◆博主名称：少司府
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目录
[1.1 红黑树的规则](#1.1 红黑树的规则)
[1.2 红黑树控制最长路径不超过最短路径的2倍](#1.2 红黑树控制最长路径不超过最短路径的2倍)
[1.3 红黑树的效率](#1.3 红黑树的效率)
[2.1 红黑树的结构](#2.1 红黑树的结构)
[2.2 红黑树的插入](#2.2 红黑树的插入)
[2.2.1 插入的大概过程](#2.2.1 插入的大概过程)
[2.2.2 情况1：u存在且为红------变色](#2.2.2 情况1：u存在且为红——变色)
[2.2.3 情况2：u不存在或存在且为黑+直线结构------变色+单旋](#2.2.3 情况2：u不存在或存在且为黑+直线结构——变色+单旋)
[2.2.4 情况三：u不存在或存在且为黑+折线结构------变色+双旋](#2.2.4 情况三：u不存在或存在且为黑+折线结构——变色+双旋)
[2.3 插入的代码实现](#2.3 插入的代码实现)
[2.4 红黑树的查找](#2.4 红黑树的查找)
[3.1 验证的原理](#3.1 验证的原理)
[3.2 代码实现](#3.2 代码实现)
1.红黑树的介绍
红⿊树是⼀棵**⼆叉搜索树** ，他的每个结点增加⼀个存储位来表⽰结点的颜⾊，可以是红⾊ 或者**⿊⾊** 。通过对任何⼀条从根到叶⼦的路径上各个结点的颜⾊进⾏约束，红⿊树确保没有⼀条路径会⽐其他路径⻓出2倍，因⽽是接近平衡的。
1.1 红黑树的规则
1.每个结点不是红色就是黑色
2.根结点 是黑色的
3.如果⼀个结点是红⾊的，则它的两个孩⼦结点必须是黑色的，也就是说任意⼀条路径不会有连续的红色结点。
4.对于任意⼀个结点，从该结点到其所有NULL结点的简单路径上，均包含相同数量的⿊⾊结点
注意：《算法导论》等书籍上补充了⼀条每个叶⼦结点(NIL)都是⿊⾊的规则。他这⾥所指的叶⼦结点不是传统的意义上的叶⼦结点，⽽是我们说的空结点，有些书籍上也把NIL叫做外部结点。
以空节点NULL为末位置，根节点开始，作为一条路径。
1.2 红黑树控制最长路径不超过最短路径的2倍
1）、由规则4可知，从根到NULL结点的每条路径都有相同数量的⿊⾊结点，所以极端场景下，最短路径 就就是全是⿊⾊结点的路径，假设最短路径 ⻓度为bh(black height)。
2）、由规则2和规则3可知，任意⼀条路径不会有连续的红⾊结点，所以极端场景下，最⻓的路径就是⼀黑⼀红间隔组成，那么最⻓路径 的⻓度为2*bh。
3）、综合红⿊树的4点规则⽽⾔，理论上的全⿊最短路径和⼀⿊⼀红的最⻓路径并不是在每棵红⿊树都 存在的。假设任意⼀条从根到NULL结点路径的⻓度为h ，那么bh <= h <= 2*bh
1.3 红黑树的效率
相对而言，插⼊相同数量的结点，红⿊树的旋转次数是更少的，因为他对平衡的控制没那么严格。
2.红黑树的实现
2.1 红黑树的结构
cpp
// 枚举值表示颜色
enum Colour
{
RED,
BLACK
};
// 这里我们默认按key/value结构实现
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
// 这里更新控制平衡也要加入parent指针
pair<K, V> _kv;
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
Colour _col;
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
{ }
};
template<class K, class V>
class RBTree
{
typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
private:
Node* _root = nullptr;
};2.2 红黑树的插入
2.2.1 插入的大概过程
1）、插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊，插⼊后我们只需要观察是否符合红⿊树的4条规则。
2）、如果是空树插⼊ ，新增结点是黑色结点。如果是非空树插⼊ ，新增结点必须红⾊结点，因为⾮空树插⼊，新增⿊⾊结点就破坏了规则4，规则4是很难维护的。
3）、⾮空树插⼊后，新增结点必须红⾊结点，如果⽗亲结点是⿊⾊的，则没有违反任何规则，插⼊结束
4）、⾮空树插⼊后，新增结点必须红⾊结点，如果⽗亲结点是红⾊的，则违反规则3。
注意：下图中假设我们把新增结点标识为c(cur)，c的⽗亲标识为p(parent)，p的⽗亲标识为 g(grandfather)，p的兄弟标识为u(uncle）。
2.2.2 情况1：u存在且为红------变色
解决方法：c为红，p为红，g为⿊，u存在且为红，则将p和u变⿊，g变红。在把g当做新的c，继续往上更新。
分析：因为p和u都是红⾊，g是黑色，把p和u变⿊，左边⼦树路径各增加⼀个黑色结点，g再变红，相 当于保持g所在⼦树的黑色结点的数量不变，同时解决了c和p连续红⾊结点的问题，需要继续往上更新 是因为，g是红⾊，如果g的⽗亲还是红⾊，那么就还需要继续处理；如果g的⽗亲是⿊⾊，则处理结束 了；如果g就是整棵树的根，再把g变回黑色。
上图分别是hb==0和hb==1的情况。
2.2.3 情况2：u不存在或存在且为黑+直线结构------变色+单旋
c为红，p为红，g为⿊，u不存在或者u存在且为⿊，u不存在，则c⼀定是新增结点，u存在且为⿊，则c⼀定不是新增，c之前是⿊⾊的，是在c的⼦树中插⼊，符合情况1，变⾊将c从⿊⾊变成红⾊，更新上来的。
解决方法：
1）、将p结点变黑 ，将g结点变红 。
2）、以g结点为旋转轴发生一次右单旋。
如果p是g的左，c是p的左，那么以g为旋转点进⾏右单旋，再把p变⿊，g变红即可。p变成课这颗树新 的根，这样⼦树黑色结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且不需要往上更新，因为p的⽗亲是黑色还是红色或者空都不违反规则。
