作者：SK Electronics
摘要：本文采用SIMPLIS验证CCM BUCK变换器的控制---输出小信号模型。通过对比考虑和不考虑电容ESR时的仿真与理论波特图，验证了传递函数的正确性，并分析了LC共轭极点和ESR零点对系统频率特性的影响，为后续闭环控制器设计提供理论基础。
1. 引言
上一期（第三期）中，BUCK变换器的小信号模型已经完成推导，但是还需要通过仿真验证其正确性。具体而言，可以分别获得控制---输出传递函数的仿真波特图和理论波特图，通过比较两者的幅频和相频曲线，判断所建立的小信号模型是否准确。一旦小信号模型验证完成后，即可根据系统性能要求开展闭环控制器设计。
如第二期所述，SIMPLIS具有周期工作点（POP）和交流小信号分析功能，适合用于开关电源小信号模型及波特图的验证。因此，本期采用第一期设计得到的电路参数，首先在SIMPLIS中搭建BUCK变换器仿真模型，获得控制---输出频率响应的仿真波特图；然后根据上一期推导的控制---输出传递函数绘制理论波特图；最后对比两组曲线，验证小信号模型及传递函数的正确性。
2. SIMPLIS仿真搭建
根据第一期的设计案例电路参数，表1为仿真模型的所有参数，其中参数标号对应图1器件标号。在考虑ESR时候，仿真中ESR电阻R2设置为100mΩ，而不考虑ESR时，把R2删除掉即可。
表1 仿真模型参数
| 参数 | 数值 | 参数 | 数值 |
|---|---|---|---|
| 输入电压V1 | 20V | 负载电阻R1 | 1Ω |
| 电感L1 | 16.67μH | 电容C1 | 37.49μF |
| 电容ESR R2 | 100mΩ | 锯齿波V4 | 频率100kHz、幅值0~1V |
| 直流偏置V2 | 0.5V | 交流小信号源V3 | 幅值1V (小信号分析时，系统自动默认无限小) 相位0° |
| 比较器U1 | 输出0-12V | 受控电压源E1 | 增益为1 |
| 开关管 | 尽可能设置成理想的 | 二极管 | 尽可能设置成理想的 |
图1 BUCK变换器的SIMPLIS仿真模型
需要注意的是，仿真小信号分析时，POP trigger是必须要添加，用于判断仿真进入稳态条件。一般连接在栅极端，设置结果如图2所示。
图2 POP trigger设置结果
为获取控制---输出传递函数的波特图，bode plot probe也是必须要添加的，一般输入端连接到交流小信号源，输出连接到输出电压。其设置结果如图3所示，一般不需要修改参数，默认即可。
图3 bode plot probe设置结果
最后，设置仿真器按快捷键F8。设置仿真器参数如图4所示，需要选择AC analysis表示交流小信号分析。AC选项栏可以设置初始频率和结束频率，一般结束频率在开关信号的2倍即可，也就是为200kHz。周期工作点periodic operating point选项栏设置如图5所示，一般最大周期maximum period设置为开关周期的5倍即可，即50μs。
图4 仿真器的AC选项栏设置结果
图5 仿真器的periodic operating point选项栏设置结果
至此，BUCK变换器的SIMPLIS仿真模型已搭建完成，后面进行波特图分析。
3. 波特图分析
3.1. 不考虑电容ESR情况
上期推导了BUCK变换器的控制---输出传递函数，在ESR为0的情况下，表示为：
Gvd(s)=v^o(s)d^(s)=VinLCs2+LRs+1(1) \small G_{vd}(s) =\frac{\widehat{v}o(s)}{\widehat{d}(s)} =\frac{V{in}}{LCs^2+\dfrac{L}{R}s+1} \tag{1} Gvd(s)=d (s)v o(s)=LCs2+RLs+1Vin(1)
如图6所示，可以看到SIMPLIS仿真值和理论值波特图几乎一致，验证了该情况下所推导小信号模型的正确性。观察式（1）传递函数，仅有一对共轭极点，极点推导过程如下所示：
