矩阵及其运算 --- 完整知识点与详细推导
§1 线性方程组和矩阵
一、线性方程组的基本概念
定义（线性方程组）
含有 mmm 个方程、nnn 个未知数的线性方程组的一般形式为：
{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm
其中 aija_{ij}aij 是第 iii 个方程中第 jjj 个未知数的系数，bib_ibi 是第 iii 个方程的常数项。
当所有 bi=0b_i = 0bi=0 时，称为齐次线性方程组 ；否则称为非齐次线性方程组。
二、矩阵的定义
定义（矩阵）
由 m×nm \times nm×n 个数 aija_{ij}aij（i=1,2,⋯ ,mi=1,2,\cdots,mi=1,2,⋯,m；j=1,2,⋯ ,nj=1,2,\cdots,nj=1,2,⋯,n）排成的 mmm 行 nnn 列的数表
A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮am1am2⋯amn)A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}A= a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn
称为 m×nm \times nm×n 矩阵 ，简记为 A=(aij)m×nA = (a_{ij}){m \times n}A=(aij)m×n 或 A=(aij)A = (a{ij})A=(aij)。
- m×nm \times nm×n 称为矩阵的型 或阶
- aija_{ij}aij 称为矩阵 AAA 的第 iii 行第 jjj 列的元素
三、特殊矩阵
| 名称 | 定义 | 记号 |
|---|---|---|
| 零矩阵 | 所有元素为零的矩阵 | Om×nO_{m \times n}Om×n 或 OOO |
| nnn 阶方阵 | 行数等于列数，m=nm=nm=n | AnA_nAn |
| 单位矩阵 | 主对角线上元素为1、其余为0的方阵 | EnE_nEn 或 EEE |
| 对角矩阵 | 非主对角线元素全为0的方阵 | diag(λ1,λ2,⋯ ,λn)\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)diag(λ1,λ2,⋯,λn) |
| 数量矩阵 | λE\lambda EλE，主对角线元素均为 λ\lambdaλ | λE\lambda EλE |
| 对称矩阵 | AT=AA^T = AAT=A，即 aij=ajia_{ij} = a_{ji}aij=aji | --- |
| 反对称矩阵 | AT=−AA^T = -AAT=−A，即 aij=−ajia_{ij} = -a_{ji}aij=−aji（主对角线必为0） | --- |
四、线性方程组的矩阵表示
线性方程组可写为矩阵方程：
AX=BAX = BAX=B
其中
A=(a11⋯a1n⋮⋮am1⋯amn),X=(x1x2⋮xn),B=(b1b2⋮bm)A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}A= a11⋮am1⋯⋯a1n⋮amn ,X= x1x2⋮xn ,B= b1b2⋮bm
AAA 称为系数矩阵 ，A~=(A∣B)\tilde{A} = (A \mid B)A~=(A∣B) 称为增广矩阵。
§2 矩阵的运算
一、矩阵的加法
定义 ：设 A=(aij)m×nA = (a_{ij}){m \times n}A=(aij)m×n，B=(bij)m×nB = (b{ij})_{m \times n}B=(bij)m×n，则
A+B=(aij+bij)m×nA + B = (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n}A+B=(aij+bij)m×n
即对应元素相加。注意：只有同型矩阵才能相加。
运算律：
- A+B=B+AA + B = B + AA+B=B+A（交换律）
- (A+B)+C=A+(B+C)(A + B) + C = A + (B + C)(A+B)+C=A+(B+C)（结合律）
- A+O=AA + O = AA+O=A
- A+(−A)=OA + (-A) = OA+(−A)=O，其中 −A=(−aij)-A = (-a_{ij})−A=(−aij)
二、矩阵的数乘
定义 ：设 A=(aij)m×nA = (a_{ij})_{m \times n}A=(aij)m×n，λ\lambdaλ 为数，则
λA=(λaij)m×n\lambda A = (\lambda a_{ij})_{m \times n}λA=(λaij)m×n
