本期主要通过状态空间平均法对BUCK变换器进行大信号和小信号建模，并推导出传递函数，为后续闭环控制器的设计提供理论基础。
内容比较多，需要耐心研读！
摘要：本文以连续导通模式（CCM）下的BUCK变换器为对象，采用状态空间平均法建立开关管导通与关断模态的状态方程，并推导其大信号平均模型和小信号模型。在建模过程中进一步考虑输出电容等效串联电阻（ESR）的影响，推导控制---输出和输入---输出传递函数。结果表明，电容ESR不会改变变换器的直流稳态关系，但会引入ESR零点并影响系统的频率特性。所得模型可用于绘制波特图、分析环路稳定性，并为闭环补偿器设计提供理论基础。
1. 引言
DC-DC变换器中功率开关器件周期性导通和关断，使其本质上属于非线性、周期时变系统。针对不同的分析对象和研究目标，可以采用不同的建模方法。表1总结了DC-DC变换器常用的建模方法及其主要特点。
表1 DC-DC变换器常用的建模方法
| 分类 | 主要方法 | 主要特点 |
|---|---|---|
| 平均建模 | 状态空间平均法、电路平均法 | 消除高频开关过程，模型简单，适合研究非谐振变换器的低频动态，如BUCK变换器 |
| 谐波建模 | 广义状态空间法、扩展描述函数法 | 保留基波及部分谐波信息，适合研究谐振变换器的动态特性，如LLC变换器 |
| 离散建模 | 离散映射法、采样数据法 | 保留逐开关周期的采样特性，适合分析快尺度稳定性、次谐波振荡及非线性分岔现象，如倍周期分岔 |
其中，状态空间平均法在非谐振型DC-DC变换器中应用较为广泛。该方法通过对不同开关模态进行时间平均，消除高频开关过程，从而得到描述变换器低频动态的平均模型。对于BUCK等PWM变换器，当所研究的动态频率远低于开关频率且工作模式保持不变时，状态空间平均法通常能够取得较好的建模效果。
然而，传统状态空间平均法不适合直接用于谐振变换器。谐振变换器的电感电流和电容电压本身包含幅值较大的高频交流分量，且开关频率通常接近谐振频率，基波幅值、相位及谐波成分都会显著影响能量传输。若直接对其进行周期平均，这些关键交流信息会被消除，导致模型无法准确反映谐振特性。因此，谐振变换器通常采用广义状态空间平均法或扩展描述函数法进行建模。
平均建模和谐波建模均可进一步得到变换器的大信号模型和小信号模型。大信号模型用于描述较宽工作范围内的非线性动态特性，可用于分析输入电压、负载或占空比发生较大变化时的系统响应，并可作为滑模控制、反步控制、反馈线性化和模型预测控制等非线性控制方法的设计基础。小信号模型则用于描述稳态工作点附近的局部动态特性，可进一步推导传递函数、绘制波特图、分析环路稳定性，并用于PI、PID及Ⅱ型、Ⅲ型补偿器设计。
为明确大信号模型与小信号模型的区别，表2总结了两者的主要特点及适用条件。
表2 大信号和小信号的区别
| 模型 | 适用情况 | 不适用情况 | 主要优势 |
|---|---|---|---|
| 大信号模型 | 输入电压、负载或占空比变化较大，需要分析较宽工作范围内的动态特性时 | 若采用大信号平均模型，则不能准确描述开关纹波、开关瞬态、次谐波振荡及开关频率附近的快速动态 | 保留系统的非线性关系，能够描述启动、关机、大扰动、限流、饱和及工作模式切换等过程 |
| 小信号模型 | 变换器已进入稳态，扰动量远小于稳态量，工作模式保持不变，且分析频率明显低于开关频率时 | 不适合启动、关机、大负载突变、占空比饱和、限流以及CCM与DCM切换等大范围动态过程 | 模型结构简单，可直接推导传递函数、绘制波特图、分析稳定裕度，并用于PI、PID和Ⅱ型、Ⅲ型补偿器设计 |
由于BUCK变换器属于非谐振型PWM变换器，本文采用状态空间平均法建立其在连续导通模式（CCM）下的大信号平均模型，并在稳态工作点附近进行线性化，进一步推导小信号模型及相关传递函数，为后续频率特性分析和闭环补偿器设计提供理论基础。
2. 状态空间平均法
2.1. 建立变换器的状态方程
采用状态空间平均法时，首先需要选取BUCK变换器的状态变量。通常选取独立储能元件的电流或电压作为状态变量，即独立电感的电流和独立电容的电压。
这里的"独立"是指某个储能元件的电压或电流不能由其他状态变量通过代数关系直接确定，而需要使用单独的微分方程进行描述。例如，两个电容并联时，其端电压始终相同，因此只有一个独立的电容电压；两个电感串联时，其电流始终相同，因此只有一个独立的电感电流。
对于基本BUCK变换器，电感电流iL和电容电压vC不能通过代数关系相互确定，并且分别满足电感和电容的动态方程，因此均为独立状态变量，即：
x ( t ) = i L ( t ) v C ( t ) (1) \small \boldsymbol{x}(t)=\begin{bmatrix}i_L(t)\\v_C(t)\end{bmatrix} \tag{1} x(t)=iL(t)vC(t)(1)
由于基本BUCK变换器包含两个独立状态变量，因此属于二阶系统。其状态空间模型的一般形式为：
