矩阵的初等变换与线性方程组
§1 矩阵的初等变换
一、初等行变换的定义
对矩阵施以下三种变换，称为矩阵的初等行变换：
(1) 互换变换 ：交换矩阵的第 iii 行与第 jjj 行，记为 ri↔rjr_i \leftrightarrow r_jri↔rj
(2) 倍乘变换 ：用非零数 kkk 乘矩阵的第 iii 行，记为 krikr_ikri
(3) 倍加变换 ：把第 jjj 行的 kkk 倍加到第 iii 行上，记为 ri+krjr_i + kr_jri+krj
注 ：将上述"行"换成"列"，即得到初等列变换 的定义，分别记为 ci↔cjc_i \leftrightarrow c_jci↔cj，kcikc_ikci，ci+kcjc_i + kc_jci+kcj。初等行变换与初等列变换统称为初等变换。
二、矩阵等价
定义 ：若矩阵 AAA 经过有限次 初等变换变成矩阵 BBB，则称 AAA 与 BBB 等价 ，记为 A∼BA \sim BA∼B。
等价关系的性质：
| 性质 | 内容 |
|---|---|
| 反身性 | A∼AA \sim AA∼A |
| 对称性 | 若 A∼BA \sim BA∼B，则 B∼AB \sim AB∼A |
| 传递性 | 若 A∼BA \sim BA∼B，B∼CB \sim CB∼C，则 A∼CA \sim CA∼C |
三、初等矩阵
定义 ：由单位矩阵 EEE 经过一次 初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵。
三种初等矩阵对应三种初等行变换：
(1) 互换 EEE 的第 iii 行和第 jjj 行，记为 E(i,j)E(i,j)E(i,j)
E(i,j)=(1⋱0⋯1⋮⋱⋮1⋯0⋱1)E(i,j) = \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & 0 & \cdots & 1 \\ & & \vdots & \ddots & \vdots \\ & & 1 & \cdots & 0 \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 1 \end{pmatrix}E(i,j)= 1⋱0⋮1⋯⋱⋯1⋮0⋱1
(2) 用 k≠0k \neq 0k=0 乘 EEE 的第 iii 行，记为 E(i(k))E(i(k))E(i(k))
E(i(k))=(1⋱k⋱1)E(i(k)) = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & k & \\ & & & \ddots & \\ & & & & 1 \end{pmatrix}E(i(k))= 1⋱k⋱1
（第 iii 行第 iii 列元素为 kkk，其余对角元为 111）
(3) 把 EEE 的第 jjj 行的 kkk 倍加到第 iii 行，记为 E(i,j(k))E(i,j(k))E(i,j(k))
E(i,j(k))=(1⋱1⋯k⋱⋮1⋱1)E(i,j(k)) = \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & 1 & \cdots & k \\ & & & \ddots & \vdots \\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{pmatrix}E(i,j(k))= 1⋱1⋯⋱k⋮1⋱1
（在 (i,j)(i,j)(i,j) 位置为 kkk，对角元全为 111）
四、初等矩阵的核心性质
定理 ：设 AAA 为 m×nm \times nm×n 矩阵，则
A→初等行变换B ⟺ 存在初等矩阵 P1,P2,⋯ ,Ps 使 Ps⋯P2P1A=BA \xrightarrow{\text{初等行变换}} B \iff \text{存在初等矩阵 } P_1, P_2, \cdots, P_s \text{ 使 } P_s \cdots P_2 P_1 A = BA初等行变换 B⟺存在初等矩阵 P1,P2,⋯,Ps 使 Ps⋯P2P1A=B
A→初等列变换B ⟺ 存在初等矩阵 Q1,Q2,⋯ ,Qt 使 AQ1Q2⋯Qt=BA \xrightarrow{\text{初等列变换}} B \iff \text{存在初等矩阵 } Q_1, Q_2, \cdots, Q_t \text{ 使 } A Q_1 Q_2 \cdots Q_t = BA初等列变换 B⟺存在初等矩阵 Q1,Q2,⋯,Qt 使 AQ1Q2⋯Qt=B
推导/说明：
以倍加变换为例。将 AAA 的第 jjj 行的 kkk 倍加到第 iii 行，等价于左乘 E(i,j(k))E(i,j(k))E(i,j(k))。
