浅谈博弈论

浅谈博弈论

巴巴博弈。

巴巴博弈？

巴巴博弈！

博弈

多名玩家参与的竞争游戏。

特征

• 每次只允许一个人行动，通常轮流行动。
• 每个玩家的目标是获胜，且每个人都是上帝视角，可以找到最优方案。
• 获胜条件通常为多得分或达到指定局面。
• 大部分为两个玩家 A、B 参与。结果只有 A 胜，B 胜和平局三种。

公平组合游戏

若一个游戏满足：

• 两名玩家交替行动。
• 玩家决策相同，只与当前局面有关。
• 不能行动的玩家负。

则这个游戏称为公平组合游戏。例如下文的 Nim 博弈。

状态设计

• 包含当前游戏的局面和即将行动的玩家。
• 即将行动的玩家称为先手，对方称为后手。
• 结果分为先手必胜（简称胜）、先手必败（简称败）和平。

注意操作完后先手不一定会改变。下文假定轮换行动玩家。

有向图游戏

在一个有向图里，两名玩家从起点依次移动棋子，首先无法移动的玩家负。

所以我们可以把任意的公平组合游戏的每一个状态看作有向图的点，决策看作边，建立有向图。

注意不一定是 DAG，可能有环。

这种图被称为博弈图。

状态转移与决策

设当前先手为 A，对手为 B。

此时从当前状态转移到的结果有三种情况：

• 先手必胜。此时先手指 B，故结果为对于 A 是必败的。
• 先手必败。此时后手 A 必胜。
• 平。

然后由于每个玩家开了挂，所以一定会选择最利于自己的那个状态去转移。

就是有必胜状态就不选平和必败，有平就不选必败。

所以我们有：

• 可以变化到任意先手必败的状态，当前状态为先手必胜。
• 所有变化都为先手必胜，当前状态为先手必败。
• 只能转移到平和先手必胜，当前状态为平。

所以说博弈论的求解是先 DFS 把可行状态求出来，后根据搜出来的结果调整。

即搜索方向与转移方向是反着的。

所以就十分自然地想到用记忆化搜索。

小 trick：越靠近终止状态的状态一定是越先被记搜搜到的。因为搜索反向。

若图中存在环，可以利用拓扑排序，将能计算的点的状态先计算出来，没被计算过的点的状态就是平。因为它们既不能转移到先手必胜，也不能转移到先手必败。符合平局的定义。

板子是设 f u f_u fu 表示在局面 u u u 的情况下，先手的最优结果。有些题目如果先后手人不同操作不同还需要再开一维存先手。

分类

• 公平博弈：每名玩家可进行的操作相同。
• 零和博弈：玩家们收益总和一定。

游戏可能会无限进行。因为如果存在环，且其余状态为必败态，则先手为了不败会选择在环内周旋。

Nim 博弈

情景类似于：有 n n n 堆石子，第 i i i 堆石子有 a i a_i ai 个，两名玩家轮流取石子，每次可以选择任意一堆取不多于该堆石子个数个石子，不能不取，无法操作者负。

同样地，Nim 博弈可以根据所有堆的石子个数确定状态。

这样，一共有 ∏ i = 1 n a i \prod_{i=1}^n a_i ∏i=1nai 种状态，要 O ( ∏ i = 1 n a i ) O(\prod_{i=1}^n a_i) O(∏i=1nai) 地求出所有状态的胜负是绝对不允许的。

那么如何快速判断呢？

定理：若一个局面，满足 ⊕ i = 1 n a i ≠ 0 \oplus_{i=1}^n a_i\neq 0 ⊕i=1nai=0，则先手必胜，反之先手必败。

证明：

结论一：若 ∀ a i = 0 \forall a_i=0 ∀ai=0，则游戏结束，先手必败。

结论二：若 ⊕ i = 1 n a i = k ≠ 0 \oplus _{i=1}^n a_i=k\neq 0 ⊕i=1nai=k=0，设 k k k 的二进制下为 1 1 1 的最高位为第 p p p 位，则必然存在某个 a j a_j aj 的二进制下第 p p p 位为 1 1 1。