x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) (2) \small \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}\boldsymbol{u}(t) \tag{2} x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)(2)
式中， x ˙ ( t ) \dot{\boldsymbol{x}}(t) x˙(t)是状态变量对时间的导数，表示其变化速度；A 为系数矩阵，描述状态变量之间的相互影响；u (t)是输入变量；B为输入矩阵，描述为描述输入变量对各个状态变量的影响。因此，状态方程反映了输入作用下变换器内部状态随时间的变化规律。
之前第一期已经讨论了CCM模式下BUCK变换器有两个工作模态，如图1所示。下面分别建立两个模态对应的状态空间模型。
(a) 开关管导通 (b)开关管关断
图1 不考虑电容ESR的BUCK变换器CCM工作模态
当开关管导通时，二极管截止，输入电源通过开关管和电感向负载供电。根据KVL和KCL可得：
{ d i L ( t ) d t = v i n ( t ) − v C ( t ) L d v C ( t ) d t = i L ( t ) C − v C ( t ) R C (3) \small \begin{cases}\displaystyle \frac{di_L(t)}{dt}=\frac{v_{in}(t)-v_C(t)}{L}\\6pt\displaystyle \frac{dv_C(t)}{dt}=\frac{i_L(t)}{C}-\frac{v_C(t)}{RC}\end{cases} \tag{3} ⎩ ⎨ ⎧dtdiL(t)=Lvin(t)−vC(t)dtdvC(t)=CiL(t)−RCvC(t)(3)
写成状态空间形式为：
x ˙ ( t ) = 0 − 1 L 1 C − 1 R C x ( t ) + 1 L 0 v i n ( t ) (4) \small \begin{aligned} \dot{\boldsymbol{x}}(t) &= \begin{bmatrix} 0 & -\dfrac{1}{L}\\4pt \dfrac{1}{C} & -\dfrac{1}{RC} \end{bmatrix} \boldsymbol{x}(t)\\6pt &\quad+ \begin{bmatrix} \dfrac{1}{L}\\4pt 0 \end{bmatrix} v_{in}(t) \end{aligned} \tag{4} x˙(t)= 0C1−L1−RC1 x(t)+L10vin(t)(4)
当开关管关断时，电感电流通过二极管续流，输入电源与输出侧断开。此时有：
{ d i L ( t ) d t = − v C ( t ) L d v C ( t ) d t = i L ( t ) C − v C ( t ) R C (5) \small \begin{cases}\displaystyle \frac{di_L(t)}{dt}=-\frac{v_C(t)}{L}\\6pt\displaystyle \frac{dv_C(t)}{dt}=\frac{i_L(t)}{C}-\frac{v_C(t)}{RC}\end{cases} \tag{5} ⎩ ⎨ ⎧dtdiL(t)=−LvC(t)dtdvC(t)=CiL(t)−RCvC(t)(5)
对应的状态空间模型为：
x ˙ ( t ) = 0 − 1 L 1 C − 1 R C x ( t ) (6) \small \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\begin{bmatrix}0&-\dfrac{1}{L}\\4pt\dfrac{1}{C}&-\dfrac{1}{RC}\end{bmatrix}\boldsymbol{x}(t) \tag{6} x˙(t)= 0C1−L1−RC1 x(t)(6)
以上模型基于理想器件，并假设BUCK变换器工作在CCM。若变换器工作在DCM，则还需要针对电感电流为零的第三个模态建立状态方程。本文仅讨论CCM，因此式（3）-式（6）已经完整描述了理想BUCK变换器的两个工作模态。
在实际电容中，等效串联电阻（ESR）会在传递函数中引入零点，从而影响变换器的频率特性、稳定裕度及闭环补偿器设计。因此，为了得到更加准确的模型，还需要在状态方程中考虑电容ESR的影响。
如图2所示，CCM下的BUCK变换器仍包含开关管导通和关断两个工作模态。设电容ESR为rC，由于其两端存在压降，输出电压vo不再等于电容电压vC。
(a) 开关管导通 (b)开关管关断
图2 考虑电容ESR的BUCK变换器CCM工作模态
当开关管导通、二极管截止时，根据KVL和KCL可得：
