【灵神高频面试题合集04-05】二分查找

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二分查找

【题单】二分：https://leetcode.cn/circle/discuss/SqopEo/

04 二分查找红蓝染色法

课程讲解

原始二分查找（模板代码）

要求 nums 是非递减的，即 nums $i$ <= nums $i+1$ ，返回最小的满足 nums $i$ >= target 的 i。如果不存在，返回 len(nums)

二分查找在闭区间上的写法，以及对比开区间、半闭半开区间上的写法

≥、＞target（的第一个数）、≤、＜target（的最后一个数）写法的差别

>x 等价于 ≥ x+1（的第一个数）
<x 可以看成 ≥ x 的第一个数，它左边的那个数
≤x 可以看成＞ x 的第一个数，它左边的那个数

红色更新 left 指针，蓝色更新 right 指针

python 复制代码

# 左闭右闭
def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
    left = 0
    right = len(nums) - 1
    # [left, right]
    while left <= right:   # 区间不为空
        mid = (left + right) // 2   # 或写成 left + (right - left) // 2
        if nums[mid] < target:
            left = mid + 1   # [mid+1, right]
        else:
            right = mid - 1   # [left, mid-1]
    return left

# 左闭右开
def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
    left = 0
    right = len(nums)
    # [left, right)
    while left < right:   # 区间不为空
        mid = (left + right) // 2   # 或写成 left + (right - left) // 2
        if nums[mid] < target:
            left = mid + 1   # [mid+1, right)
        else:
            right = mid   # [left, mid)
    return left   # 或 return right 均可

# 左开右开
def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
    left = -1
    right = len(nums)
    # (left, right)
    while left+1 < right:   # 区间不为空
        mid = (left + right) // 2   # 或写成 left + (right - left) // 2
        if nums[mid] < target:
            left = mid    # (mid, right)
        else:
            right = mid   # (left, mid)
    return right

由于每次都去掉了一半的元素，时间复杂度为 O(logn)
空间复杂度 O(1)，没有用到额外空间

34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

等于求 target 的开始位置和结束位置，即分别是 ≥ 和 ≤

python 复制代码

class Solution:
    # 左闭右闭版本的模板代码
    def search(self, nums, target):
        left = 0
        right = len(nums) - 1
        # [left, right]
        while left <= right:   # 区间不为空
            mid = (left + right) // 2   # 或写成 left + (right - left) // 2
            if nums[mid] < target:
                left = mid + 1   # [mid+1, right]
            else:
                right = mid - 1   # [left, mid-1]
        return left
        
    def searchRange(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
        start = self.search(nums, target)   # ≥ target的第一个位置
        # 如果所有数都 < target 或 这个数不等于target
        if start == len(nums) or nums[start] != target:
            return [-1, -1]
        # ≤ target的最后一个位置，可以转化成
        # > target的第一个数，它左边的那个数
        # > target等价于 ≥ target + 1
        end = self.search(nums, target+1) - 1   # -1表示它左边的那个数
        return [start, end]

时间O(logn)，空间O(1)

课后作业

05 数组峰值搜索旋转排序数组

课程讲解

162. 寻找峰值

找到一个峰顶，大于左右两侧相邻的元素

比如下图中的2（第一个2）、4、6（因为可以假设 nums[-1] = nums[n] = -∞ ）都是峰顶
由于峰顶一定在数组中，所以数组最右侧的元素一定是蓝色的（n-1要么是峰顶，要么在峰顶右侧）
因此二分时，可以初始化 left=0，right=n-2（n-1一定是蓝色，无需再二分）
可以通过比较 M 和 M+1 指向的数字来染色。题目保证了这两个数字一定不相等（对于所有有效的 i 都有 nums[i] != nums[i + 1]），所以要么小于，要么大于
若是小于，说明 M 在峰顶左侧（M右侧存在峰顶），都是红色，更新left
若是大于，说明 M 要么是峰顶，要么在峰顶右侧（M左侧存在峰顶），都是蓝色，更新right
二分循环结束后，L就是答案（左闭右闭写法时）

python 复制代码

# 左闭右闭写法
class Solution:
    def findPeakElement(self, nums: List[int]) -> int:
        # [0, n-2]
        left, right = 0, len(nums)-2
        while left <= right:
            mid = (left + right) // 2
            if nums[mid] < nums[mid+1]:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid - 1
        return left

# 左开右开写法
class Solution:
    def findPeakElement(self, nums: List[int]) -> int:
        # [0, n-2]
        # (-1, n-1)
        left, right = -1, len(nums)-1
        while left + 1 < right:
            mid = (left + right) // 2
            if nums[mid] < nums[mid+1]:   # 红色
                left = mid
            else:   # 蓝色
                right = mid
        return right

时间O(logn)，空间O(1)

153. 寻找旋转排序数组中的最小值

给你一个数组，它可能是一个递增的数组，也有可能是两段递增数组且第一个数 > 最后一个数 。如何用 O(logn) 的时间 找到数组的最小值？

需要一个判定方式来判断 nums $mid$ （即二分的位置）是在最小值的左侧还是右侧
可以和最后一个数比大小。由于最小值一定在数组中，那么最后一个数要么是最小值，要么在最小值的右侧。因此 n-1 一定是蓝色
因此，在 0 ~ n-2 中二分
- 如果 nums $mid$ < 最后一个数，那么 nums $mid$ 所处的位置有两种情况：在一段递增数组中，或者在两段递增数组中的第二段。无论是哪种情况，nums $mid$ 要么是最小值，要么在最小值右侧。染成蓝色
- 如果 nums $mid$ > 最后一个数，那么 nums $mid$ 只可能在两段递增数组中，且一定在最小值左侧（第一段）。染成红色

python 复制代码

class Solution:
    def findMin(self, nums: List[int]) -> int:
        # [0, n-2]
        # (-1, n-1)
        left, right = -1, len(nums)-1
        while left + 1 < right:
            mid = (left + right) // 2
            if nums[mid] > nums[-1]:   # 红色
                left = mid
            else:    # 蓝色
                right = mid
        return nums[right]

33. 搜索旋转排序数组

【力扣-Python-33】搜索旋转排序数组（middle）

找 target（可能不在数组中），需要在 $0, n-1$ 上二分，有两种做法：

参考153题，首先找到最小值，然后比较 target 和最后一个数的大小，来判断在哪段二分查找 target。需要两次二分
可以只一次二分。分三种情况讨论，什么时候 nums $mid$ 在 target 及其右侧（染成蓝色）
- 如果二分的位置 > 最后一个数，说明在第一段。如果此时 target 也大于最后一个数，说明 target 也在第一段。且如果 nums $mid$ >= target，说明在 target 及其右侧，染成蓝色
- 如果二分的位置 ≤ 最后一个数，说明在第二段。如果此时 target 大于最后一个数，说明 target 在第一段。直接就说明 nums $mid$ 在 target 及其右侧（染成蓝色）
- 如果二分的位置 ≤ 最后一个数，说明在第二段。target 也在第二段，nums $mid$ >= target，这种情况也是蓝色
其余情况就是红色

python 复制代码

class Solution:
    def is_blue(self, nums, i, target):
        end = nums[-1]
        if nums[i] > end:
            return target > end and nums[i] >= target
        else:
            return target > end or nums[i] >= target

    # [0, n-1]
    # (-1, n)
    def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        left, right = -1, len(nums)
        while left + 1 < right:
            mid = (left + right) // 2
            if self.is_blue(nums, mid, target):
                right = mid
            else:
                left = mid
        if right == len(nums) or nums[right] != target:
            return -1
        return right