设 A=(α1⋮αi⋮αj⋮αm)A = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol{\alpha}_i \\ \vdots \\ \boldsymbol{\alpha}_j \\ \vdots \\ \boldsymbol{\alpha}_m \end{pmatrix}A= α1⋮αi⋮αj⋮αm ，其中 αi\boldsymbol{\alpha}_iαi 为第 iii 行向量。
E(i,j(k))⋅A=(α1⋮αi+kαj⋮αj⋮αm)E(i,j(k)) \cdot A = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol{\alpha}_i + k\boldsymbol{\alpha}_j \\ \vdots \\ \boldsymbol{\alpha}_j \\ \vdots \\ \boldsymbol{\alpha}_m \end{pmatrix}E(i,j(k))⋅A= α1⋮αi+kαj⋮αj⋮αm
这正是将第 jjj 行的 kkk 倍加到第 iii 行的结果。其余两种变换可类似验证。
重要结论：
- 初等矩阵都是可逆矩阵
- 初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵：
- E(i,j)−1=E(i,j)E(i,j)^{-1} = E(i,j)E(i,j)−1=E(i,j)
- E(i(k))−1=E(i(1k))E(i(k))^{-1} = E(i(\frac{1}{k}))E(i(k))−1=E(i(k1))
- E(i,j(k))−1=E(i,j(−k))E(i,j(k))^{-1} = E(i,j(-k))E(i,j(k))−1=E(i,j(−k))
证明 （以 E(i,j(k))E(i,j(k))E(i,j(k)) 为例）：
验证 E(i,j(−k))⋅E(i,j(k))=EE(i,j(-k)) \cdot E(i,j(k)) = EE(i,j(−k))⋅E(i,j(k))=E。
记 P=E(i,j(k))P = E(i,j(k))P=E(i,j(k))，Q=E(i,j(−k))Q = E(i,j(-k))Q=E(i,j(−k))。两者都是单位矩阵只在 (i,j)(i,j)(i,j) 位置做了修改。考虑 PQPQPQ 的第 (p,q)(p,q)(p,q) 元素：
δpq+修正项\delta_{pq} + \text{修正项}δpq+修正项
由于只有第 iii 行受到修改，计算 PQPQPQ 的第 iii 行：
（P 的第 i 行）⋅Q=(eiT+kejT)Q=eiTQ+kejTQ\text{（P 的第 i 行）} \cdot Q = (\boldsymbol{e}_i^T + k\boldsymbol{e}_j^T) Q = \boldsymbol{e}_i^T Q + k\boldsymbol{e}_j^T Q（P 的第 i 行）⋅Q=(eiT+kejT)Q=eiTQ+kejTQ
其中 eiTQ=eiT\boldsymbol{e}_i^T Q = \boldsymbol{e}_i^TeiTQ=eiT（因为 QQQ 在第 iii 行无变化），ejTQ=ejT\boldsymbol{e}_j^T Q = \boldsymbol{e}_j^TejTQ=ejT（因为 QQQ 在第 jjj 行无变化）。
所以第 iii 行为 eiT+kejT\boldsymbol{e}_i^T + k\boldsymbol{e}_j^TeiT+kejT，再注意 QQQ 也修改了第 iii 行：
实际上更简洁地：E(i,j(k))⋅E(i,j(−k))E(i,j(k)) \cdot E(i,j(-k))E(i,j(k))⋅E(i,j(−k))，在 (i,j)(i,j)(i,j) 位置上，得到 k+(−k)=0k + (-k) = 0k+(−k)=0。故结果为 EEE。■\blacksquare■
五、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵
定义（行阶梯形矩阵）：
满足以下条件的矩阵：
- 所有零行（如果有）都在矩阵的底部
- 每个非零行的首个非零元素 （称为主元 或首非零元）所在的列号，严格大于上一行首非零元的列号
示例：
(21−13032100050000)\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} 20001300−12003150
定义（行最简形矩阵/简化行阶梯形）：
在行阶梯形的基础上，额外满足：
- 每个非零行的首非零元为 111
- 首非零元所在列的其余元素全为 000
示例：