{ d i L d t = − R r C L ( R + r C ) i L − R L ( R + r C ) v C + v i n ( t ) L d v C d t = R C ( R + r C ) i L − 1 C ( R + r C ) v C (7) \small \left\{ \begin{aligned} \frac{di_L}{dt} &=-\frac{Rr_C}{L(R+r_C)}i_L -\frac{R}{L(R+r_C)}v_C\\ &\quad+\frac{v_{in}(t)}{L}\\6pt \frac{dv_C}{dt} &=\frac{R}{C(R+r_C)}i_L -\frac{1}{C(R+r_C)}v_C \end{aligned} \right. \tag{7} ⎩ ⎨ ⎧dtdiLdtdvC=−L(R+rC)RrCiL−L(R+rC)RvC+Lvin(t)=C(R+rC)RiL−C(R+rC)1vC(7)
写成状态空间形式为：
x ˙ = − R r C L ( R + r C ) − R L ( R + r C ) R C ( R + r C ) − 1 C ( R + r C ) x + 1 L 0 v i n ( t ) (8) \small \begin{aligned} \dot{\boldsymbol{x}} &= \begin{bmatrix} -\dfrac{Rr_C}{L(R+r_C)} & -\dfrac{R}{L(R+r_C)} \\6pt \dfrac{R}{C(R+r_C)} & -\dfrac{1}{C(R+r_C)} \end{bmatrix} \boldsymbol{x} \\7pt &\quad+ \begin{bmatrix} \dfrac{1}{L}\\4pt 0 \end{bmatrix} v_{in}(t) \end{aligned} \tag{8} x˙= −L(R+rC)RrCC(R+rC)R−L(R+rC)R−C(R+rC)1 x+L10vin(t)(8)
式中，状态变量x仍然与式（1）相同。需要注意，ESR不储存能量，因此不会增加状态变量，BUCK变换器仍然是二阶系统。
当开关管关断时，电感电流通过二极管续流，输入电源与输出侧断开。此时有：
{ d i L d t = − R r C L ( R + r C ) i L − R L ( R + r C ) v C d v C d t = R C ( R + r C ) i L − 1 C ( R + r C ) v C (9) \small \begin{cases}\displaystyle \frac{di_L}{dt}=-\frac{Rr_C}{L(R+r_C)}i_L-\frac{R}{L(R+r_C)}v_C\\7pt\displaystyle \frac{dv_C}{dt}=\frac{R}{C(R+r_C)}i_L-\frac{1}{C(R+r_C)}v_C\end{cases} \tag{9} ⎩ ⎨ ⎧dtdiL=−L(R+rC)RrCiL−L(R+rC)RvCdtdvC=C(R+rC)RiL−C(R+rC)1vC(9)
写成状态空间形式为：
x ˙ = − R r C L ( R + r C ) − R L ( R + r C ) R C ( R + r C ) − 1 C ( R + r C ) x (10) \scriptsize \dot{\boldsymbol{x}}=\begin{bmatrix}-\dfrac{Rr_C}{L(R+r_C)}&-\dfrac{R}{L(R+r_C)}\\6pt\dfrac{R}{C(R+r_C)}&-\dfrac{1}{C(R+r_C)}\end{bmatrix}\boldsymbol{x} \tag{10} x˙= −L(R+rC)RrCC(R+rC)R−L(R+rC)R−C(R+rC)1 x(10)
由式（8）和式（10）可以看出，开关管导通和关断时的系统矩阵相同，区别仅在于导通模态包含输入电压项，而关断模态的输入电压项为零。至此，理想情况和考虑电容ESR情况下的BUCK变换器状态方程均已建立，为后续推导大信号平均模型和小信号模型奠定了基础。
2.2. 推导大信号平均模型
设d (t )为开关管的导通占空比， x ‾ ( t ) \overline{\boldsymbol{x}}(t) x(t)表示状态变量在一个开关周期内的平均值。如图3所示，状态空间平均法不再描述每个开关周期内电感电流和电容电压的具体纹波，而是使用周期平均值表示该周期的整体状态。第k个开关周期内的平均状态定义为：
x ‾ k = 1 T s ∫ k T s ( k + 1 ) T s x ( t ) d t (11) \small \overline{\boldsymbol{x}}k=\frac{1}{T_s}\int_{kT_s}^{(k+1)T_s}\boldsymbol{x}(t)\,dt \tag{11} xk=Ts1∫kTs(k+1)Tsx(t)dt(11)
当所研究的动态频率远低于开关频率时，相邻开关周期的平均状态变化较小，因此可以将这些离散的周期平均值近似看作连续变化的平均状态 x ‾ ( t ) \overline{\boldsymbol{x}}(t) x(t)。
