本期先出一个BUCK变换器的基本原理分析，内容比较多，大家可以耐心仔细研读！
摘要：BUCK变换器是一种常见的非隔离型降压 DC-DC 变换器。本文从基本电路结构出发，介绍其工作模态，并基于电感伏秒平衡和电容安秒平衡，分析连续导通模式（CCM）和断续导通模式（DCM）下的稳态特性。最后，以一个 20 V 输入、10 V/10 A 输出、开关频率 100 kHz 的 BUCK 变换器为例，完成电感和输出电容设计。
1. 引言
用于直流降压转换的方法有两种，第一种是采用线性稳压器（LDO）来实现；第二种是采用DC-DC变换器实现。线性稳压器结构简单、噪声较低，但其功率管工作在线性区，使得损耗较大，适用于对压差较小、电源噪声敏感和纹波较小的场景，例如单片机芯片电源。而DC-DC变换器，通过功率管的周期性通断实现能量转换，因而能够获得更高效率，该方法适用于在电压差较大以及对效率要求较高的场景。
BUCK变换器是最常见的非隔离型降压DC-DC拓扑，本文则以理想器件模型为起点，先说明BUCK变换器的基本工作模态，再分别对连续导通模式（CCM）和断续导通模式（DCM）进行稳态分析，最后设计一个20V转10V输出的100W/100kHz的变换器。
2. 模态分析
BUCK变换器的电路结构如图1所示，由输入电源Vin 、开关管S 、二极管D 、电感L 、 电容C 和负载R 组成。开关管由PWM信号控制，其占空比为D =Tson /Ts 。电感用于储存和传递能量，电容用于减小输出电压纹波。
图1 BUCK变换器电路结构
CCM模式下，该电路共两个工作模态，分别如下：
(1) 如图2(a)所示，当开关管S导通时，二极管D反向截止，输入电源通过电感向负载供能。此时，电感电流以斜率(Vin -Vo )/L 线性上升，电感储存能量。同时，若电感电流iL 大于负载电流Io ，差值流入电容C 并为其充电；反之电容短时向负载补充电流。该模态持续直到PWM控制信号关闭。
(2) 如图2(b)所示，当开关管S 关断时，电感电流通过二极管续流，并继续向负载供能。此时，电感电流以斜率-Vo /L 线性下降，直到下一个开关周期开始。
(a) 开关管导通 (b)开关管关断
图2 BUCK变换器CCM工作模态
DCM模式下包含三个工作模态。前两个模态与CCM相同，但电感电流会在关断期间下降到零。随后二极管截止，电感电流和电感电压均为零，负载仅由输出电容供电，直到下一个开关周期开始。其第三工作模态如图3所示。
图3 BUCK变换器DCM第三工作模态
3. 稳态分析
稳态是指变换器的电压和电流波形进入周期性稳定状态。如前所述，根据电感电流是否降为零，BUCK变换器可分为CCM、临界导通模式（BCM）和DCM。
CCM具有峰值电流小、输出纹波低等优点，适合中、大功率场合，但所需电感量较大。DCM所需电感较小，适合轻载或小功率场合，但峰值电流和输出纹波较大，且电压变换比受负载影响。BCM是CCM与DCM之间的临界状态，因此下文主要对CCM和DCM进行稳态分析。
3.1 CCM模式
CCM模式下的主要波形如图4所示，电感电流iL 在整个开关周期内始终大于0。稳态时，各电压、电流波形周期性重复，因此电感满足伏秒平衡，电容满足安秒平衡，即：
{∫0TsvL(t) dt=0∫0TsiC(t) dt=0(1) \small \begin{cases} \displaystyle \int_{0}^{T_s} v_L(t)\,dt=0 \\4pt \displaystyle \int_{0}^{T_s} i_C(t)\,dt=0 \end{cases} \tag{1} ⎩ ⎨ ⎧∫0TsvL(t)dt=0∫0TsiC(t)dt=0(1)
式中，Ts 为变换器的开关周期。
图4 BUCK变换器CCM模式下的主要波形
在开关管导通模态下，电感电压为vL (t )=Vin -vC (t )；电容电流为iC (t )=iL (t )-vC (t )/R 。在开关管关断模态下，电感电压为vL (t )=-vC (t )；电容电流仍然为iC (t )=iL (t )-vC (t )/R 。因此，将两个模态下的电感电压和电容电流代入式（1），可得：
