【力扣100题】25. 搜索二维矩阵 II

一、题目描述

编写一个高效的算法来搜索 m x n 矩阵 matrix 中的一个目标值 target。该矩阵具有以下特性：

每行的元素从左到右升序排列
每列的元素从上到下升序排列

示例 1：

复制代码

输入：matrix = [[1,4,7,11,15],[2,5,8,12,19],[3,6,9,16,22],[10,13,14,17,24],[18,21,23,26,30]]
      target = 5
输出：true

示例 2：

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输入：matrix = [[1,4,7,11,15],[2,5,8,12,19],[3,6,9,16,22],[10,13,14,17,24],[18,21,23,26,30]]
      target = 20
输出：false

提示：

m == matrix.length
n == matrix $i$ .length
1 <= n, m <= 300
-10^9 <= matrix $i$ $j$ <= 10^9
每行的所有元素从左到右升序排列
每列的所有元素从上到下升序排列
-10^9 <= target <= 10^9

二、解题思路总览

核心思想：从右上角开始，利用有序性单向剪枝

从矩阵的右上角开始搜索，每次比较后根据大小关系排除一行或一列：

如果当前元素大于 target，说明目标不可能在当前列的下方，往左走
如果当前元素小于 target，说明目标不可能在当前行的上方，往下走

为什么从右上角或左下角开始？

因为这两个角具有「单向有序」的特性：

右上角：同行左边更小，同列下边更大
左下角：同行右边更大，同列上边更小

从其他角落开始无法保证单向剪枝。

方法	核心思路	时间复杂度	空间复杂度
搜索窗口法（本题）	从右上角开始，每次排除一行或一列	O(m + n)	O(1)
二分搜索	对每行进行二分	O(m log n)	O(1)
暴力搜索	遍历整个矩阵	O(m * n)	O(1)

三、完整代码

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        int m = matrix.size();
        int n = matrix[0].size();

        int l = 0;      // 当前行，从 0 开始
        int b = n - 1;  // 当前列，从最后一列开始（右上角）

        while (l < m && b >= 0) {
            if (matrix[l][b] == target) {
                return true;
            }
            if (matrix[l][b] > target) {
                b--;  // 当前元素太大，目标在左边，列减一
            } else if (matrix[l][b] <= target) {
                l++;  // 当前元素太小，目标在下边，行加一
            }
        }

        return false;
    }
};

四、算法流程图

4.1 整体搜索流程

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输入：matrix, target

[Step 1] 初始化起点
         l = 0（从第一行开始）
         b = n - 1（从最后一列开始，即右上角）
         |
         v
[Step 2] 进入主循环
         |
         v
    l < m && b >= 0 ？
      |否
      v
    【返回 false】     ← 循环结束，未找到
      |
      |是
      v
[Step 3] 获取当前元素
         current = matrix[l][b]
         |
         v
    current == target ？
      |是
      v
    【返回 true】       ← 找到目标
      |
      |否
      v
    current > target ？
      |是                      |否
      v                       v
  [Step 4] 列左移           [Step 5] 行下移
      |                       |
      v                       v
  b--                     l++
      |                       |
      v                       v
  回到 Step 2              回到 Step 2

4.2 具体示例执行流程（找到目标）

复制代码

输入：matrix = [[1,4,7,11,15],
                [2,5,8,12,19],
                [3,6,9,16,22],
                [10,13,14,17,24],
                [18,21,23,26,30]]
      target = 5

初始：l=0, b=4

第一轮：
  matrix[0][4] = 15 > 5 → b-- → b=3

第二轮：
  matrix[0][3] = 11 > 5 → b-- → b=2

第三轮：
  matrix[0][2] = 7 > 5 → b-- → b=1

第四轮：
  matrix[0][1] = 4 < 5 → l++ → l=1

第五轮：
  matrix[1][1] = 5 == 5 → 返回 true

找到目标！共执行 5 步。

4.3 具体示例执行流程（未找到目标）

复制代码

输入：target = 20

初始：l=0, b=4

第一轮：matrix[0][4] = 15 < 20 → l++ → l=1
第二轮：matrix[1][4] = 19 < 20 → l++ → l=2
第三轮：matrix[2][4] = 22 > 20 → b-- → b=3
第四轮：matrix[2][3] = 16 < 20 → l++ → l=3
第五轮：matrix[3][3] = 17 < 20 → l++ → l=4
第六轮：matrix[4][3] = 26 > 20 → b-- → b=2
第七轮：matrix[4][2] = 23 > 20 → b-- → b=1
第八轮：matrix[4][1] = 21 > 20 → b-- → b=0
第九轮：matrix[4][0] = 18 < 20 → l++ → l=5
第十轮：l=5 不满足 l < m，循环退出