运算律：
- 1⋅A=A1 \cdot A = A1⋅A=A
- λ(μA)=(λμ)A\lambda(\mu A) = (\lambda \mu)Aλ(μA)=(λμ)A
- λ(A+B)=λA+λB\lambda(A + B) = \lambda A + \lambda Bλ(A+B)=λA+λB
- (λ+μ)A=λA+μA(\lambda + \mu)A = \lambda A + \mu A(λ+μ)A=λA+μA
三、矩阵的乘法（核心重点）
定义 ：设 A=(aij)m×sA = (a_{ij}){m \times s}A=(aij)m×s，B=(bij)s×nB = (b{ij}){s \times n}B=(bij)s×n，则 AB=C=(cij)m×nAB = C = (c{ij})_{m \times n}AB=C=(cij)m×n，其中
cij=∑k=1saikbkj=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aisbsj\boxed{c_{ij} = \sum_{k=1}^{s} a_{ik} b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{is}b_{sj}}cij=k=1∑saikbkj=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aisbsj
关键要点 ：AAA 的列数必须等于 BBB 的行数。CCC 的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素 = AAA 的第 iii 行与 BBB 的第 jjj 列对应元素乘积之和。
【详细例题】
A=(1234),B=(5678)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}A=(1324),B=(5768)
AB=(1×5+2×71×6+2×83×5+4×73×6+4×8)=(19224350)AB = \begin{pmatrix} 1\times5+2\times7 & 1\times6+2\times8 \\ 3\times5+4\times7 & 3\times6+4\times8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}AB=(1×5+2×73×5+4×71×6+2×83×6+4×8)=(19432250)
运算律（逐一验证）：
(1) 结合律 (AB)C=A(BC)(AB)C = A(BC)(AB)C=A(BC)
设 A=(aij)m×sA = (a_{ij}){m \times s}A=(aij)m×s，B=(bjk)s×tB = (b{jk}){s \times t}B=(bjk)s×t，C=(ckl)t×nC = (c{kl})_{t \times n}C=(ckl)t×n。
左边 (AB)C(AB)C(AB)C 的 (i,l)(i,l)(i,l) 元素：
∑k=1t(∑j=1saijbjk)ckl=∑k=1t∑j=1saijbjkckl\sum_{k=1}^{t}\left(\sum_{j=1}^{s} a_{ij}b_{jk}\right)c_{kl} = \sum_{k=1}^{t}\sum_{j=1}^{s} a_{ij}b_{jk}c_{kl}k=1∑t(j=1∑saijbjk)ckl=k=1∑tj=1∑saijbjkckl
右边 A(BC)A(BC)A(BC) 的 (i,l)(i,l)(i,l) 元素：
∑j=1saij(∑k=1tbjkckl)=∑j=1s∑k=1taijbjkckl\sum_{j=1}^{s} a_{ij}\left(\sum_{k=1}^{t} b_{jk}c_{kl}\right) = \sum_{j=1}^{s}\sum_{k=1}^{t} a_{ij}b_{jk}c_{kl}j=1∑saij(k=1∑tbjkckl)=j=1∑sk=1∑taijbjkckl
由于有限求和可以交换顺序，两式相等。■\blacksquare■
(2) 分配律 A(B+C)=AB+ACA(B+C) = AB + ACA(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA(B+C)A = BA + CA(B+C)A=BA+CA
验证 A(B+C)=AB+ACA(B+C) = AB + ACA(B+C)=AB+AC：