(10−7600123000010000)\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{7}{6} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} 10000100−6732000010
定理 ：任何矩阵都可以经初等行变换化为行阶梯形矩阵 ，也可以化为行最简形矩阵。
六、用初等行变换化行最简形的方法（高斯-约当消元法）
步骤：
第一步：从最左非零列开始，选取或交换使首行该列非零。
第二步 ：用该行首元化为 111（倍乘变换）。
第三步：用该行消去其余各行在该列的元素（倍加变换）。
第四步：对剩余子矩阵重复以上步骤。
七、初等变换的矩阵解释------等价标准形
定理 ：对任意 m×nm \times nm×n 矩阵 AAA，若 r(A)=rr(A) = rr(A)=r，则存在 mmm 阶可逆矩阵 PPP 和 nnn 阶可逆矩阵 QQQ，使得
PAQ=(ErOOO)m×nPAQ = \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}_{m \times n}PAQ=(ErOOO)m×n
其中 ErE_rEr 为 rrr 阶单位矩阵。(ErOOO)\begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}(ErOOO) 称为 AAA 的等价标准形。
§2 矩阵的秩
一、k 阶子式
定义 ：在 m×nm \times nm×n 矩阵 AAA 中，任取 kkk 行 kkk 列（k≤min(m,n)k \leq \min(m,n)k≤min(m,n)），位于这些行、列交叉处的 k2k^2k2 个元素按原相对位置构成的 kkk 阶行列式，称为矩阵 AAA 的一个 kkk 阶子式。
矩阵 AAA 共有 Cmk⋅CnkC_m^k \cdot C_n^kCmk⋅Cnk 个 kkk 阶子式。
二、矩阵的秩
定义 ：矩阵 AAA 中不等于零的子式的最高阶数 称为矩阵 AAA 的秩 ，记为 r(A)r(A)r(A) 或 rank(A)\text{rank}(A)rank(A)。
规定：零矩阵的秩为 000，即 r(O)=0r(O) = 0r(O)=0。
基本性质：
- 0≤r(A)≤min(m,n)0 \leq r(A) \leq \min(m, n)0≤r(A)≤min(m,n)
- r(A)=r(AT)r(A) = r(A^T)r(A)=r(AT)
- r(kA)=r(A)r(kA) = r(A)r(kA)=r(A)（k≠0k \neq 0k=0）
- r(A)=0 ⟺ A=Or(A) = 0 \iff A = Or(A)=0⟺A=O
三、矩阵的秩的计算
定理（核心定理） ：矩阵的秩等于其行阶梯形矩阵中非零行的个数，也等于其行最简形矩阵中非零行的个数。
证明思路：
需证明：初等变换不改变矩阵的秩。
引理：初等行变换不改变矩阵的秩。
证明 ：设 A→一次初等行变换BA \xrightarrow{\text{一次初等行变换}} BA一次初等行变换 B，需要证明 r(A)=r(B)r(A) = r(B)r(A)=r(B)。
设 r(A)=rr(A) = rr(A)=r，则存在 AAA 的某个 rrr 阶子式 Dr≠0D_r \neq 0Dr=0。
情况一 （互换变换）：BBB 由 AAA 交换两行得到。BBB 中对应位置的子式 Dr′D_r'Dr′（可能差一个符号）≠0\neq 0=0，故 r(B)≥rr(B) \geq rr(B)≥r。反之亦然，故 r(B)=rr(B) = rr(B)=r。
情况二 （倍乘变换）：BBB 由 AAA 的某行乘以 k≠0k \neq 0k=0 得到。BBB 中对应子式 Dr′=kDrD_r' = kD_rDr′=kDr 或 Dr′=DrD_r' = D_rDr′=Dr（取决于是否涉及该行），都 ≠0\neq 0=0，故 r(B)≥rr(B) \geq rr(B)≥r。反之，AAA 可由 BBB 的该行乘以 1k\frac{1}{k}k1 得到，故 r(A)≥r(B)r(A) \geq r(B)r(A)≥r(B)。所以 r(A)=r(B)r(A) = r(B)r(A)=r(B)。
情况三 （倍加变换）：设 BBB 由 AAA 的第 jjj 行 kkk 倍加到第 iii 行得到。
先证 r(B)≤r(A)r(B) \leq r(A)r(B)≤r(A)：设 BBB 有一个 sss 阶非零子式 DsD_sDs。
- 若 DsD_sDs 不含 BBB 的第 iii 行，则 DsD_sDs 也是 AAA 的子式，故 Ds≠0D_s \neq 0Ds=0。
- 若 DsD_sDs 含 BBB 的第 iii 行但不含第 jjj 行，则 DsD_sDs 也是 AAA 的子式。
- 若 DsD_sDs 同时含第 iii 行和第 jjj 行，则根据行列式的性质（第 iii 行加第 jjj 行的 kkk 倍不改变行列式的值），DsD_sDs 等于 AAA 中对应子式的值。