{∫0DTsVin−vC(t)dt+∫DTsTs−vC(t)dt=0∫0TsiL(t)−vC(t)Rdt=0(2) \small \begin{cases} \displaystyle \int_{0}^{DT_s}\leftV_{in}-v_C(t)\\rightdt +\int_{DT_s}^{T_s}\left-v_C(t)\\rightdt=0 \\6pt \displaystyle \int_{0}^{T_s} \lefti_L(t)-\\frac{v_C(t)}{R}\\rightdt=0 \end{cases} \tag{2} ⎩ ⎨ ⎧∫0DTsVin−vC(t)dt+∫DTsTs−vC(t)dt=0∫0TsiL(t)−RvC(t)dt=0(2)
式中，D 为开关管的占空比，定义为D =Tson /Ts 。Tson 为开关管的导通时间。
进一步得到平均值关系为：
{Vo=vC‾=DVinIo=VoR=iL‾(3) \small \begin{cases} \displaystyle V_o=\overline{v_C}=DV_{in} \\6pt \displaystyle I_o=\frac{V_o}{R}=\overline{i_L} \end{cases} \tag{3} ⎩ ⎨ ⎧Vo=vC=DVinIo=RVo=iL(3)
由于正常工作时0<D< 1，因此Vo <Vin ，所以输出电压Vo 总是小于Vin ，体现了BUCK变换器的降压特性。其中，伏秒平衡决定电压变换关系，安秒平衡决定电感平均电流与负载电流的关系。
因此，在理想BUCK的CCM稳态分析中，式（3）的平均电压和平均电流关系与L 和C 无关，但L 决定电感电流纹波，而C 根据电容充放电电流决定输出电压纹波。下面分别对两种纹波进行推导。
首先推导电感电流纹波。实际设计中，输出电压纹波通常仅为额定输出电压的1%左右，因此可采用小纹波近似，即vC (t )≈Vo 。需要注意，该近似仅忽略输出电压纹波，并未忽略电感电流纹波。工程中，电感电流纹波一般取平均电流的20%～40%，因此仍需保留。开关管导通时，电感电流线性上升，其变化量为：
ΔiL=1L∫0DTsVin−vC(t)dt≈(Vin−Vo)DTsL(4) \small \begin{aligned} \Delta i_L &=\frac{1}{L} \int_{0}^{DT_s} \leftV_{in}-v_C(t)\\rightdt \\4pt &\approx \frac{(V_{in}-V_o)DT_s}{L} \end{aligned} \tag{4} ΔiL=L1∫0DTsVin−vC(t)dt≈L(Vin−Vo)DTs(4)
此外，推导电容电压纹波关系。如图5所示，在CCM模式下电感电流为三角波，仅有电感电流大于输出电流Io 时，才给电容C 充电。因此，可以推导出电容充电时间为：
tch=t2−t1=DTs+(1−D)Ts2−DTs2=Ts2(5) \small \begin{aligned} t_{ch} &=t_2-t_1 \\3pt &=DT_s+\frac{(1-D)T_s}{2} -\frac{DT_s}{2} =\frac{T_s}{2} \end{aligned} \tag{5} tch=t2−t1=DTs+2(1−D)Ts−2DTs=2Ts(5)
式中，t2 和t1 分别对应图5中，电容电流的过零时刻。可以发现，在CCM模式下，电容充电时间总是为开关周期的一半。
图5 CCM模式下电容充电电荷
进而，在图5中充电电荷量刚好为电容电流正半周的三角形面积，即：
ΔQ=12tchΔiL2=ΔiLTs8(6) \small \Delta Q =\frac{1}{2}t_{ch}\frac{\Delta i_L}{2} =\frac{\Delta i_LT_s}{8} \tag{6} ΔQ=21tch2ΔiL=8ΔiLTs(6)
根据Q =CU 的关系，结合式（4）-（6），最终得到电容电压纹波公式为：
ΔvC=ΔQC=ΔiLTs8C=(Vin−Vo)D8LCfs2(7) \small \begin{aligned} \Delta v_C &=\frac{\Delta Q}{C} =\frac{\Delta i_LT_s}{8C} \\3pt &=\frac{(V_{in}-V_o)D}{8LCf_s^2} \end{aligned} \tag{7} ΔvC=CΔQ=8CΔiLTs=8LCfs2(Vin−Vo)D(7)