LCs2+LRs+1=0⇓ 两边同时除以 LCs2+1RCs+1LC=0⇓p1,2=−12RC±j1LC−14R2C2(2) \small \begin{aligned} &LCs^2+\frac{L}{R}s+1=0 \\3pt &\quad\Downarrow\ \text{两边同时除以 }LC \\3pt &s^2+\frac{1}{RC}s+\frac{1}{LC}=0 \\3pt &\quad\Downarrow \\3pt &p_{1,2}=-\frac{1}{2RC} \pm j\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{1}{4R^2C^2}} \end{aligned} \tag{2} LCs2+RLs+1=0⇓ 两边同时除以 LCs2+RC1s+LC1=0⇓p1,2=−2RC1±jLC1−4R2C21 (2)
将R , L , C 参数值代入（2），可得共轭极点分别为：p1,2 =−13336.89±j37712.52。由于两个极点的实部均为负数，因此都位于复平面的左半平面，说明理想BUCK功率级本身是稳定的。其中，极点实部决定振荡的衰减速度，虚部决定阻尼振荡频率。例如，当占空比、输入电压或负载发生突变时，输出电压会围绕新的稳态值产生衰减振荡。其主要原因是，当输入电压、占空比或负载发生突变时，BUCK变换器原有的能量平衡被打破，电感L 与电容C之间会发生能量交换，从而产生衰减振荡。其振荡频率和衰减速度恰好由系统共轭复极点的虚部和实部分别决定。
因此，可以知道二阶系统中，电感L 与电容C 本身可以构成一个LC 滤波器，LC 滤波器的作用是抑制变换器的高频分量（如高频电感电流、电容电压）。其中，由式（1）分母可知，LC滤波器的固有频率可以推导为：
s2+1RCs+1LC⇓ 与标准二阶系统分母比较s2+2ζω0s+ω02⇓ 对应可得ω0=1LC,f0=12πLC(3) \small \begin{aligned} &s^2+\frac{1}{RC}s+\frac{1}{LC} \\3pt &\quad\Downarrow\ \text{与标准二阶系统分母比较} \\3pt &s^2+2\zeta\omega_0s+\omega_0^2 \\3pt &\quad\Downarrow\ \text{对应可得} \\3pt &\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \end{aligned} \tag{3} s2+RC1s+LC1⇓ 与标准二阶系统分母比较s2+2ζω0s+ω02⇓ 对应可得ω0=LC 1,f0=2πLC 1(3)
在波特图分析中，其LC固有频率又称为转折频率，是指系统的幅频特性开始由低频平坦段向高频衰减段过渡的特征频率。由图6可以看出，由于系统阻尼较小，幅频曲线在f**0 附近存在谐振特性，表现出增益谐振峰；而当频率高于f**0后，增益逐渐下降，其高频渐近斜率最终趋近于 -40dB/dec。这表明LC滤波器能够有效衰减高频信号。
图6 不考虑ESR的理论和仿真波特图对比分析
此外，由图6可以看出，随着频率升高，幅值增益下降至0dB时，对应频率约为29.01kHz，该频率称为增益穿越频率。在穿越频率处读取系统相位为-171°，可以进一步计算相位裕度：
PM=180∘+φ(fc)=180∘−171∘=9∘(4) \small PM=180^\circ+\varphi(f_c) =180^\circ-171^\circ =9^\circ \tag{4} PM=180∘+φ(fc)=180∘−171∘=9∘(4)
计算相位裕度的意义在于判断系统是否保持稳定，有以下结论：
-
φ (f**c)>-180°：PM>0，通常稳定；
-
φ (f**c)=-180°：PM=0，临界稳定；
-
φ (f**c)<-180°：PM<0，通常不稳定。
相位裕度小于0，意味着当环路相位达到-180°，环路增益仍大于1。此时，负反馈在该频率附近等效为正反馈，扰动信号绕环路一周后不仅无法被抑制，反而会被进一步放大，从而导致闭环系统产生发散振荡并失稳。
