0\Delta<0Δ<0，为椭圆；
基本没讲 why，这正好就是本文的目标。
现在我们 "用 (b) 去截 (a)"，得：
x2+y2−tan2αR2(Px+Qy+T)2=0x^2+y^2-\dfrac{\tan^2\alpha}{R^2}(Px+Qy+T)^2=0x2+y2−R2tan2α(Px+Qy+T)2=0
展开后对比标准型，获得 A，B，C 的对应关系：
{A=1−P2R2tan2αB=−PQR2tan2αC=1−Q2R2tan2α...\left\{\begin{aligned}A=1-\dfrac{P^2}{R^2}\tan^2\alpha\\B=-\dfrac{PQ}{R^2}\tan^2\alpha\\C=1-\dfrac{Q^2}{R^2}\tan^2\alpha\\...\end{aligned}\right.⎩ ⎨ ⎧A=1−R2P2tan2αB=−R2PQtan2αC=1−R2Q2tan2α...
代入计算 Δ\DeltaΔ，化简后的结果如下：
Δ=(P2+Q2R2tan2α−1)\Delta=(\dfrac{P^2+Q^2}{R^2}\tan^2\alpha-1)Δ=(R2P2+Q2tan2α−1)
现在关联平面二面角 β\betaβ。
xy 水平面法向量 n0=(0,0,1)n_0=(0,0,1)n0=(0,0,1)，对任意平面 (b)，法向量为 n=(P,Q,R)n=(P,Q,R)n=(P,Q,R)，二面角 β\betaβ 满足：
cosβ=∣n⋅n0∣∣n∣∣n0∣=∣R∣P2+Q2+R2\cos\beta=\dfrac{|n\cdot n_0|}{|n||n_0|}=\dfrac{|R|}{\sqrt{P^2+Q^2+R^2}}cosβ=∣n∣∣n0∣∣n⋅n0∣=P2+Q2+R2 ∣R∣
紧接着：
sin2β=P2+Q2P2+Q2+R2\sin^2\beta=\dfrac{P^2+Q^2}{P^2+Q^2+R^2}sin2β=P2+Q2+R2P2+Q2
则：
tan2β=sin2βcos2β=P2+Q2R2\tan^2\beta=\dfrac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}=\dfrac{P^2+Q^2}{R^2}tan2β=cos2βsin2β=R2P2+Q2
代入 Δ\DeltaΔ：
Δ=(tan2βtan2α−1)\Delta=(\tan^2\beta\tan^2\alpha-1)Δ=(tan2βtan2α−1)
要判断 Δ\DeltaΔ 的符号，直接看下图，这就是教科书上讲的：
这就是 Δ\DeltaΔ 的几何含义。
但这还只是解释，若要自洽，还要进一步看这一切的几何意义。
记圆锥为：
x2+y2=z2⋅tan2αx^2+y^2=z^2\cdot\tan^2\alphax2+y2=z2⋅tan2α
截面为：
Px+Qy+Rz+T=0Px+Qy+Rz+T=0Px+Qy+Rz+T=0
联立，代入 y=kxy=kxy=kx ，这是过原点与 z 轴平行的平面，我需要看它和曲线的交点穿越情况，从而判断曲线的类型。
代入后，得到关于 x 的方程：
©:U(k) x2+V(k) x+W=0{U(k)\,x^2 + V(k)\,x + W = 0}U(k)x2+V(k)x+W=0
其中：
λ=tan2αR2\lambda=\dfrac{\tan^2\alpha}{R^2}λ=R2tan2α
U(k)=(1−λQ2)k2−2λPQ k+(1−λP2)V(k)=−2λT (P+Qk)W=−λT2\begin{aligned}{U(k)}&={\big(1-\lambda Q^2\big)k^2-2\lambda PQ\,k+\big(1-\lambda P^2\big)}\\[6pt]{V(k)} &= {-2\lambda T\,(P + Qk)}\\[6pt]{W}&= {-\lambda T^2}\end{aligned}U(k)V(k)W=(1−λQ2)k2−2λPQk+(1−λP2)=−2λT(P+Qk)=−λT2