综合以上，BBB 的任何非零子式都能在 AAA 中找到对应（非零）的同阶子式，故 r(B)≤r(A)r(B) \leq r(A)r(B)≤r(A)。
再证 r(A)≤r(B)r(A) \leq r(B)r(A)≤r(B)：AAA 可由 BBB 的第 jjj 行 (−k)(-k)(−k) 倍加到第 iii 行得到（仍是倍加变换），同理 r(A)≤r(B)r(A) \leq r(B)r(A)≤r(B)。
因此 r(A)=r(B)r(A) = r(B)r(A)=r(B)。■\blacksquare■
四、秩的重要定理
定理 1 ：r(Am×n)=r ⟺ Ar(A_{m \times n}) = r \iff Ar(Am×n)=r⟺A 的行阶梯形恰有 rrr 个非零行 ⟺ A\iff A⟺A 的等价标准形为 (ErOOO)\begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}(ErOOO)
定理 2 ：r(A)=r(AT)r(A) = r(A^T)r(A)=r(AT)
证明 ：AAA 的 kkk 阶子式与 ATA^TAT 的 kkk 阶子式一一对应（转置后行列式值相等），故不为零的最高阶子式阶数相同。
定理 3 ：设 PPP、QQQ 为可逆矩阵，则
r(PAQ)=r(A)r(PAQ) = r(A)r(PAQ)=r(A)
证明 ：可逆矩阵可表示为有限个初等矩阵的乘积：P=Ps⋯P1P = P_s \cdots P_1P=Ps⋯P1，Q=Q1⋯QtQ = Q_1 \cdots Q_tQ=Q1⋯Qt。因此 PAQPAQPAQ 等价于对 AAA 做有限次初等变换，而初等变换不改变秩，故 r(PAQ)=r(A)r(PAQ) = r(A)r(PAQ)=r(A)。■\blacksquare■
定理 4（积的秩）：
r(AB)≤min{r(A), r(B)}r(AB) \leq \min\{r(A),\ r(B)\}r(AB)≤min{r(A), r(B)}
证明：
设 AAA 为 m×sm \times sm×s 矩阵，BBB 为 s×ns \times ns×n 矩阵。
将 ABABAB 按列分块：AB=C=(c1,c2,⋯ ,cn)AB = C = (\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_n)AB=C=(c1,c2,⋯,cn)，其中 cj=Abj\boldsymbol{c}_j = A\boldsymbol{b}_jcj=Abj（bj\boldsymbol{b}_jbj 为 BBB 的第 jjj 列）。
ABABAB 的列空间 ⊆A\subseteq A⊆A 的列空间，因为每个 cj\boldsymbol{c}_jcj 都是 AAA 的列向量的线性组合。
因此 CCC 的列秩 ≤\leq≤ AAA 的列秩，即 r(AB)≤r(A)r(AB) \leq r(A)r(AB)≤r(A)。
又 r(AB)=r((AB)T)=r(BTAT)≤r(BT)=r(B)r(AB) = r((AB)^T) = r(B^T A^T) \leq r(B^T) = r(B)r(AB)=r((AB)T)=r(BTAT)≤r(BT)=r(B)。
综合得 r(AB)≤min{r(A), r(B)}r(AB) \leq \min\{r(A),\ r(B)\}r(AB)≤min{r(A), r(B)}。■\blacksquare■
定理 5（和的秩）：
r(A+B)≤r(A)+r(B)r(A + B) \leq r(A) + r(B)r(A+B)≤r(A)+r(B)
证明：
(AB)→c2−c1(AB−A)→c1+c2(A+BB−A)\begin{pmatrix} A & B \end{pmatrix} \xrightarrow{c_2 - c_1} \begin{pmatrix} A & B-A \end{pmatrix} \xrightarrow{c_1 + c_2} \begin{pmatrix} A+B & B-A \end{pmatrix}(AB)c2−c1 (AB−A)c1+c2 (A+BB−A)
更直接地：A+BA+BA+B 的列向量可以由 AAA 的列向量与 BBB 的列向量合起来线性表示，因此
r(A+B)≤r(AB)≤r(A)+r(B)r(A+B) \leq r\begin{pmatrix} A & B \end{pmatrix} \leq r(A) + r(B)r(A+B)≤r(AB)≤r(A)+r(B)
其中第二个不等式是因为 (AB)\begin{pmatrix} A & B \end{pmatrix}(AB) 的列空间可以由 AAA 的列空间和 BBB 的列空间之和生成，维度不超过两者之和。■\blacksquare■