式中，fs =1/Ts ，表示开关频率。
因此，在CCM模式下，根据公式（3）可以设计BUCK变换器的输出特性。根据公式（4）和（7）则可以设计变换器的纹波。
3.2 DCM模式
DCM模式下的关键波形如图6所示，电感电流iL 在每个开关周期内存在一段为零的区间。稳态时，各电压、电流波形周期性重复，因此仍满足式（1）所示的电感伏秒平衡和电容安秒平衡。
图6 BUCK变换器DCM模式下的主要波形
在开关管导通时，电感电压为vL (t )=Vin -vC (t )，电容电流为iC (t )=iL (t )-vC (t )/R ；在开关管关断、二极管续流时，电感电压为vL (t )=-vC (t )，电容电流仍然为iC (t )=iL (t )-vC (t )/R ；在电感电流降为零后，开关管和二极管均截止时，电感电压为vL (t )=0；电容电流仍然为iC (t )=-vC (t )/R 。 因此，将三个模态下的电感电压和电容电流代入式（1），可得：
{∫0DTsVin−vC(t)dt+∫DTs(D+D1)Ts−vC(t)dt=0∫0(D+D1)TsiL(t)−vC(t)Rdt+∫(D+D1)TsTs−vC(t)Rdt=0(8) \small \left\{ \begin{aligned} &\int_{0}^{DT_s}V_{in}-v_C(t)dt \\ &\quad+\int_{DT_s}^{(D+D_1)T_s}-v_C(t)dt=0 \\5pt &\int_{0}^{(D+D_1)T_s} \lefti_L(t)-\\frac{v_C(t)}{R}\\rightdt \\ &\quad+\int_{(D+D_1)T_s}^{T_s} \left-\\frac{v_C(t)}{R}\\rightdt=0 \end{aligned} \right. \tag{8} ⎩ ⎨ ⎧∫0DTsVin−vC(t)dt+∫DTs(D+D1)Ts−vC(t)dt=0∫0(D+D1)TsiL(t)−RvC(t)dt+∫(D+D1)TsTs−RvC(t)dt=0(8)
式中，D1 为二极管的占空比，定义为D1 =TDon /Ts 。TDon 为二极管的导通时间。
因此，进一步得到平均值关系为：
{VoVin=DD+D1Io=VoR=Ipk2(D+D1)(9) \small \begin{cases} \displaystyle \frac{V_o}{V_{in}}=\frac{D}{D+D_1} \\7pt \displaystyle I_o=\frac{V_o}{R} =\frac{I_{pk}}{2}(D+D_1) \end{cases} \tag{9} ⎩ ⎨ ⎧VinVo=D+D1DIo=RVo=2Ipk(D+D1)(9)
式中，Ipk 为电感电流的峰值，其表达式可以确定为：
Ipk=(Vin−Vo)DTsL(10) \small I_{pk} =\frac{(V_{in}-V_o)DT_s}{L} \tag{10} Ipk=L(Vin−Vo)DTs(10)
由此可知，DCM下的电压变换比不仅与开关管占空比D 有关，还与二极管续流时间占比D1 相关。开关管属于全控器件，其占空比D 由驱动信号决定；二极管属于不可控器件，其续流时间由电感电流下降到零的时刻决定。联立式（9）和（10），可以得到：
D1=D2(1+8LfsRD2−1)(11) \small D_1 =\frac{D}{2} \left( \sqrt{1+\frac{8Lf_s}{RD^2}}-1 \right) \tag{11} D1=2D(1+RD28Lfs −1)(11)
式中，已经采用了输出电压的小纹波近似，因此D1 与电容C 无关，而与L 、fs 、R 、D 相关。这也说明，DCM下的电压变换关系与CCM有所不同。由于DCM下电感电流的最小值为零，因此其峰峰值纹波等于峰值电流Ipk ，可直接由式（10）求得。
下面进一步推导输出电压纹波。如图7所示，同样只有当iL >Io 时，电容电流iC =iL -Io >0，电容才处于充电状态。设t1 和t2 分别为电容电流的两个过零时刻，则电容充电时间为：