由于 a j a_j aj 和 k k k 的 1 1 1 的最高位相同，异或完一定等于 0 0 0，所以 a j ⊕ k < a j a_j\oplus k<a_j aj⊕k<aj。

那么我们可以从 a j a_j aj 中取走 a j − a j ⊕ k a_j-a_j\oplus k aj−aj⊕k 个石子，使得 a j ← a j ⊕ k a_j\leftarrow a_j\oplus k aj←aj⊕k，则原式变为：

⊕ i = 1 j − 1 a i ⊕ a j ⊕ k ⊕ i = j + 1 n a j = 0 \oplus {i=1}^{j-1}a_i \ \oplus a_j \oplus k \ \oplus{i=j+1}^n a_j=0 ⊕i=1j−1ai ⊕aj⊕k ⊕i=j+1naj=0

所以一定存在一种取法，使得剩下的石子异或和为 0 0 0。

结论三：若 ⊕ i = 1 n a i = 0 \oplus _{i=1}^n a_i=0 ⊕i=1nai=0，则不管取多少个，必然会使剩下的异或和不等于 0 0 0。

因为所有石子二进制下每一位为 1 1 1 的数字个数必定是偶数，而设取了 m m m 个石子，则 m m m 二进制下有至少一位必定是 1 1 1，使得这一位所有的 1 1 1 的个数变成偶数，异或完就不为零了。

结论四：石子一定越取越少，最后必然会达到全为 0 0 0 的局面。

所以如果局面的异或和不为 0 0 0，先手一定可以使其变为 0 0 0，一步一步变成全为 0 0 0 的局面，所以先手必胜。

（发现者是怎么想到用异或判定的啊......）

SG 函数

首先定义一下 \\operatorname{mex} 运算。

mex(S) ⁡ \operatorname{mex(S)} mex(S) 表示在集合 S S S 中，最小的不属于 S S S 的非负整数，即：

mex(S) ⁡ = min ⁡ i = 0 , i ∉ S i \operatorname{mex(S)}=\min_{i=0,i\notin S} {i} mex(S)=i=0,i∈/Smini

上文提到，任意的公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。

设在博弈图中，从点 x x x 出发，可到达的点的集合为 S = { y 1 , y 2 , ⋯   , y k } S=\{y_1,y_2,\cdots ,y_k\} S={y1,y2,⋯,yk}，则定义 SG(x) ⁡ = mex ⁡ ( S G i ∈ S ( i ) ⁡ ) \operatorname{SG(x)}=\operatorname{mex}(\operatorname{SG_{i\in S}(i)}) SG(x)=mex(SGi∈S(i))，即所有可达点的 SG ⁡ \operatorname{SG} SG 值的 mex ⁡ \operatorname{mex} mex 值。

特别地，如果 S = ∅ S=\empty S=∅，则 SG(S) ⁡ = 0 \operatorname{SG(S)}=0 SG(S)=0。

对于一个有向图 G G G 的 SG ⁡ \operatorname{SG} SG 值定义为起点 s s s 的 SG ⁡ \operatorname{SG} SG 值。即 SG(G) ⁡ = SG(s) ⁡ \operatorname{SG(G)}=\operatorname{SG(s)} SG(G)=SG(s)。

有向图游戏的和

设 G 1 , G 2 , ⋯   , G m G_1,G_2,\cdots,G_m G1,G2,⋯,Gm 为 m m m 个有向图游戏，它们的 SG ⁡ \operatorname{SG} SG 值分别为 S G ( G 1 ) ⁡ , S G ( G 2 ) ⁡ , ⋯   , S G ( G m ) ⁡ \operatorname{SG(G_1)},\operatorname{SG(G_2)},\cdots,\operatorname{SG(G_m)} SG(G1),SG(G2),⋯,SG(Gm)。

