文章目录
- 前言
- 一、快速排序的习题讲解
-
- [1. 排序数组（模板题，详细介绍快排算法的优化过程）](#1. 排序数组（模板题，详细介绍快排算法的优化过程）)
- [2. 数组中的第K个最大元素（快速选择算法）](#2. 数组中的第K个最大元素（快速选择算法）)
- [3. 练习题：库存管理 III](#3. 练习题：库存管理 III)
- 二、归并排序的习题讲解
-
- [1. 排序数组（模板题，归并排序的算法思路）](#1. 排序数组（模板题，归并排序的算法思路）)
- [2. 数组中的逆序对（hard）](#2. 数组中的逆序对（hard）)
- [3. 计算右侧小于当前元素的个数](#3. 计算右侧小于当前元素的个数)
前言
快速排序 和 归并排序的算法思路详见：【算法】常见排序算法（插入排序、选择排序、交换排序和归并排序）
一、快速排序的习题讲解
1. 排序数组（模板题，详细介绍快排算法的优化过程）
- 题目描述：
给你一个整数数组 nums，请你将该数组升序排列。
你必须在 不使用任何内置函数 的情况下解决问题，时间复杂度为 O(nlog(n))，并且空间复杂度尽可能小。
示例 ：
输入：nums = [5,1,1,2,0,0]
输出：[0,0,1,1,2,5]
解释：请注意，nums 的值不一定唯一。
提示：1 <= nums.length <= 5 * 10^4
-5 * 10^4 <= nums[i] <= 5 * 10^4
- 代码示例：
cpp
class Solution {
public:
void swap(int* a, int* b)
{
int tmp = *a;
*a = *b;
*b = tmp;
}
// 使用三数取中法选择三者的中位数作为基准值并将其换到begin位置
void median_select(vector<int>& vec, int begin, int end)
{
int mid = begin + (end - begin) / 2;
if (vec[begin] > vec[mid]) // 目标: vec[mid] >= vec[begin]
swap(&vec[begin], &vec[mid]);
if(vec[mid] > vec[end]) // 目标: vec[end] >= vec[mid]
swap(&vec[mid], &vec[end]); // 前两步，使vec[end]位置一定是最大值
if(vec[begin] < vec[mid]) // 目标: vec[begin] >= vec[mid]
swap(&vec[begin], &vec[mid]);
// 再从begin 和 end位置选出一个大的值放在begin位置，
// begin位置上保存这三个位置中间的值，后续依然可以选第一个元素为基准值划分函数
}
// 采用三路划分的快速排序
void quicksort(vector<int>& nums, int begin, int end)
{
median_select(nums, begin, end);
int key = nums[begin];
int left = begin;
int right = end;
int cur = begin + 1;
while(cur <= right)
{
if(nums[cur] < key)
{
swap(&nums[left], &nums[cur]);
left++;
cur++;
}
else if(nums[cur] > key)
{
swap(&nums[right], &nums[cur]);
right--;
}
else if(nums[cur] == key)
cur++;
}
if(begin < left - 1)
quicksort(nums, begin, left - 1);
if(right + 1 < end)
quicksort(nums, right + 1, end);
}
vector<int> sortArray(vector<int>& nums)
{
if(nums.size() > 1)
quicksort(nums, 0, nums.size() - 1);
return nums;
}
};2. 数组中的第K个最大元素（快速选择算法）
- 题目描述：
给定整数数组 nums 和整数 k，请返回数组中第 k 个最大的元素。
请注意，你需要找的是数组排序后的第 k 个最大的元素，而不是第 k 个不同的元素。
你必须设计并实现时间复杂度为 O(n) 的算法解决此问题。
示例1 ：
输入：[3, 2, 1, 5, 6, 4], k = 2
输出：5
示例2 ：输入：[3, 2, 3, 1, 2, 4, 5, 5, 6], k = 4
输出：4
提示：1 <= k <= nums.length <= 10^5
-10^4 <= nums[i] <= 10^4
- 代码演示：
cpp
class Solution {
public:
void swap(int* a, int* b)
{
int tmp = *a;
*a = *b;
*b = tmp;
}
// 使用三数取中法选择三者的中位数作为基准值并将其换到begin位置
void median_select(vector<int>& vec, int begin, int end)
{
int mid = begin + (end - begin) / 2;
if (vec[begin] > vec[mid]) // 目标: vec[mid] >= vec[begin]
swap(&vec[begin], &vec[mid]);
if(vec[mid] > vec[end]) // 目标: vec[end] >= vec[mid]
swap(&vec[mid], &vec[end]); // 前两步，使vec[end]位置一定是最大值
if(vec[begin] < vec[mid]) // 目标: vec[begin] >= vec[mid]
swap(&vec[begin], &vec[mid]);
