一、题目描述
编写一个高效的算法来搜索 m x n 矩阵 matrix 中的一个目标值 target。该矩阵具有以下特性：
- 每行的元素从左到右升序排列
- 每列的元素从上到下升序排列
示例 1：
输入：matrix = [[1,4,7,11,15],[2,5,8,12,19],[3,6,9,16,22],[10,13,14,17,24],[18,21,23,26,30]]
target = 5
输出：true示例 2：
输入：matrix = [[1,4,7,11,15],[2,5,8,12,19],[3,6,9,16,22],[10,13,14,17,24],[18,21,23,26,30]]
target = 20
输出：false提示：
- m == matrix.length
- n == matrix[i].length
- 1 <= n, m <= 300
- -10^9 <= matrix[i][j] <= 10^9
- 每行的所有元素从左到右升序排列
- 每列的所有元素从上到下升序排列
- -10^9 <= target <= 10^9
二、解题思路总览
核心思想：从右上角开始，利用有序性单向剪枝
从矩阵的右上角开始搜索，每次比较后根据大小关系排除一行或一列：
- 如果当前元素大于 target，说明目标不可能在当前列的下方，往左走
- 如果当前元素小于 target，说明目标不可能在当前行的上方，往下走
为什么从右上角或左下角开始？
因为这两个角具有「单向有序」的特性：
- 右上角：同行左边更小，同列下边更大
- 左下角：同行右边更大，同列上边更小
从其他角落开始无法保证单向剪枝。
| 方法 | 核心思路 | 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|---|---|---|---|
| 搜索窗口法（本题） | 从右上角开始，每次排除一行或一列 | O(m + n) | O(1) |
| 二分搜索 | 对每行进行二分 | O(m log n) | O(1) |
| 暴力搜索 | 遍历整个矩阵 | O(m * n) | O(1) |
三、完整代码
cpp
class Solution {
public:
bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
int m = matrix.size();
int n = matrix[0].size();
int l = 0; // 当前行，从 0 开始
int b = n - 1; // 当前列，从最后一列开始（右上角）
while (l < m && b >= 0) {
if (matrix[l][b] == target) {
return true;
}
if (matrix[l][b] > target) {
b--; // 当前元素太大，目标在左边，列减一
} else if (matrix[l][b] <= target) {
l++; // 当前元素太小，目标在下边，行加一
}
}
return false;
}
};四、算法流程图
4.1 整体搜索流程
输入：matrix, target
[Step 1] 初始化起点
l = 0（从第一行开始）
b = n - 1（从最后一列开始，即右上角）
|
v
[Step 2] 进入主循环
|
v
l < m && b >= 0 ？
|否
v
【返回 false】 ← 循环结束，未找到
|
|是
v
[Step 3] 获取当前元素
current = matrix[l][b]
|
v
current == target ？
|是
v
【返回 true】 ← 找到目标
|
|否
v
current > target ？
|是 |否
v v
[Step 4] 列左移 [Step 5] 行下移
| |
v v
b-- l++
| |
v v
回到 Step 2 回到 Step 24.2 具体示例执行流程（找到目标）
输入：matrix = [[1,4,7,11,15],
[2,5,8,12,19],
[3,6,9,16,22],
[10,13,14,17,24],
[18,21,23,26,30]]
target = 5
初始：l=0, b=4
第一轮：
matrix[0][4] = 15 > 5 → b-- → b=3
第二轮：
matrix[0][3] = 11 > 5 → b-- → b=2
第三轮：
matrix[0][2] = 7 > 5 → b-- → b=1
第四轮：
matrix[0][1] = 4 < 5 → l++ → l=1
第五轮：
matrix[1][1] = 5 == 5 → 返回 true
找到目标！共执行 5 步。4.3 具体示例执行流程（未找到目标）
输入：target = 20
初始：l=0, b=4
第一轮：matrix[0][4] = 15 < 20 → l++ → l=1
