力扣HOT100(52)动态规划 - 最长递增子序列

菜菜的顾清寒2026-06-04 9:21

先搞懂：什么是「子序列」？

这是新手最容易搞混的点，一定要和「子串」区分开：

子串：必须是数组中连续的一段元素
子序列 ：可以不连续，但元素的相对顺序不能变

比如数组 [10,9,2,5,3,7,101,18]：

子串：[2,5,3]（连续）
子序列：[2,3,18]（不连续，但顺序不变）

题目要求

找到数组中最长的严格递增子序列的长度

严格递增：后一个元素必须大于前一个，不能等于
子序列可以不连续，但顺序不能乱

核心思路（一句话讲透）

用 dp[i] 表示：以第 i 个元素结尾的最长递增子序列的长度 。对于每个元素 nums[i]，我们看它前面所有比它小的元素 nums[j]（j < i）：

如果 nums[j] < nums[i]，说明 nums[i] 可以接在 nums[j] 后面，形成一个更长的子序列
这个更长的子序列长度就是 dp[j] + 1
我们在所有可能的 dp[j] + 1 中取最大值，就是 dp[i] 的值

所以状态转移方程：

plaintext

复制代码

dp[i] = max(dp[j] + 1)  （其中 0 ≤ j < i 且 nums[j] < nums[i]）

完整解题步骤

处理边界情况：如果数组为空，直接返回 0
初始化 dp 数组 ：
- 数组长度为 n（和原数组一样长）
- 所有元素初始化为1（因为每个元素自己就是一个长度为 1 的子序列）
遍历计算 dp 数组 ：
- 外层循环：i从0到n-1（当前要计算的元素）
- 内层循环：j从0到i-1（前面所有的元素）
  - 如果 nums[j] < nums[i]（可以接在后面）
  - 更新 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
返回结果 ：dp 数组中的最大值
- 注意：最长子序列不一定以最后一个元素结尾，所以不能直接返回dp[n-1]

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if(n == 0)
            return 0;


        vector<int> dp(n,1);//初始值设成1 因为序列最短包括自己 长度为1

        for(int i = 0;i<n;i++){
            for(int j = 0;j<i;j++){
                if(nums[j]<nums[i]){
                    dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1);
                }
            }
        }  

        return *max_element(dp.begin(),dp.end());
    }
};