// 再从begin 和 end位置选出一个大的值放在begin位置，
// begin位置上保存这三个位置中间的值，后续依然可以选第一个元素为基准值划分函数
}
// 采用三路划分的快速排序
int quicksort(vector<int>& nums, int begin, int end, int k)
{
median_select(nums, begin, end);
int key = nums[begin];
int left = begin;
int right = end;
int cur = begin + 1;
while(cur <= right)
{
if(nums[cur] < key)
{
swap(&nums[left], &nums[cur]);
left++;
cur++;
}
else if(nums[cur] > key)
{
swap(&nums[right], &nums[cur]);
right--;
}
else if(nums[cur] == key)
cur++;
}
int a = left - begin; // 小于key的元素个数
int b = right - left + 1; // 等于key的元素个数
int c = end - right; // 大于key的元素个数
if(c >= k)
return quicksort(nums, right + 1, end, k);
else if(b+c >= k)
return key;
else
return quicksort(nums, begin, left - 1, k-b-c);
}
int findKthLargest(vector<int>& nums, int k)
{
return quicksort(nums, 0, nums.size() - 1, k);
}
};3. 练习题：库存管理 III
- 题目描述：
仓库管理员以数组 stock 形式记录商品库存表，其中 stock[i] 表示对应商品库存余量。请返回库存余量最少的 cnt 个商品余量，返回 顺序不限。
示例1 ：
输入：stock = [2, 5, 7, 4], cnt = 1
输出：[2]
示例2 ：输入：stock = [0, 2, 3, 6], cnt = 2
输出：[0, 2] 或 [2, 0]
提示：0 <= cnt <= stock.length <= 10000
0 <= stock[i] <= 10000
二、归并排序的习题讲解
1. 排序数组（模板题，归并排序的算法思路）
- 题目描述：
给你一个整数数组 nums，请你将该数组升序排列。
你必须在 不使用任何内置函数 的情况下解决问题，时间复杂度为 O(nlog(n))，并且空间复杂度尽可能小。
示例 ：
输入：nums = [5,1,1,2,0,0]
输出：[0,0,1,1,2,5]
解释：请注意，nums 的值不一定唯一。
提示：1 <= nums.length <= 5 * 10^4
-5 * 10^4 <= nums[i] <= 5 * 10^4
- 代码演示：
cpp
class Solution {
public:
// 归并排序
void merge_sort(vector<int>& vec, int begin, int end, vector<int>& tmp)
{
int mid = begin + (end - begin) / 2;
if (begin < mid)
merge_sort(vec, begin, mid, tmp);
if(mid + 1 < end)
merge_sort(vec, mid + 1, end, tmp);
int left1 = begin;
int right1 = mid;
int left2 = mid + 1;
int right2 = end;
int index = begin;
while (left1 <= right1 && left2 <= right2)
{
if (vec[left1] <= vec[left2])
{
tmp[index] = vec[left1];
index++, left1++;
}
else
{
tmp[index] = vec[left2];
index++, left2++;
}
}
while (left1 <= right1)
{
tmp[index] = vec[left1];
index++, left1++;
}
while (left2 <= right2)
{
tmp[index] = vec[left2];
index++, left2++;
}
while (begin <= end)
{
vec[begin] = tmp[begin];
begin++;
}
}
vector<int> sortArray(vector<int>& nums)
{
if(nums.size() > 1)
{
vector<int> tmp(nums.size());
merge_sort(nums, 0, nums.size()-1, tmp);
}
return nums;
}
};2. 数组中的逆序对（hard）
- 题目描述：
在股票交易中，如果前一天的股价高于后一天的股价，则可以认为存在一个「交易逆序对」。请设计一个程序，输入一段时间内的股票交易记录 record，返回其中存在的「交易逆序对」总数。
示例 1：
输入：record = [9, 7, 5, 4, 6]
输出：8
解释：交易中的逆序对为 (9, 7), (9, 5), (9, 4), (9, 6), (7, 5), (7, 4), (7, 6), (5, 4)。
提示：0 <= record.length <= 50000
cpp
class Solution {
public:
// 归并排序 增加第 5 个参数：count_total（统计逆序对的个数）
void merge_sort(vector<int>& arr, int begin, int end, vector<int>& tmp, long long *count_total)