左边的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素：∑kaik(bkj+ckj)=∑kaikbkj+∑kaikckj\displaystyle\sum_{k} a_{ik}(b_{kj}+c_{kj}) = \sum_{k} a_{ik}b_{kj} + \sum_{k} a_{ik}c_{kj}k∑aik(bkj+ckj)=k∑aikbkj+k∑aikckj
右边的 (i,j)(i,j)(i,j) 元素：(AB)ij+(AC)ij=∑kaikbkj+∑kaikckj(AB){ij} + (AC){ij} = \displaystyle\sum_{k} a_{ik}b_{kj} + \sum_{k} a_{ik}c_{kj}(AB)ij+(AC)ij=k∑aikbkj+k∑aikckj
两者相等。■\blacksquare■
(3) λ(AB)=(λA)B=A(λB)\lambda(AB) = (\lambda A)B = A(\lambda B)λ(AB)=(λA)B=A(λB) --- 类似可证。
重要注意：矩阵乘法一般不满足交换律！
- ABABAB 不一定等于 BABABA
- AB=OAB = OAB=O 不能推出 A=OA = OA=O 或 B=OB = OB=O
反例：A=(1000)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}A=(1000)，B=(0010)B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}B=(0100)，则 AB=(0000)=OAB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = OAB=(0000)=O，但 A≠OA \neq OA=O，B≠OB \neq OB=O。
方阵的幂 ：Ak=A⋅A⋯A⏟k个A^k = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{k \text{个}}Ak=k个 A⋅A⋯A，规定 A0=EA^0 = EA0=E。
性质：AkAl=Ak+lA^k A^l = A^{k+l}AkAl=Ak+l，(Ak)l=Akl(A^k)^l = A^{kl}(Ak)l=Akl。
四、矩阵的转置
定义 ：将 A=(aij)m×nA = (a_{ij})_{m \times n}A=(aij)m×n 的行列互换，得到的 n×mn \times mn×m 矩阵称为 AAA 的转置矩阵：
AT=(aji)n×mA^T = (a_{ji})_{n \times m}AT=(aji)n×m
即 ATA^TAT 的第 iii 行第 jjj 列元素 = AAA 的第 jjj 行第 iii 列元素。
运算律：
- (AT)T=A(A^T)^T = A(AT)T=A
- (A+B)T=AT+BT(A+B)^T = A^T + B^T(A+B)T=AT+BT
- (λA)T=λAT(\lambda A)^T = \lambda A^T(λA)T=λAT
- (AB)T=BTAT\boxed{(AB)^T = B^T A^T}(AB)T=BTAT（注意顺序颠倒）
第4条的证明：
设 A=(aij)m×sA = (a_{ij}){m \times s}A=(aij)m×s，B=(bij)s×nB = (b{ij})_{s \times n}B=(bij)s×n。
(AB)T(AB)^T(AB)T 的 (j,i)(j,i)(j,i) 元素 = (AB)ij=∑k=1saikbkj(AB){ij} = \displaystyle\sum{k=1}^{s} a_{ik}b_{kj}(AB)ij=k=1∑saikbkj
(BTAT)(B^TA^T)(BTAT) 的 (j,i)(j,i)(j,i) 元素 = ∑k=1s(BT)jk(AT)ki=∑k=1sbkj⋅aik=∑k=1saikbkj\displaystyle\sum_{k=1}^{s} (B^T){jk}(A^T){ki} = \sum_{k=1}^{s} b_{kj} \cdot a_{ik} = \sum_{k=1}^{s} a_{ik}b_{kj}k=1∑s(BT)jk(AT)ki=k=1∑sbkj⋅aik=k=1∑saikbkj
两者相等，故 (AB)T=BTAT(AB)^T = B^TA^T(AB)T=BTAT。■\blacksquare■
推广：(A1A2⋯Ak)T=AkT⋯A2TA1T(A_1 A_2 \cdots A_k)^T = A_k^T \cdots A_2^T A_1^T(A1A2⋯Ak)T=AkT⋯A2TA1T
§3 逆矩阵
一、逆矩阵的定义
定义 ：对于 nnn 阶方阵 AAA，若存在 nnn 阶方阵 BBB，使得
AB=BA=EAB = BA = EAB=BA=E
则称 AAA 是可逆的 （非奇异的），BBB 称为 AAA 的逆矩阵 ，记为 A−1A^{-1}A−1。