定理 6 （Sylvester 不等式）：设 AAA 为 m×sm \times sm×s 矩阵，BBB 为 s×ns \times ns×n 矩阵，则
r(A)+r(B)−s≤r(AB)r(A) + r(B) - s \leq r(AB)r(A)+r(B)−s≤r(AB)
证明：
考虑分块矩阵 (EsBAO)\begin{pmatrix} E_s & B \\ A & O \end{pmatrix}(EsABO)。
通过分块初等变换：
(EsBAO)→R2−A⋅R1(EsBO−AB)\begin{pmatrix} E_s & B \\ A & O \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - A \cdot R_1} \begin{pmatrix} E_s & B \\ O & -AB \end{pmatrix}(EsABO)R2−A⋅R1 (EsOB−AB)
(EsBAO)→C2−C1⋅B(EsOA−AB)\begin{pmatrix} E_s & B \\ A & O \end{pmatrix} \xrightarrow{C_2 - C_1 \cdot B} \begin{pmatrix} E_s & O \\ A & -AB \end{pmatrix}(EsABO)C2−C1⋅B (EsAO−AB)
由于初等变换不改变秩：
r(EsBO−AB)=r(EsOA−AB)r\begin{pmatrix} E_s & B \\ O & -AB \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} E_s & O \\ A & -AB \end{pmatrix}r(EsOB−AB)=r(EsAO−AB)
左边：≥s+r(AB)\geq s + r(AB)≥s+r(AB)（EsE_sEs 提供 sss 个线无关的行/列，−AB-AB−AB 提供 r(AB)r(AB)r(AB) 个）
右边：≥s+r(A)\geq s + r(A)≥s+r(A)
但更精确地，直接计算秩：
由 (EsBO−AB)\begin{pmatrix} E_s & B \\ O & -AB \end{pmatrix}(EsOB−AB)，EsE_sEs 贡献 sss 个线性无关行，−AB-AB−AB 至少贡献 r(AB)−(可能重叠)r(AB) - (\text{可能重叠})r(AB)−(可能重叠)。
更严格地，利用秩的基本性质：
r(EsOA−AB)=s+r(AB)r\begin{pmatrix} E_s & O \\ A & -AB \end{pmatrix} = s + r(AB)r(EsAO−AB)=s+r(AB)
（因为 EsE_sEs 所在的 sss 行已线性无关，而下方的 −AB-AB−AB 不能再由 EsE_sEs 那些行消去的剩余部分的秩恰为 r(AB)r(AB)r(AB)）
同时：
r(EsBO−AB)=s+r(AB)r\begin{pmatrix} E_s & B \\ O & -AB \end{pmatrix} = s + r(AB)r(EsOB−AB)=s+r(AB)
利用另一个展开：
r(EsOA−AB)≥r(A)+r(−AB)=r(A)+r(AB)r\begin{pmatrix} E_s & O \\ A & -AB \end{pmatrix} \geq r(A) + r(-AB) = r(A) + r(AB)r(EsAO−AB)≥r(A)+r(−AB)=r(A)+r(AB)
等一下，这个推导需要更仔细。让我用更标准的方法：
考虑分块矩阵 M=(EsOA−AB)M = \begin{pmatrix} E_s & O \\ A & -AB \end{pmatrix}M=(EsAO−AB)。
r(M)=s+r(−AB)=s+r(AB)r(M) = s + r(-AB) = s + r(AB)r(M)=s+r(−AB)=s+r(AB)（因为 EsE_sEs 提供 sss 个无关行，−AB-AB−AB 的行需要减去 A⋅EsA \cdot E_sA⋅Es 对应的线性组合后的秩）
同样 MMM 也可以视为：前 sss 行的秩为 sss，后 mmm 行中 AAA 的秩为 r(A)r(A)r(A)，且 AAA 与 −AB-AB−AB 的联合秩中，−AB-AB−AB 的秩不小于 r(A)+r(B)−sr(A) + r(B) - sr(A)+r(B)−s。
用另一种方法更简洁：
由 r(AB)=r(A)−dim(N(BT)∩C(A))r(AB) = r(A) - \dim(N(B^T) \cap C(A))r(AB)=r(A)−dim(N(BT)∩C(A)) 这样的关系出发会过于复杂。
更简洁的证明：