tch=t2−t1=(D+D1)Ts(1−IoIpk)(12) \small \begin{aligned} t_{ch} &=t_2-t_1 \\3pt &=(D+D_1)T_s \left(1-\frac{I_o}{I_{pk}}\right) \end{aligned} \tag{12} tch=t2−t1=(D+D1)Ts(1−IpkIo)(12)
进而，在图7中电容充入的电荷量等于电容电流正半周的三角形面积，即：
ΔQ=12tch(Ipk−Io)(13) \small \Delta Q =\frac{1}{2}t_{ch}(I_{pk}-I_o) \tag{13} ΔQ=21tch(Ipk−Io)(13)
图7 DCM模式下电容充电电荷
结合式（10）-（13），最终得到电容电压纹波公式为：
ΔvC=ΔQC=IoCfs(1−D+D12)2(14) \small \Delta v_C =\frac{\Delta Q}{C} =\frac{I_o}{Cf_s} \left(1-\frac{D+D_1}{2}\right)^2 \tag{14} ΔvC=CΔQ=CfsIo(1−2D+D1)2(14)
式中，fs =1/Ts ，表示开关频率。
将D1 表达式（11）和Io =Vo /R 代入式（14），则有：
ΔvC=VoRCfs×1−D4(1+1+8LfsRD2)2(15) \small \begin{aligned} \Delta v_C &=\frac{V_o}{RCf_s} \\3pt &\quad\times \left 1-\\frac{D}{4} \\left( 1+\\sqrt{1+\\frac{8Lf_s}{RD\^2}} \\right) \\right^2 \end{aligned} \tag{15} ΔvC=RCfsVo×1−4D(1+1+RD28Lfs )2(15)
因此，在小纹波近似下，DCM的输出电压纹波与L 、C 、fs 、R 、D相关。
4. 参数设计案例
设计一款BUCK变换器，其主要指标如下：输入电压Vin =20V，输出电压Vo =10V，额定输出电流Io =10A，额定输出功率为100W，开关频率fs =100kHz。要求电感电流纹波不超过额定输出电流的30%，输出电压纹波不超过额定输出电压的1%。因此，ΔiL ≤10A×30%=3A，ΔvC≤10V×1%=0.1V。其设计步骤分析如下：
（1）步骤1：占空比与电感设计
理想占空比为D =Vo /Vin =0.5。限制ΔiL =3A，因此根据式（4），可以得到所需电感为：
L≥(Vin−Vo)DTsΔiL≈16.67 μH(16) \small L\geq \frac{(V_{in}-V_o)DT_s}{\Delta i_L} \approx 16.67\,\mu\mathrm{H} \tag{16} L≥ΔiL(Vin−Vo)DTs≈16.67μH(16)
（2）步骤2：输出电容设计
限制ΔvC =0.1V，因此根据式（7），可以得到所需电容为：
C≥(Vin−Vo)D8LΔvCfs2≈37.49 μF(17) \small C\geq \frac{(V_{in}-V_o)D} {8L\Delta v_Cf_s^2} \approx 37.49\,\mu\mathrm{F} \tag{17} C≥8LΔvCfs2(Vin−Vo)D≈37.49μF(17)
经计算，额定负载下电感电流最小值8.5A，大于0，因此变换器工作在CCM。当输出电流下降至1.5A时，电路进入BCM；继续减小负载电流，则会进入DCM。
5. 总结
本文介绍了BUCK变换器的基本结构和工作原理，并分析了CCM与DCM下的工作模态及稳态特性。稳态时，电感满足伏秒平衡，电容满足安秒平衡。理想CCM下，输出电压仅由输入电压和占空比决定；而DCM下的电压变换关系还与电感、负载和开关频率有关。
最后，以20V输入、10V/10A输出、开关频率100kHz的BUCK变换器为例完成参数设计。按照电感电流纹波不超过30%、输出电压纹波不超过1%的要求，计算得到最小电感为16.67μH，最小电容为37.49μF。额定负载下电感电流最小值为8.5A，因此变换器工作在CCM。
需要说明的是，本文分析基于理想器件和小纹波近似。实际实验设计还应考虑开关管损耗、二极管压降、电感内阻、电容ESR以及散热等因素。
这期主要讲解较重要的理论分析部分，需要耐心学习，有不清楚的欢迎评论区回复。下一期根据分析结果，做BUCK开环仿真分析。
你的关注，就是我坚持下去的动力！！