返回 false（未找到）

4.4 为什么从右上角开始

复制代码

以 4x4 矩阵为例：

     col=0  col=1  col=2  col=3
row=0  1      2      3      4
row=1  5      6      7      8
row=2  9     10     11     12
row=3 13     14     15     16

右上角 (l=0, b=3) = 4

特性：
- 往左走（b--）：值变小（同行左边元素更小）
- 往下走（l++）：值变大（同列下方元素更大）

这保证了每次比较后只能往一个方向走，不会丢失任何可能性。

如果从左上角开始 (l=0, b=0) = 1：
- 往右走（b++）：值变大
- 往下走（l++）：值变大
两个方向都可能导致 target，无法剪枝。

五、逐行解析

5.1 初始化起点

cpp 复制代码

int l = 0;      // 当前行
int b = n - 1;  // 当前列（右上角）

选择右上角的原因：

同行左侧都是比它小的元素（往左走值变小）
同列下方都是比它大的元素（往下走值变大）
形成天然的搜索剪枝条件

5.2 主循环逻辑

cpp 复制代码

while (l < m && b >= 0) {
    if (matrix[l][b] == target) {
        return true;
    }
    if (matrix[l][b] > target) {
        b--;
    } else if (matrix[l][b] <= target) {
        l++;
    }
}

三种情况：

情况	条件	动作	原因
找到目标	matrix $l$ $b$ == target	return true	搜索成功
当前太大	matrix $l$ $b$ > target	b--	同行左边更小，目标可能在左边
当前太小	matrix $l$ $b$ < target	l++	同列下方更大，目标可能在下方

5.3 循环结束条件

cpp 复制代码

return false;

何时返回 false：

l >= m：已经越过最后一行（第 m 行不存在）
b < 0：已经越过第一列（第 -1 列不存在）
两种情况都说明已经搜索完所有可能的路径

六、复杂度分析

指标	复杂度	说明
时间复杂度	O(m + n)	每次循环要么 l++，要么 b--，最多走 m+n 步
空间复杂度	O(1)	只用了两个指针变量

最坏情况演示：

复制代码

m=5, n=5 的矩阵，最多走 5+5-1=9 步：
l 从 0 到 4（5 步）
b 从 4 到 0（4 步）

七、面试追问

问题	回答要点
为什么从右上角开始而不是左上角？	左上角往右往下都变大，无法单向剪枝；右上角同行往左更小，同列往下更大
可以从左下角开始吗？	可以，逻辑相同：当前太大往上走（行减），当前太小往右走（列加）
时间复杂度为什么是 O(m+n)？	每次循环 l++ 或 b--，最多 m+n 步
如果 target 小于矩阵右上角？	从右上角开始，直接 b-- 向左搜索，直到找到或越界
为什么不用二分搜索？	每行每列虽然有序，但不是全局有序，二分只能作用在单行或单列上
最坏情况下搜索多少次？	m+n-1 次，即沿着对角线走完整个矩阵
如果 target 大于矩阵右下角？	从右上角开始，一路 l++ 向下搜索，直到找到或越界
为什么是 <= 而不是 <？	当 matrix $l$ $b$ < target 时行加一，等于 target 时在第一个 if 已经返回，else if 用 <= 或 < 等价

八、相关题目

题号	题目	关键点
240	搜索二维矩阵 II	本题
74	搜索二维矩阵	每行每列升序，但第一行最后一个元素的右边不再有更小的值
378	有序矩阵中第 K 小的元素	堆或二分搜索
54	螺旋矩阵	矩阵遍历