第二轮：matrix[1][4] = 19 < 20 → l++ → l=2
第三轮：matrix[2][4] = 22 > 20 → b-- → b=3
第四轮：matrix[2][3] = 16 < 20 → l++ → l=3
第五轮：matrix[3][3] = 17 < 20 → l++ → l=4
第六轮：matrix[4][3] = 26 > 20 → b-- → b=2
第七轮：matrix[4][2] = 23 > 20 → b-- → b=1
第八轮：matrix[4][1] = 21 > 20 → b-- → b=0
第九轮：matrix[4][0] = 18 < 20 → l++ → l=5
第十轮：l=5 不满足 l < m，循环退出
返回 false（未找到）4.4 为什么从右上角开始
以 4x4 矩阵为例：
col=0 col=1 col=2 col=3
row=0 1 2 3 4
row=1 5 6 7 8
row=2 9 10 11 12
row=3 13 14 15 16
右上角 (l=0, b=3) = 4
特性：
- 往左走（b--）：值变小（同行左边元素更小）
- 往下走（l++）：值变大（同列下方元素更大）
这保证了每次比较后只能往一个方向走，不会丢失任何可能性。
如果从左上角开始 (l=0, b=0) = 1：
- 往右走（b++）：值变大
- 往下走（l++）：值变大
两个方向都可能导致 target，无法剪枝。五、逐行解析
5.1 初始化起点
cpp
int l = 0; // 当前行
int b = n - 1; // 当前列（右上角）选择右上角的原因：
- 同行左侧都是比它小的元素（往左走值变小）
- 同列下方都是比它大的元素（往下走值变大）
- 形成天然的搜索剪枝条件
5.2 主循环逻辑
cpp
while (l < m && b >= 0) {
if (matrix[l][b] == target) {
return true;
}
if (matrix[l][b] > target) {
b--;
} else if (matrix[l][b] <= target) {
l++;
}
}三种情况：
| 情况 | 条件 | 动作 | 原因 |
|---|---|---|---|
| 找到目标 | matrix[l][b] == target | return true | 搜索成功 |
| 当前太大 | matrix[l][b] > target | b-- | 同行左边更小，目标可能在左边 |
| 当前太小 | matrix[l][b] < target | l++ | 同列下方更大，目标可能在下方 |
5.3 循环结束条件
cpp
return false;何时返回 false：
- l >= m：已经越过最后一行（第 m 行不存在）
- b < 0：已经越过第一列（第 -1 列不存在）
- 两种情况都说明已经搜索完所有可能的路径
六、复杂度分析
| 指标 | 复杂度 | 说明 |
|---|---|---|
| 时间复杂度 | O(m + n) | 每次循环要么 l++，要么 b--，最多走 m+n 步 |
| 空间复杂度 | O(1) | 只用了两个指针变量 |
最坏情况演示：
m=5, n=5 的矩阵，最多走 5+5-1=9 步：
l 从 0 到 4（5 步）
b 从 4 到 0（4 步）七、面试追问
| 问题 | 回答要点 |
|---|---|
| 为什么从右上角开始而不是左上角？ | 左上角往右往下都变大，无法单向剪枝；右上角同行往左更小，同列往下更大 |
| 可以从左下角开始吗？ | 可以，逻辑相同：当前太大往上走（行减），当前太小往右走（列加） |
| 时间复杂度为什么是 O(m+n)？ | 每次循环 l++ 或 b--，最多 m+n 步 |
| 如果 target 小于矩阵右上角？ | 从右上角开始，直接 b-- 向左搜索，直到找到或越界 |
| 为什么不用二分搜索？ | 每行每列虽然有序，但不是全局有序，二分只能作用在单行或单列上 |
| 最坏情况下搜索多少次？ | m+n-1 次，即沿着对角线走完整个矩阵 |
| 如果 target 大于矩阵右下角？ | 从右上角开始，一路 l++ 向下搜索，直到找到或越界 |
| 为什么是 <= 而不是 <？ | 当 matrix[l][b] < target 时行加一，等于 target 时在第一个 if 已经返回，else if 用 <= 或 < 等价 |
八、相关题目
| 题号 | 题目 | 关键点 |
|---|---|---|
| 240 | 搜索二维矩阵 II | 本题 |
| 74 | 搜索二维矩阵 | 每行每列升序，但第一行最后一个元素的右边不再有更小的值 |
| 378 | 有序矩阵中第 K 小的元素 | 堆或二分搜索 |
| 54 | 螺旋矩阵 | 矩阵遍历 |