2.2.4 情况三：u不存在或存在且为黑+折线结构------变色+双旋
c为红，p为红，g为⿊，u不存在或者u存在且为⿊，u不存在，则c⼀定是新增结点，u存在且为⿊，则 c⼀定不是新增，c之前是⿊⾊的，是在c的⼦树中插⼊，符合情况1，变⾊将c从⿊⾊变成红⾊，更新上来的。
解决方法：先以 p 为旋转轴进行一次单旋（将结构拉直），再以 g 为旋转轴进行一次单旋，最后将 c 变黑，g 变红。
如果p是g的左，c是p的右，那么先以p为旋转点进⾏左单旋，再以g为旋转点进⾏右单旋，再把c变 ⿊，g变红即可。c变成课这颗树新的根，这样⼦树⿊⾊结点的数量不变，没有连续的红⾊结点了，且 不需要往上更新，因为c的⽗亲是⿊⾊还是红⾊或者空都不违反规则。
2.3 插入的代码实现
cpp
// 旋转代码的实现跟AVL树是⼀样的，只是不需要更新平衡因⼦
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
// 新增结点。颜⾊红⾊给红⾊
cur->_col = RED;
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;
// g
// p u
if (parent == grandfather->_left)
{
Node* uncle = grandfather->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
// u存在且为红 -》变⾊再继续往上处理
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
// u存在且为⿊或不存在 -》旋转+变⾊
if (cur == parent->_left)
{
// g
// p u
//c
//单旋
RotateR(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
// g
// p u
// c
//双旋
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
else
{
// g
// u p
Node* uncle = grandfather->_left;
// 叔叔存在且为红，-》变⾊即可
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
// 继续往上处理
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else // 叔叔不存在，或者存在且为⿊
{
// 情况⼆：叔叔不存在或者存在且为⿊
// 旋转+变⾊
// g
// u p
// c
if (cur == parent->_right)
{
RotateL(grandfather);
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
else
{
// g
// u p
// c
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
}
break;
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return true;
}2.4 红黑树的查找
按⼆叉搜索树逻辑实现即可：
cpp
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}3.红黑树的验证
3.1 验证的原理
1）、规则1枚举颜⾊类型，天然实现保证了颜⾊不是⿊⾊就是红⾊。
2）、规则2直接检查根即可
3）、规则3前序遍历检查，遇到红⾊结点查孩⼦不太⽅便，因为孩⼦有两个，且不⼀定存在，反过来检查⽗亲的颜⾊就⽅便多了。
4）、规则4前序遍历，遍历过程中⽤形参记录跟到当前结点的blackNum(黑色结点数量)，前序遍历遇到 ⿊⾊结点就++blackNum，⾛到空就计算出了⼀条路径的黑色结点数量。再任意⼀条路径⿊⾊结点数量作为参考值，依次⽐较即可。
3.2 代码实现
cpp
bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
{
if (root == nullptr)
{
// 前序遍历⾛到空时，意味着⼀条路径⾛完了
//cout << blackNum << endl;
if (refNum != blackNum)
{
cout << "存在⿊⾊结点的数量不相等的路径" << endl;
return false;
}
return true;
}
// 检查孩⼦不太⽅便，因为孩⼦有两个，且不⼀定存在，反过来检查⽗亲就⽅便多了
if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
{
cout << root->_kv.first << "存在连续的红⾊结点" << endl;
return false;
}
if (root->_col == BLACK)
{
blackNum++;
}
return Check(root->_left, blackNum, refNum)
&& Check(root->_right, blackNum, refNum);
}
bool IsBalance()
{
if (_root == nullptr)
return true;
if (_root->_col == RED)
return false;
// 参考值
int refNum = 0;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_col == BLACK)
{
++refNum;
}
cur = cur->_left;
}
return Check(_root, 0, refNum);
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