定义有向图游戏 G G G，其游戏规则为任选一个有向图游戏进行操作一次，则称 G = ∑ i = 1 m G i G=\sum_{i=1}^m G_i G=∑i=1mGi，定义 SG(G) ⁡ = ⊕ i = 1 m S G ( G i ) ⁡ \operatorname{SG(G)}=\oplus _{i=1}^m \operatorname{SG(G_i)} SG(G)=⊕i=1mSG(Gi)。

SG 定理

定理：若 SG(x) ⁡ = 0 \operatorname{SG(x)}=0 SG(x)=0，则该局面为必败局面，否则为必胜局面。

证明：

设可达点集合为 S = { y 1 , ⋯   , y k } S=\{y_1,\cdots ,y_k\} S={y1,⋯,yk}。

• 若 S = ∅ S=\empty S=∅，则 SG(x) ⁡ = 0 \operatorname{SG(x)}=0 SG(x)=0，无法移动，先手必败，成立。
• 若 SG(x) ⁡ ≠ 0 \operatorname{SG(x)}\neq 0 SG(x)=0，则必然存在一个 y j ∈ S y_j\in S yj∈S，满足 S G ( y j ) ⁡ = 0 \operatorname{SG(y_j)}=0 SG(yj)=0，先手就可以将状态转移到 y j y_j yj。
• 若 SG(x) ⁡ = 0 \operatorname{SG(x)}=0 SG(x)=0，则必然 ∀ y j ∈ S , S G ( y j ) ⁡ > 0 \forall y_j\in S,\operatorname{SG(y_j)}>0 ∀yj∈S,SG(yj)>0，即先手无论如何转移，都无法转移到一个 S G ( x ′ ) ⁡ = 0 \operatorname{SG(x')}=0 SG(x′)=0 的点 x ′ x' x′。必定会转移到一个 SG ⁡ \operatorname{SG} SG 值不等于零的点。
• 在没有环的情况下，状态是不可以无限扩展的，所以必定会遇到无法扩展的终止状态 t t t，必定有 SG(t) ⁡ = 0 \operatorname{SG(t)}=0 SG(t)=0，满足先手必败态。

证毕。类似于 Nim 博弈的证明。

对于有向图游戏的和的 SG ⁡ \operatorname{SG} SG 值，可以把每个子有向图游戏 看成一堆石子，每次操作就是取石子，无法操作就是取完了。就可以更好地理解对于有向图游戏的和的 SG ⁡ \operatorname{SG} SG 的定义了。

实在不行感性理解一下。

所以，SG 定理的伟大之处在于，它让我们在知道了 Nim 博弈的判断条件后，利用 SG ⁡ \operatorname{SG} SG 值，将 Nim 博弈推广到了普通的公平博弈，功德无量。

博弈论解题步骤

• 像 DP 一样，抽象出状态。
• 设定初始状态、结束状态。
• 状态转移。

计算 SG ⁡ \operatorname{SG} SG 值时一定要注意：

• 状态转移 时用 mex ⁡ \operatorname{mex} mex。
• 多个子任务同时进行时用 ⊕ \oplus ⊕。

例题

CF859C Pie Rules

link.

因为是按照从左到右 的顺序取的，所以考虑设 f u f_u fu 表示取完 u , n u,n u,n 后先手的最优得分。

还要统计后缀和，设 s i = ∑ j = i n a j s_i=\sum_{j=i}^n a_j si=∑j=inaj。

那么转移分为两种，一种是把分给自己，让出先手，贡献是 a u + s u + 1 − f u + 1 a_u+s_{u+1}-f_{u+1} au+su+1−fu+1。

否则就是给对方，留下先手，贡献是 f u + 1 f_{u+1} fu+1。

然后搞个记搜就做完了。

复习博弈论时竟然被我秒了。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ljl;
const int N=55;
int n,a[N],f[N],sum[N];
int dfs(int u)
{
	if(f[u]!=-1)return f[u];
	if(u>n)return 0;
	f[u]=0;
	if(u==n){f[u]=a[n];return f[u];}
	//use
	int ans=a[u]+sum[u+1]-dfs(u+1);
	ans=max(ans,dfs(u+1));
	f[u]=ans;
	return f[u];
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		cin>>a[i];
	memset(f,-1,sizeof(f));
	for(int i=n;i>=1;--i)sum[i]=sum[i+1]+a[i];
	cout<<sum[1]-dfs(1)<<' '<<dfs(1)<<'\n';
	return 0;
}

AT_dp_k Stones

link.