对分块矩阵 (EsBAO)\begin{pmatrix} E_s & B \\ A & O \end{pmatrix}(EsABO) 做初等变换得 (EsOO−AB)\begin{pmatrix} E_s & O \\ O & -AB \end{pmatrix}(EsOO−AB)，所以
r(EsBAO)=s+r(AB)r\begin{pmatrix} E_s & B \\ A & O \end{pmatrix} = s + r(AB)r(EsABO)=s+r(AB)
另一方面：
r(EsBAO)≥r(BO)+r(A)=r(B)+r(A)r\begin{pmatrix} E_s & B \\ A & O \end{pmatrix} \geq r\begin{pmatrix} B \\ O \end{pmatrix} + r(A) = r(B) + r(A)r(EsABO)≥r(BO)+r(A)=r(B)+r(A)
（选取与 BBB 对应的列和与 AAA 对应的行构成的子矩阵）
等等，这个不等式不一定直接成立。让我用正确的不等式：
r(EsBAO)≥r(B)+r(A)r\begin{pmatrix} E_s & B \\ A & O \end{pmatrix} \geq r(B) + r(A)r(EsABO)≥r(B)+r(A)
这是因为 (EsBAO)\begin{pmatrix} E_s & B \\ A & O \end{pmatrix}(EsABO) 中，AAA 所在的 mmm 行中后 sss 列为 OOO，前 sss 列为 AAA；BBB 所在的 nnn 列中前 sss 行为 BBB，后 mmm 行为 OOO。
利用性质：r(XOOY)=r(X)+r(Y)r\begin{pmatrix} X & O \\ O & Y \end{pmatrix} = r(X) + r(Y)r(XOOY)=r(X)+r(Y)，但这里不是对角分块。
正确做法：对 (EsBAO)\begin{pmatrix} E_s & B \\ A & O \end{pmatrix}(EsABO) 选取前 sss 行中对应于 BBB 的线性无关列的 r(B)r(B)r(B) 列，加上后 mmm 行中对应于 AAA 的线性无关列的 r(A)r(A)r(A) 列（这些列在前 sss 行全为零），总共 r(A)+r(B)r(A) + r(B)r(A)+r(B) 个线性无关列。
所以 s+r(AB)≥r(A)+r(B)s + r(AB) \geq r(A) + r(B)s+r(AB)≥r(A)+r(B)，即
r(AB)≥r(A)+r(B)−sr(AB) \geq r(A) + r(B) - sr(AB)≥r(A)+r(B)−s
■\blacksquare■
五、几个重要的秩的等式
定理 7 ：r(AOOB)=r(A)+r(B)r\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix} = r(A) + r(B)r(AOOB)=r(A)+r(B)
定理 8 ：若 AB=OAB = OAB=O，则 r(A)+r(B)≤nr(A) + r(B) \leq nr(A)+r(B)≤n（其中 AAA 为 m×nm \times nm×n，BBB 为 n×pn \times pn×p）
证明 ：由 Sylvester 不等式，r(A)+r(B)−n≤r(AB)=r(O)=0r(A) + r(B) - n \leq r(AB) = r(O) = 0r(A)+r(B)−n≤r(AB)=r(O)=0，故 r(A)+r(B)≤nr(A) + r(B) \leq nr(A)+r(B)≤n。■\blacksquare■
§3 线性方程组的解
一、线性方程组的矩阵形式
一般线性方程组：
{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm
记 A=(aij)m×nA = (a_{ij})_{m \times n}A=(aij)m×n，x=(x1,x2,⋯ ,xn)T\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^Tx=(x1,x2,⋯,xn)T，b=(b1,b2,⋯ ,bm)T\boldsymbol{b} = (b_1, b_2, \cdots, b_m)^Tb=(b1,b2,⋯,bm)T
则方程组可写为：
Ax=bA\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}Ax=b
其中 AAA 称为系数矩阵 ，Aˉ=(A∣b)\bar{A} = (A \mid \boldsymbol{b})Aˉ=(A∣b) 称为增广矩阵。
当 b=0\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}b=0 时，Ax=0A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}Ax=0 称为齐次线性方程组。