逆矩阵若存在则唯一 ：设 BBB、CCC 都是 AAA 的逆矩阵，则
B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C■B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C \quad \blacksquareB=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C■
二、行列式的几个重要性质（预备知识）
性质1 ：∣AT∣=∣A∣|A^T| = |A|∣AT∣=∣A∣
性质2 ：∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣|AB| = |A| \cdot |B|∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣（行列式的乘法性质）
性质2的证明 ：设 A=(aij)nA = (a_{ij})nA=(aij)n，B=(bij)nB = (b{ij})_nB=(bij)n，构造 2n2n2n 阶矩阵
D=(AO−EB)D = \begin{pmatrix} A & O \\ -E & B \end{pmatrix}D=(A−EOB)
通过行列式的展开性质（此处略去完整的分块行列式计算），可证明 ∣D∣=∣A∣∣B∣|D| = |A||B|∣D∣=∣A∣∣B∣。
另一方面，将 DDD 进行列变换（将前 nnn 列乘以相应元素加到后 nnn 列），可以化为
D′=(AAB−EO)D' = \begin{pmatrix} A & AB \\ -E & O \end{pmatrix}D′=(A−EABO)
再按后 nnn 列展开可得 ∣D′∣=∣AB∣|D'| = |AB|∣D′∣=∣AB∣。由于列变换不改变行列式，∣D∣=∣D′∣|D| = |D'|∣D∣=∣D′∣，故 ∣AB∣=∣A∣∣B∣|AB| = |A||B|∣AB∣=∣A∣∣B∣。■\blacksquare■
推广：∣A1A2⋯Ak∣=∣A1∣∣A2∣⋯∣Ak∣|A_1 A_2 \cdots A_k| = |A_1||A_2|\cdots|A_k|∣A1A2⋯Ak∣=∣A1∣∣A2∣⋯∣Ak∣
三、伴随矩阵
定义 ：对于 nnn 阶方阵 A=(aij)A = (a_{ij})A=(aij)，AijA_{ij}Aij 是 ∣A∣|A|∣A∣ 中元素 aija_{ij}aij 的代数余子式，则称
A∗=(A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋮A1nA2n⋯Ann)A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}A∗= A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋯An1An2⋮Ann
为 AAA 的伴随矩阵 。注意 A∗A^*A∗ 中 (i,j)(i,j)(i,j) 位置放的是 AjiA_{ji}Aji（下标互换）。
核心定理 ：AA∗=A∗A=∣A∣EAA^* = A^*A = |A|EAA∗=A∗A=∣A∣E
详细证明：
AA∗=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann)(A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋮A1nA2n⋯Ann)AA^* = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}AA∗= a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋯An1An2⋮Ann
(AA∗)(AA^*)(AA∗) 的第 (i,j)(i,j)(i,j) 元素为：
∑k=1naikAjk\sum_{k=1}^{n} a_{ik} A_{jk}k=1∑naikAjk
根据行列式展开定理（按行展开）：
- 当 i=ji = ji=j 时：∑k=1naikAik=∣A∣\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{ik}A_{ik} = |A|k=1∑naikAik=∣A∣（行列式按第 iii 行展开）
- 当 i≠ji \neq ji=j 时：∑k=1naikAjk=0\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_{ik}A_{jk} = 0k=1∑naikAjk=0（相当于将 ∣A∣|A|∣A∣ 的第 jjj 行替换为第 iii 行后的行列式，有两行相同，故为0）