图3 平均化后波形和实际波形的关系
需要注意，平均模型并不是认为瞬时状态始终等于平均状态。瞬时状态仍可分解为周期平均量与开关纹波量，即：
x ( t ) = x ‾ ( t ) + x r ( t ) , x r ( t ) ‾ = 0 (12) \small \boldsymbol{x}(t)=\overline{\boldsymbol{x}}(t)+\boldsymbol{x}_r(t),\qquad \overline{\boldsymbol{x}_r(t)}=0 \tag{12} x(t)=x(t)+xr(t),xr(t)=0(12)
式中， x r ( t ) \boldsymbol{x}_r(t) xr(t)为开关纹波，其周期平均值为零。状态空间平均模型仅描述 x ‾ ( t ) \overline{\boldsymbol{x}}(t) x(t)的低频变化规律，而不反映开关纹波的具体形状及峰值。
在一个开关周期内，注意开关管导通和关断的持续时间分别为d(t)Ts和(1-d)Ts。分别用 x ‾ o n ( t ) \overline{\boldsymbol{x}}{on}(t) xon(t)和 x ‾ o f f ( t ) \overline{\boldsymbol{x}}{off}(t) xoff(t)表示两个模态分别在它们各自持续时间内的平均状态（不是整个开关周期的平均状态）。因此，按照两个模态的持续时间，对其状态进行加权平均，可以得到整个周期Ts的平均状态为：
x ‾ = 1 T s ∫ 0 d ( t ) T s x o n ( τ ) d τ + ∫ d ( t ) T s T s x o f f ( τ ) d τ = d ( t ) x ‾ o n + 1 − d ( t ) x ‾ o f f (13) \small \begin{aligned}\overline{\boldsymbol{x}}&=\frac{1}{T_s}\left\\int_0\^{d(t)T_s}\\boldsymbol{x}_{on}(\\tau)\\,d\\tau+\\int_{d(t)T_s}\^{T_s}\\boldsymbol{x}_{off}(\\tau)\\,d\\tau\\right\\4pt&=d(t)\overline{\boldsymbol{x}}{on}+1-d(t)\overline{\boldsymbol{x}}{off}\end{aligned} \tag{13} x=Ts1∫0d(t)Tsxon(τ)dτ+∫d(t)TsTsxoff(τ)dτ=d(t)xon+1−d(t)xoff(13)
式中，导通模态和关断模态的状态方程分别为：
{ x ˙ o n = A o n x o n + B o n v i n ( t ) x ˙ o f f = A o f f x o f f (14) \small \begin{cases}\dot{\boldsymbol{x}}{on}=\boldsymbol{A}{on}\boldsymbol{x}{on}+\boldsymbol{B}{on}v_{in}(t)\\5pt\dot{\boldsymbol{x}}{off}=\boldsymbol{A}{off}\boldsymbol{x}_{off}\end{cases} \tag{14} {x˙on=Aonxon+Bonvin(t)x˙off=Aoffxoff(14)
需要注意的是，导通状态方程的导数关系 x ˙ o n \dot{\boldsymbol{x}}_{on} x˙on如下：
x ˙ ‾ o n = 1 d T s ∫ 0 d T s x ˙ o n d t = 1 d T s ∫ 0 d T s A o n x o n + B o n v i n ( t ) d t = A o n x ‾ o n + B o n v ‾ i n ( t ) (15) \small \begin{aligned}\overline{\dot{\boldsymbol{x}}}{on}&=\frac{1}{dT_s}\int_0^{dT_s}\dot{\boldsymbol{x}}{on}\,dt\\&=\frac{1}{dT_s}\int_0^{dT_s}\left\\boldsymbol{A}_{on}\\boldsymbol{x}_{on}+\\boldsymbol{B}_{on}v_{in}(t)\\rightdt\\&=\boldsymbol{A}{on}\overline{\boldsymbol{x}}{on}+\boldsymbol{B}{on}\overline{v}{in}(t)\end{aligned} \tag{15} x˙on=dTs1∫0dTsx˙ondt=dTs1∫0dTsAonxon+Bonvin(t)dt=Aonxon+Bonvin(t)(15)
类似地，关断状态方程的导数关系 x ˙ o f f \dot{\boldsymbol{x}}_{off} x˙off如下：