这里设 f u f_u fu 表示还剩下 u u u 颗石头时先手的最优结果。

由于不存在平，所以只考虑胜负。

每次转移就是枚举 a i a_i ai，用 f u − a i f_{u-a_i} fu−ai 更新状态。

小技巧：轮换状态可以用 ⊕ 1 \oplus 1 ⊕1 操作来 0 → 1 0\rightarrow 1 0→1， 1 → 0 1\rightarrow 0 1→0。然后取最优状态可以用按位或运算。

哦哦哦我竟然也秒切出来了。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ljl;
const int N=105,K=1e5+5;
int n,k,a[N],f[K];
int dfs(int u)
{
	if(f[u]!=-1)return f[u];
	if(u==0)return 0;
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		if(u>=a[i])
			ans|=(dfs(u-a[i])^1);
	}
	f[u]=ans;
	return f[u];
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;++i)cin>>a[i];
	memset(f,-1,sizeof(f));
	if(dfs(k))cout<<"First\n";
	else cout<<"Second\n";
	return 0;
}

P10501 Cutting Game

link.

蓝书上的例题。

设 n n n 行 m m m 列为当前的状态。

首先肯定没人想剪出 1 × k 1\times k 1×k 的矩阵，因为这样下一步对方就可以剪出 1 × 1 1\times 1 1×1 的矩阵，这是必败状态。

然后我们考虑分割。按照横着切，可以分为两个子矩阵，一个大小为 i × m i\times m i×m，一个大小为 ( n − i ) × m (n-i)\times m (n−i)×m。

同理，按照纵向切，可以分为 n × j n\times j n×j 和 n × ( m − j ) n\times (m-j) n×(m−j) 的两个子矩阵。

然后我们就可以枚举，从"完成一个矩阵"这一状态转移到"完成两个子矩阵"。

放图：

所以我们要求 SG({n,m}) ⁡ \operatorname{SG(\{n,m\})} SG({n,m})，只要求出右边那坨的 SG ⁡ \operatorname{SG} SG 值即可。

而右边那个的 SG ⁡ \operatorname{SG} SG 值，则等于 S G ( n − i , m ) ⁡ ⊕ SG(i,m) ⁡ \operatorname{SG({n-i,m})}\oplus \operatorname{SG(i,m)} SG(n−i,m)⊕SG(i,m)。

由于不止一种剪法，所以要对多个新状态的 SG ⁡ \operatorname{SG} SG 值取 mex ⁡ \operatorname{mex} mex。

所以要注意什么时候用异或，什么时候用 mex ⁡ \operatorname{mex} mex。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ljl;
const int N=205;
int n,m,sg[N][N];
int getsg(int a,int b)
{
	if(sg[a][b]!=-1)return sg[a][b];
	bool vis[N*N];memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=2;i<a-1;++i)
		vis[getsg(i,b)^getsg(a-i,b)]=1;
	for(int i=2;i<b-1;++i)
		vis[getsg(a,i)^getsg(a,b-i)]=1;
	for(int i=0;;++i)
		if(!vis[i])
		{
			sg[a][b]=i;
			return i;
		}
}
void Main()
{
	cout<<(getsg(n,m)==0?"LOSE\n":"WIN\n");
	return;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	memset(sg,-1,sizeof(sg));
	for(int i=1;i<=200;++i)
		sg[1][i]=sg[i][1]=0;
	while(cin>>n>>m)Main();
	return 0;
}

参考资料

• 李煜东小蓝书《算法竞赛进阶指南》第 0 x 3 A 0x3A 0x3A 节《博弈论之 SG 函数》
• OI wiki 博弈论
• 浅谈SG函数和博弈论