当 b≠0\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0}b=0 时，Ax=bA\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}Ax=b 称为非齐次线性方程组。
二、线性方程组有解的判定定理（Cramer 法则的推广）
定理（有解判定定理） ：线性方程组 Ax=bA\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}Ax=b
- 有解 ⟺ \iff⟺ r(A)=r(Aˉ)r(A) = r(\bar{A})r(A)=r(Aˉ)
- 有唯一解 ⟺ \iff⟺ r(A)=r(Aˉ)=nr(A) = r(\bar{A}) = nr(A)=r(Aˉ)=n（nnn 为未知量个数）
- 有无穷多解 ⟺ \iff⟺ r(A)=r(Aˉ)<nr(A) = r(\bar{A}) < nr(A)=r(Aˉ)<n
证明：
Ax=bA\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}Ax=b 有解 ⟺ \iff⟺ b\boldsymbol{b}b 可由 AAA 的列向量线性表示。
设 A=(a1,a2,⋯ ,an)A = (\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n)A=(a1,a2,⋯,an)，则 Ax=bA\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}Ax=b 等价于
x1a1+x2a2+⋯+xnan=bx_1\boldsymbol{a}_1 + x_2\boldsymbol{a}_2 + \cdots + x_n\boldsymbol{a}_n = \boldsymbol{b}x1a1+x2a2+⋯+xnan=b
有解 ⟺ \iff⟺ b\boldsymbol{b}b 可由 a1,a2,⋯ ,an\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_na1,a2,⋯,an 线性表示
⟺ \iff⟺ AAA 的列向量组与 Aˉ=(a1,a2,⋯ ,an,b)\bar{A} = (\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n, \boldsymbol{b})Aˉ=(a1,a2,⋯,an,b) 的列向量组等价
⟺ \iff⟺ 列秩相同，即 r(A)=r(Aˉ)r(A) = r(\bar{A})r(A)=r(Aˉ)。
唯一性分析 ：若 r(A)=r(Aˉ)=nr(A) = r(\bar{A}) = nr(A)=r(Aˉ)=n，则 AAA 的 nnn 个列向量线性无关，b\boldsymbol{b}b 由它们线性表示的方式唯一，故解唯一。
若 r(A)=r(Aˉ)=r<nr(A) = r(\bar{A}) = r < nr(A)=r(Aˉ)=r<n，则 AAA 的列向量组线性相关，b\boldsymbol{b}b 的线性表示不唯一，故有无穷多解。■\blacksquare■
三、齐次线性方程组
对于齐次方程组 Ax=0A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}Ax=0：
由于 r(A)=r(Aˉ)r(A) = r(\bar{A})r(A)=r(Aˉ)（Aˉ=(A∣0)\bar{A} = (A \mid \boldsymbol{0})Aˉ=(A∣0) 必然与 AAA 同秩），齐次方程组恒有解 （至少有零解 x=0\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}x=0）。
定理：
- Ax=0A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}Ax=0 只有零解 ⟺ \iff⟺ r(A)=nr(A) = nr(A)=n
- Ax=0A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}Ax=0 有非零解 ⟺ \iff⟺ r(A)<nr(A) < nr(A)<n
重要推论：
- 当方程个数 m<m <m< 未知量个数 nnn 时，r(A)≤m<nr(A) \leq m < nr(A)≤m<n，故 Ax=0A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}Ax=0 必有非零解。