x ˙ ‾ o f f = A o f f x ‾ o f f (16) \small \overline{\dot{\boldsymbol{x}}}{off}=\boldsymbol{A}{off}\overline{\boldsymbol{x}}_{off} \tag{16} x˙off=Aoffxoff(16)
同样地，按照两个模态的持续时间，对其状态变化率也进行加权平均，可得：
d x ‾ d t = d ( t ) x ˙ ‾ o n + 1 − d ( t ) x ˙ ‾ o f f = d ( t ) ( A o n x ‾ o n + B o n v ‾ i n ) + 1 − d ( t ) A o f f x ‾ o f f (17) \small \begin{aligned}\frac{d\overline{\boldsymbol{x}}}{dt}&=d(t)\overline{\dot{\boldsymbol{x}}}{on}+1-d(t)\overline{\dot{\boldsymbol{x}}}{off}\\4pt&=d(t)\left(\boldsymbol{A}{on}\overline{\boldsymbol{x}}{on}+\boldsymbol{B}{on}\overline{v}{in}\right)+1-d(t)\boldsymbol{A}{off}\overline{\boldsymbol{x}}{off}\end{aligned} \tag{17} dtdx=d(t)x˙on+1−d(t)x˙off=d(t)(Aonxon+Bonvin)+1−d(t)Aoffxoff(17)
对于本文研究的CCM BUCK变换器，导通和关断模态的状态矩阵相同因此，式（17）可以整理为：
d x ‾ d t = A d ( t ) x ‾ o n + \[ 1 − d ( t ) x ‾ o f f ] + d ( t ) B o n v ‾ i n ( t ) = A x ‾ + d ( t ) B o n v ‾ i n ( t ) (18) \small \begin{aligned}\frac{d\overline{\boldsymbol{x}}}{dt}&=\boldsymbol{A}\leftd(t)\\overline{\\boldsymbol{x}}_{on}+\[1-d(t)\overline{\boldsymbol{x}}{off}\right]+d(t)\boldsymbol{B}{on}\overline{v}{in}(t)\\&=\boldsymbol{A}\overline{\boldsymbol{x}}+d(t)\boldsymbol{B}{on}\overline{v}_{in}(t)\end{aligned} \tag{18} dtdx=Ad(t)xon+\[1−d(t)xoff]+d(t)Bonvin(t)=Ax+d(t)Bonvin(t)(18)
式中，不考虑电容ESR情况下，则有：
A = 0 − 1 L 1 C − 1 R C \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}0&-\dfrac{1}{L}\\4pt\dfrac{1}{C}&-\dfrac{1}{RC}\end{bmatrix} A= 0C1−L1−RC1 ，考虑ESR情况下有：
A = − R r C L ( R + r C ) − R L ( R + r C ) R C ( R + r C ) − 1 C ( R + r C ) \boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}-\dfrac{Rr_C}{L(R+r_C)}&-\dfrac{R}{L(R+r_C)}\\6pt\dfrac{R}{C(R+r_C)}&-\dfrac{1}{C(R+r_C)}\end{bmatrix} A= −L(R+rC)RrCC(R+rC)R−L(R+rC)R−C(R+rC)1 ，Bon两种情况下均为 B o n = 1 L 0 \boldsymbol{B}_{on}=\begin{bmatrix}\dfrac{1}{L}\\4pt0\end{bmatrix} Bon=L10。
式（18）即为BUCK变换器的大信号平均模型。将ESR情况得到的矩阵代入（18）并展开，可得：