由此可知，在后续闭环系统设计中，可以结合开环传递函数的波特图曲线来进行控制参数设计。比如，如何设计控制器参数使得相位裕度增大以提高系统可靠性。
3.2. 考虑电容ESR情况
上期推导的BUCK变换器的控制---输出传递函数，在ESR不为0的情况下，表示为：
Gvd(s)=v^o(s)d^(s)=Vin(1+rCCs)LC(1+rCR)s2+(LR+rCC)s+1(5) \scriptsize \begin{aligned} G_{vd}(s) &=\frac{\widehat{v}o(s)}{\widehat{d}(s)} \\ &=\frac{V{in}(1+r_CCs)} {LC\left(1+\dfrac{r_C}{R}\right)s^2 +\left(\dfrac{L}{R}+r_CC\right)s+1} \end{aligned} \tag{5} Gvd(s)=d (s)v o(s)=LC(1+RrC)s2+(RL+rCC)s+1Vin(1+rCCs)(5)
如图7所示，在该情况下，仍然可以看到SIMPLIS仿真值和理论值波特图几乎一致，也验证了该情况下所推导小信号模型的正确性。
图7 考虑ESR的理论和仿真波特图对比分析
观察式（5）传递函数，有一对共轭极点和一个电容ESR零点。与式（2）推导过程类似，可得共轭极点分别为：p1,2=−14851.17±j35129.55。而ESR零点由式（5）分子等于零得到，即：
1+rCCs=0⇓s=−1rCC⇓zESR=−1rCC+j0(6) \small \begin{aligned} 1+r_CCs&=0 \\ &\Downarrow \\ s&=-\frac{1}{r_CC} \\ &\Downarrow \\ z_{ESR}&=-\frac{1}{r_CC}+j0 \end{aligned} \tag{6} 1+rCCsszESR=0⇓=−rCC1⇓=−rCC1+j0(6)
将rC =0.1Ω和C=37.49μF代入（6），可得电容ESR零点为：ZESR=−266737.80+j0。因此，此时BUCK变换器的极点和零点均位于复平面的左半平面，说明此时系统也是稳定的。
此外，从图7还可以发现，ESR零点改变了BUCK变换器的高频幅值和相位特性。加入ESR零点后，高频斜率从原先-40dB/dec逐渐转变为-20dB/dec，削弱电容对高频信号的衰减能力。与此同时，ESR零点提供相位超前，部分抵消了LC共轭极点产生的相位滞后，部分抵消LC双极点产生的相位滞后，使高频相位由接近-180°向-90°变化。在增益穿越频率处，系统相位约为-135°，对应相位裕度为45°，相比不考虑ESR时明显增大，有利于提高系统的稳定裕度和鲁棒性。
至此，两种情况下的小信号模型均通过了SIMPLIS仿真验证，说明理论分析是正确的。后续可以基于理论的传递函数和波特图分析，来设计闭环控制器参数，以提升系统性能。
4. 结论
本文采用SIMPLIS对BUCK变换器的控制---输出小信号模型进行了仿真验证，并分别分析了不考虑和考虑电容ESR时的频率响应。仿真波特图与理论波特图基本重合，说明前期推导的小信号模型及控制---输出传递函数具有较好的准确性。
在不考虑ESR时，BUCK功率级具有一对位于左半平面的共轭复极点。该极点对由电感和电容的储能交换形成，决定了系统的谐振频率、振荡衰减速度以及高频-40dB/dec的幅值衰减特性。在单位反馈假设下，其相位裕度约为9°，稳定裕度较小。
考虑ESR后，系统仍具有一对左半平面共轭极点，同时引入一个左半平面ESR零点。该零点使高频幅值斜率逐渐变为 -20dB/dec，并提供相位超前，使等效相位裕度提高至约45°。不过，实际闭环系统的稳定性仍应根据包含控制器、PWM增益和反馈网络在内的完整环路增益进行分析。后续可在本文模型基础上开展不同种类的闭环控制器参数设计，以提高系统性能。
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