因此 AA∗=∣A∣⋅EAA^* = |A| \cdot EAA∗=∣A∣⋅E。同理可证 A∗A=∣A∣⋅EA^*A = |A| \cdot EA∗A=∣A∣⋅E。■\blacksquare■
四、逆矩阵的求法
定理 ：nnn 阶方阵 AAA 可逆 ⟺ \iff⟺ ∣A∣≠0|A| \neq 0∣A∣=0（即 AAA 为非奇异矩阵），且
A−1=1∣A∣A∗\boxed{A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*}A−1=∣A∣1A∗
证明：
**（充分性）**若 ∣A∣≠0|A| \neq 0∣A∣=0，由 AA∗=∣A∣EAA^* = |A|EAA∗=∣A∣E，得
A⋅A∗∣A∣=EA \cdot \frac{A^*}{|A|} = EA⋅∣A∣A∗=E
所以 A−1=1∣A∣A∗A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}A^*A−1=∣A∣1A∗。
**（必要性）**若 AAA 可逆，则存在 A−1A^{-1}A−1 使得 AA−1=EAA^{-1} = EAA−1=E，取行列式：
∣AA−1∣=∣A∣⋅∣A−1∣=∣E∣=1|AA^{-1}| = |A| \cdot |A^{-1}| = |E| = 1∣AA−1∣=∣A∣⋅∣A−1∣=∣E∣=1
故 ∣A∣≠0|A| \neq 0∣A∣=0。■\blacksquare■
推论 ：若 AB=EAB = EAB=E（或 BA=EBA = EBA=E），则 B=A−1B = A^{-1}B=A−1。
证明：∣AB∣=∣A∣∣B∣=∣E∣=1|AB| = |A||B| = |E| = 1∣AB∣=∣A∣∣B∣=∣E∣=1，所以 ∣A∣≠0|A| \neq 0∣A∣=0，AAA 可逆。再在 AB=EAB = EAB=E 两边左乘 A−1A^{-1}A−1 得 B=A−1B = A^{-1}B=A−1。
五、逆矩阵的运算性质
设 AAA、BBB 为 nnn 阶可逆矩阵，λ≠0\lambda \neq 0λ=0：
-
(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A(A−1)−1=A
证明：A−1A=EA^{-1}A = EA−1A=E，所以 AAA 是 A−1A^{-1}A−1 的逆矩阵。
-
(λA)−1=1λA−1(\lambda A)^{-1} = \dfrac{1}{\lambda}A^{-1}(λA)−1=λ1A−1
证明：(λA)(1λA−1)=λ⋅1λ⋅AA−1=E(\lambda A)\left(\dfrac{1}{\lambda}A^{-1}\right) = \lambda \cdot \dfrac{1}{\lambda} \cdot AA^{-1} = E(λA)(λ1A−1)=λ⋅λ1⋅AA−1=E
-
(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1（注意顺序颠倒）
证明：(AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AEA−1=AA−1=E(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AEA^{-1} = AA^{-1} = E(AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AEA−1=AA−1=E
-
(AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T(AT)−1=(A−1)T
证明：AT(A−1)T=(A−1A)T=ET=EA^T(A^{-1})^T = (A^{-1}A)^T = E^T = EAT(A−1)T=(A−1A)T=ET=E
-
∣A−1∣=1∣A∣|A^{-1}| = \dfrac{1}{|A|}∣A−1∣=∣A∣1
证明：由 ∣A∣∣A−1∣=∣E∣=1|A||A^{-1}| = |E| = 1∣A∣∣A−1∣=∣E∣=1。
-
(A∗)−1=1∣A∣A=(A−1)∗(A^*)^{-1} = \dfrac{1}{|A|}A = (A^{-1})^*(A∗)−1=∣A∣1A=(A−1)∗
证明：由 A∗=∣A∣A−1A^* = |A|A^{-1}A∗=∣A∣A−1，则 (A∗)−1=1∣A∣(A−1)−1=1∣A∣A(A^*)^{-1} = \dfrac{1}{|A|}(A^{-1})^{-1} = \dfrac{1}{|A|}A(A∗)−1=∣A∣1(A−1)−1=∣A∣1A