{ d i ‾ L d t = − R r C L ( R + r C ) i ‾ L − R L ( R + r C ) v ‾ C + d ( t ) v ‾ i n ( t ) L d v ‾ C d t = R C ( R + r C ) i ‾ L − 1 C ( R + r C ) v ‾ C (19) \small \left\{\begin{aligned}\frac{d\overline{i}_L}{dt}&=-\frac{Rr_C}{L(R+r_C)}\overline{i}_L-\frac{R}{L(R+r_C)}\overline{v}C\\&\quad+\frac{d(t)\overline{v}{in}(t)}{L}\\6pt\frac{d\overline{v}_C}{dt}&=\frac{R}{C(R+r_C)}\overline{i}_L-\frac{1}{C(R+r_C)}\overline{v}_C\end{aligned}\right. \tag{19} ⎩ ⎨ ⎧dtdiLdtdvC=−L(R+rC)RrCiL−L(R+rC)RvC+Ld(t)vin(t)=C(R+rC)RiL−C(R+rC)1vC(19)
考虑电容ESR后，输出电压vo不再始终等于理想电容电压vC。根据输出节点的KCL和电容支路的KVL关系，可以得到平均输出电压与平均状态变量之间的关系，即输出方程为：
v ‾ o = R r C R + r C i ‾ L + R R + r C v ‾ C = C x ‾ (20) \small \overline{v}_o=\frac{Rr_C}{R+r_C}\overline{i}_L+\frac{R}{R+r_C}\overline{v}_C=\boldsymbol{C}\overline{\boldsymbol{x}} \tag{20} vo=R+rCRrCiL+R+rCRvC=Cx(20)
式中， C = R r C R + r C R R + r C \boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}\dfrac{Rr_C}{R+r_C}&\dfrac{R}{R+r_C}\end{bmatrix} C=R+rCRrCR+rCR
稳态时，由于各周期平均量保持不变，因此令其式（19）左边的导数为0，可得：
{ V o = V C = D V i n I L = V o R (21) \small \begin{cases}V_o=V_C=DV_{in}\\4ptI_L=\dfrac{V_o}{R}\end{cases} \tag{21} ⎩ ⎨ ⎧Vo=VC=DVinIL=RVo(21)
该稳态表达式刚好与第一期稳态分析推导结果相同。这说明电容ESR不会改变BUCK变换器的直流稳态电压变换关系，但会改变系统的动态特性和频率响应，进而影响后续推导的传递函数。
2.3. 推导小信号模型
小信号模型用于描述变换器在某一稳态工作点附近，微小扰动与系统动态响应之间的关系。例如，当输入电压发生微小变化时，可以利用小信号模型分析该扰动对电感电流、电容电压及输出电压的影响。
线性化是指在选定的稳态工作点附近，将非线性模型近似为线性模型。具体而言，在推导过程中保留小信号变量的一次项，并忽略小信号变量之间的乘积、平方等高阶小量。经过线性化后，所得模型满足叠加原理，可以进一步用于推导传递函数和分析频率特性。
假设BUCK变换器已经进入稳态，其状态变量、输入电压和占空比的稳态值分别为：X, Vin, D。当系统受到小扰动时，式（18）大信号模型中各平均变量可以分解为稳态值＋小信号扰动，即：
{ x ‾ ( t ) = X + x ^ ( t ) v ‾ i n ( t ) = V i n + v ^ i n ( t ) d ( t ) = D + d ^ ( t ) v ‾ o ( t ) = V o + v ^ o ( t ) (22) \small \begin{cases}\overline{\boldsymbol{x}}(t)=\boldsymbol{X}+\widehat{\boldsymbol{x}}(t)\\3pt\overline{v}{in}(t)=V{in}+\widehat{v}_{in}(t)\\3ptd(t)=D+\widehat{d}(t)\\3pt\overline{v}_o(t)=V_o+\widehat{v}_o(t)\end{cases} \tag{22} ⎩ ⎨ ⎧x(t)=X+x (t)vin(t)=Vin+v in(t)d(t)=D+d (t)vo(t)=Vo+v o(t)(22)
将式（22）其代入大信号平均模型，并展开可得：
d X d t + d x ^ d t = A ( X + x ^ ) + B o n ( D + d ^ ) ( V i n + v ^ i n ) = A X + A x ^ + B o n ( D V i n + D v ^ i n + V i n d ^ + d ^ v ^ i n ) = ( A X + B o n D V i n ) + A x ^ + B o n ( D v ^ i n + V i n d ^ + d ^ v ^ i n ) (23) \small \begin{aligned} \frac{d\boldsymbol{X}}{dt} +\frac{d\widehat{\boldsymbol{x}}}{dt} &= \boldsymbol{A} \left( \boldsymbol{X} +\widehat{\boldsymbol{x}} \right) \\ &\quad+ \boldsymbol{B}{on} \left(D+\widehat{d}\right) \left(V{in}+\widehat{v}{in}\right) \\5pt &= \boldsymbol{A}\boldsymbol{X} +\boldsymbol{A}\widehat{\boldsymbol{x}} \\ &\quad+ \boldsymbol{B}{on} \left( DV_{in} +D\widehat{v}{in} +V{in}\widehat{d} +\widehat{d}\widehat{v}{in} \right) \\5pt &= \left( \boldsymbol{A}\boldsymbol{X} +\boldsymbol{B}{on}DV_{in} \right) +\boldsymbol{A}\widehat{\boldsymbol{x}} \\ &\quad+ \boldsymbol{B}{on} \left( D\widehat{v}{in} +V_{in}\widehat{d} +\widehat{d}\widehat{v}_{in} \right) \end{aligned} \tag{23} dtdX+dtdx =A(X+x )+Bon(D+d )(Vin+v in)=AX+Ax +Bon(DVin+Dv in+Vind +d v in)=(AX+BonDVin)+Ax +Bon(Dv in+Vind +d v in)(23)
利用稳态工作点所满足的平衡关系，可以消去式（23）中的稳态项；同时忽略两个小信号变量乘积形成的二阶小量，仅保留扰动变量的一次项，最终得到线性小信号模型，即：
{ d x ^ d t = A x ^ + B o n ( D v ^ i n + V i n d ^ ) v ^ o = C x ^ (24) \small \begin{cases}\displaystyle \frac{d\widehat{\boldsymbol{x}}}{dt}=\boldsymbol{A}\widehat{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{B}{on}\left(D\widehat{v}{in}+V_{in}\widehat{d}\right)\\6pt\widehat{v}_o=\boldsymbol{C}\widehat{\boldsymbol{x}}\end{cases} \tag{24} ⎩ ⎨ ⎧dtdx =Ax +Bon(Dv in+Vind )v o=Cx (24)
式（24）描述了输入电压扰动和占空比扰动对状态变量及输出电压的影响，为后续推导控制---输出传递函数和输入---输出传递函数奠定了基础。
3. 传递函数推导
推导传递函数的目的是将BUCK变换器的动态特性转化为便于分析的数学形式。根据传递函数可以获得系统的幅频和相频特性，进一步分析环路带宽、增益裕度和相位裕度，并为闭环PI等补偿器的参数设计提供理论依据，从而改善系统的稳定性和动态响应。
首先，对式（24）所示的小信号状态方程进行拉普拉斯变换，可得：
s x ^ ( s ) = A x ^ ( s ) + B o n D v \^ i n ( s ) + V i n d \^ ( s ) (25) \small \begin{aligned} s\widehat{\boldsymbol{x}}(s) &= \boldsymbol{A}\widehat{\boldsymbol{x}}(s) \\4pt &\quad+ \boldsymbol{B}_{on} \left D\\widehat{v}_{in}(s) + V_{in}\\widehat{d}(s) \\right \end{aligned} \tag{25} sx (s)=Ax (s)+BonDv in(s)+Vind (s)(25)
对上式进行整理，可以得到状态变量扰动的频域表达式，即：
x ^ ( s ) = ( s I − A ) − 1 B o n × D v \^ i n ( s ) + V i n d \^ ( s ) (26) \small \begin{aligned} \widehat{\boldsymbol{x}}(s) &= \left( s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A} \right)^{-1} \boldsymbol{B}_{on} \\4pt &\quad\times \left D\\widehat{v}_{in}(s) + V_{in}\\widehat{d}(s) \\right \end{aligned} \tag{26} x (s)=(sI−A)−1Bon×Dv in(s)+Vind (s)(26)
将式（26）代入（24）中的输出方程，可以得到输出电压扰动与输入电压扰动、占空比扰动之间的关系，即：