为了分析 y=kxy=kxy=kx 与圆锥曲线的交点情况，就要分析 ©:
-
U(k) 不为 0，则 © 有多少根，就意味着 y=kxy=kxy=kx 与圆锥曲线有多少交点；
-
U(k) 为 0，则能通过线性项解出唯一的 x=−WV(k)x=-\dfrac{W}{V(k)}x=−V(k)W，作为其与圆锥曲线的交点；
现在分别看。我后面针对性地写成 ΔU\Delta_UΔU，避免混乱。
如果 U(k) 永不为 0，则 © 成为一个一元二次方程，我们已知 U(k) 的 ΔU<0\Delta_U\lt0ΔU<0， 而自己证(CTMD，这就是我不喜欢的理由，玩这个的都是体力活，艹！) (1−λQ2)>0(1-\lambda Q^2\big)>0(1−λQ2)>0，则可以确定：
U(k)>0U(k)\gt 0U(k)>0
现在求整个 x 的一元二次方程 © 的判别式：
Δx=V(k)2−4U(k)W\Delta_x=V(k)^2-4U(k)WΔx=V(k)2−4U(k)W
整理它：
Δx=V(k)2+4U(k)λT2>0\Delta_x=V(k)^2+4U(k)\lambda T^2>0Δx=V(k)2+4U(k)λT2>0
这意味着 y=kxy=kxy=kx 与曲线恒有两个交点。
不管 k 是什么，一个平面的任意一条直线投影与截面与圆锥的交线曲线恒有两个交点，这是是什么，这必然是一个封闭的图形，这是椭圆！
现在看 U(k) = 0 的情景。
如果当 k 等于特定值时 U(k) = 0，那么必定可解出：
x0=−WV(k)x_0=-\dfrac{W}{V(k)}x0=−V(k)W
这说明 (x0,kx0)(x_0,kx_0)(x0,kx0) 是曲线与 y=kxy=kxy=kx 的一个交点，如果 U(k) = 0 有一个根，就跟一个平面的投影直线有一个交点，如果有两个根，就跟两个平面的投影直线有两个交点。
很显然，如果一条直线与圆锥截面曲线只有一个交点，那就是抛物线，如果 k 有两个解，那就能解出两个 (x,kx)(x,kx)(x,kx)，就意味着有两条直线分别跟曲线都有一个交点，那就是双曲线！
现在看这一条或者两条直线的方向指向哪里。
当 ΔU=0\Delta_U=0ΔU=0 时，k 有一个实根 k0k_0k0，解之，它的值为：
k0=λPQ1−λQ2k_0=\dfrac{\lambda PQ}{1-\lambda Q^2}k0=1−λQ2λPQ
化简得：
k=QPk=\dfrac{Q}{P}k=PQ
而截平面是 Px+Qy+Rz+T=0Px+Qy+Rz+T=0Px+Qy+Rz+T=0，根据法向量关系，y=kxy=kxy=kx 过原点且垂直于截平面，那么它与截平面的交线平行于与截平面平行的母线，这就是抛物线的对称轴。
进一步，如果 ΔU>0\Delta_U\gt 0ΔU>0，k1，k2k_1，k_2k1，k2 与 k0k_0k0 上下偏差固定的一个 ΔU\sqrt{\Delta_U}ΔU ，也就是与双曲线渐近线平行的两条过原点的直线了。
以上就是通过二次曲线标准型的判别式判断曲线类型的几何意义。
我给一个例子，注意看最后一张图截面，隐约可以看见渐近线：
最后，以上所有分析都是 z 轴悬空的，而我们用于分析的二次曲线都在 xy 平面，这并不影响判断，因为只需要将悬空交线投影到 xy 平面即可。
对可逆线性变换，设变换行列式 J≠0J\not= 0J=0 ，有恒等式：
Δ′=J2Δ\Delta'=J^2 \DeltaΔ′=J2Δ
这种投影属于仿射变换，并不影响 Δ 的符号，看到下面的抛物线投影了吗：
你懂了吗？别听老师的，听我的
浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。