{
int mid = begin + (end - begin) / 2;
if (begin < mid)
merge_sort(arr, begin, mid, tmp, count_total);
if (mid + 1 < end)
merge_sort(arr, mid + 1, end, tmp, count_total);
int left1 = begin;
int right1 = mid;
int left2 = mid + 1;
int right2 = end;
int n = begin;
while (left1 <= right1 && left2 <= right2)
{
if (arr[left1] <= arr[left2])
{
tmp[n++] = arr[left1++];
}
else // 在归并排序的过程中，统计满足条件的逆序对个数
{
*count_total += right1 - left1 + 1;
tmp[n++] = arr[left2++];
}
}
while (left1 <= right1)
{
tmp[n++] = arr[left1++];
}
while (left2 <= right2)
{
tmp[n++] = arr[left2++];
}
while (begin <= end)
{
arr[begin] = tmp[begin];
begin++;
}
}
int reversePairs(vector<int>& record) {
long long count = 0;
if(record.size() < 2)
return 0;
vector<int> tmp(record.size());
merge_sort(record, 0, record.size() - 1, tmp, &count);
return count;
}
};3. 计算右侧小于当前元素的个数
- 题目描述：
给你一个整数数组 nums ，按要求返回一个新数组 counts 。数组 counts 有该性质： counts[i] 的值是 nums[i] 右侧小于 nums[i] 的元素的数量。
示例 1：
输入：nums = [ 5, 2, 6, 1 ]
输出：[ 2, 1, 1, 0 ]
解释：
5 的右侧有 2 个更小的元素 (2 和 1)
2 的右侧仅有 1 个更小的元素 (1)
6 的右侧有 1 个更小的元素 (1)
1 的右侧有 0 个更小的元素
示例 2：
输入：nums = [-1]
输出：[0]
示例 3：
输入：nums = [-1, -1]
输出：[0, 0]
提示：1 <= nums.length <= 10^5
-10^4 <= nums[i] <= 10^4
- 代码示例：
cpp
class Solution {
public:
void merge_sort(vector<int>& arr, int begin, int end, vector<int>& tmp, vector<vector<int>>& index, vector<int>& ret)
{
int mid = begin + (end - begin) / 2;
if (begin < mid)
merge_sort(arr, begin, mid, tmp, index, ret);
if (mid + 1 < end)
merge_sort(arr, mid + 1, end, tmp, index, ret);
int left1 = begin;
int right1 = mid;
int left2 = mid + 1;
int right2 = end;
int n = begin;
while (left1 <= right1 && left2 <= right2)
{
if (arr[left1] > arr[left2]) // 在归并排序的过程中，统计满足条件的逆序对个数
{
index[1][n] = index[0][left1];
ret[index[1][n]] += right2 - left2 + 1; // 增加对应下标 的逆序对个数
tmp[n++] = arr[left1++];
}
else if(arr[left1] <= arr[left2])
{
index[1][n] = index[0][left2];
tmp[n++] = arr[left2++];
}
}
while (left1 <= right1)
{
index[1][n] = index[0][left1];
tmp[n++] = arr[left1++];
}
while (left2 <= right2)
{
index[1][n] = index[0][left2];
tmp[n++] = arr[left2++];
}
while (begin <= end)
{
arr[begin] = tmp[begin];
index[0][begin] = index[1][begin];
begin++;
}
}
vector<int> countSmaller(vector<int>& nums)
{
if(nums.size() == 1)
return vector<int>(1, 0);
vector<int> ret(nums.size(), 0);
// 要对 index数组进行归并排序，也需要一个临时数组，
// 所以直接创建两个数组，index[1]作为下标绑定数组，index[2]作为临时数组
vector<vector<int>> index(2, vector<int>(nums.size()));
for(int i = 0;i < nums.size();i++)
{
index[0][i] = i;
}
vector<int> tmp(nums.size());
merge_sort(nums, 0, nums.size() - 1, tmp, index, ret);
return ret;
}
};