v ^ o ( s ) = C ( s I − A ) − 1 B o n × D v \^ i n ( s ) + V i n d \^ ( s ) (27) \small \begin{aligned} \widehat{v}o(s) &= \boldsymbol{C} \left( s\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A} \right)^{-1} \boldsymbol{B}{on} \\4pt &\quad\times \left D\\widehat{v}_{in}(s) + V_{in}\\widehat{d}(s) \\right \end{aligned} \tag{27} v o(s)=C(sI−A)−1Bon×Dv in(s)+Vind (s)(27)
因此，可以继续推导控制---输出传递函数，令输入电压扰动为0，即 v ^ i n ( s ) = 0 \widehat{v}_{in}(s)=0 v in(s)=0，则占空比扰动到输出电压扰动的传递函数为：
G v d ( s ) = v ^ o ( s ) d ^ ( s ) = V i n ( 1 + r C C s ) L C ( 1 + r C R ) s 2 + ( L R + r C C ) s + 1 (28) \small \begin{aligned} G_{vd}(s) &=\frac{\widehat{v}o(s)}{\widehat{d}(s)} \\5pt &= \frac{V{in}\left(1+r_CC s\right)} {LC\left(1+\dfrac{r_C}{R}\right)s^2 +\left(\dfrac{L}{R}+r_CC\right)s+1} \end{aligned} \tag{28} Gvd(s)=d (s)v o(s)=LC(1+RrC)s2+(RL+rCC)s+1Vin(1+rCCs)(28)
该传递函数描述了占空比发生微小变化时输出电压的动态响应，是后续分析BUCK功率级频率特性和设计电压闭环补偿器的主要对象。
继续推导输入---输出传递函数，令占空比扰动为零，即 d ^ ( s ) = 0 \widehat{d}(s)=0 d (s)=0，则输入电压扰动到输出电压扰动的传递函数为：
G v g ( s ) = v ^ o ( s ) v ^ i n ( s ) = D ( 1 + r C C s ) L C ( 1 + r C R ) s 2 + ( L R + r C C ) s + 1 (29) \small \begin{aligned} G_{vg}(s) &= \frac{\widehat{v}o(s)} {\widehat{v}{in}(s)} \\5pt &= \frac{D\left(1+r_CC s\right)} {LC\left(1+\dfrac{r_C}{R}\right)s^2 +\left(\dfrac{L}{R}+r_CC\right)s+1} \end{aligned} \tag{29} Gvg(s)=v in(s)v o(s)=LC(1+RrC)s2+(RL+rCC)s+1D(1+rCCs)(29)
该传递函数描述输入电压发生微小波动时输出电压的响应，可用于分析变换器对输入电压扰动的抑制能力。
由式（28）和式（29）可以看出，传递函数的分子均包含1+rCCs，因此会产生一个由电容ESR引入的左半平面零点，其角频率为：
ω z , E S R = 1 r C C (30) \small \omega_{z,ESR}=\frac{1}{r_CC} \tag{30} ωz,ESR=rCC1(30)
对应的频率为：
f z , E S R = 1 2 π r C C (31) \small f_{z,ESR}=\frac{1}{2\pi r_CC} \tag{31} fz,ESR=2πrCC1(31)
当频率高于该零点频率后，幅频曲线的斜率增加20dB/dec，同时产生最高约90°的相位超前。因此，在选择环路截止频率和设计闭环补偿器时，需要考虑电容ESR零点对系统频率特性及稳定裕度的影响。
4. 结论
本文以CCM下的BUCK变换器为研究对象，采用状态空间平均法建立开关管导通和关断两个模态的状态方程，并按照各模态的持续时间进行加权平均，得到变换器的大信号平均模型。在此基础上，对模型在稳态工作点附近进行小信号扰动和线性化，进一步推导小信号模型、控制---输出传递函数以及输入---输出传递函数。分析结果表明，电容ESR不会改变BUCK变换器的直流稳态电压变换关系，但会影响系统的动态特性，并在传递函数中引入ESR零点。所得传递函数可用于绘制波特图、分析系统极点与零点、评估稳定裕度，并为后续闭环补偿器设计提供理论依据。需要说明的是，本文建立的模型主要适用于CCM及远低于开关频率的动态分析，不能直接用于描述DCM、开关纹波、逐周期快速动态以及工作模式切换等过程。
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