- 当 m=nm = nm=n 时，Ax=0A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}Ax=0 有非零解 ⟺ \iff⟺ ∣A∣=0|A| = 0∣A∣=0。
四、齐次方程组解的结构
定理 ：若 ξ1,ξ2\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2ξ1,ξ2 是 Ax=0A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}Ax=0 的解，则 k1ξ1+k2ξ2k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2k1ξ1+k2ξ2（k1,k2k_1, k_2k1,k2 为任意常数）也是 Ax=0A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}Ax=0 的解。
证明 ：A(k1ξ1+k2ξ2)=k1Aξ1+k2Aξ2=k10+k20=0A(k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2) = k_1 A\boldsymbol{\xi}_1 + k_2 A\boldsymbol{\xi}_2 = k_1 \boldsymbol{0} + k_2 \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0}A(k1ξ1+k2ξ2)=k1Aξ1+k2Aξ2=k10+k20=0。■\blacksquare■
这说明齐次方程组的解集构成一个向量子空间 ，称为 Ax=0A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}Ax=0 的解空间。
定义（基础解系） ：Ax=0A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}Ax=0 的解空间的一组基，称为该方程组的一个基础解系。
若 r(A)=r<nr(A) = r < nr(A)=r<n，则解空间的维数为 n−rn - rn−r，即存在 n−rn - rn−r 个线性无关的解 ξ1,ξ2,⋯ ,ξn−r\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}2, \cdots, \boldsymbol{\xi}{n-r}ξ1,ξ2,⋯,ξn−r，使得任意解可表示为
x=k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r\boldsymbol{x} = k_1\boldsymbol{\xi}1 + k_2\boldsymbol{\xi}2 + \cdots + k{n-r}\boldsymbol{\xi}{n-r}x=k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r
其中 k1,k2,⋯ ,kn−rk_1, k_2, \cdots, k_{n-r}k1,k2,⋯,kn−r 为任意常数。此式称为 Ax=0A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}Ax=0 的通解。
五、基础解系的存在性证明
定理 ：设 AAA 为 m×nm \times nm×n 矩阵，r(A)=r<nr(A) = r < nr(A)=r<n，则 Ax=0A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}Ax=0 存在基础解系，且基础解系中含 n−rn - rn−r 个解向量。
证明：
对 AAA 做初等行变换化为行最简形。不妨设前 rrr 个列的列向量线性无关（否则可通过列交换实现，这等价于调整未知量顺序），行最简形为：
(10⋯0c1,r+1⋯c1n01⋯0c2,r+1⋯c2n⋮⋮⋱⋮⋮⋮00⋯1cr,r+1⋯crn00⋯00⋯0⋮⋮⋮⋮⋮00⋯00⋯0)\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & c_{1,r+1} & \cdots & c_{1n} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & c_{2,r+1} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & c_{r,r+1} & \cdots & c_{rn} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} 10⋮00⋮001⋮00⋮0⋯⋯⋱⋯⋯⋯00⋮10⋮0c1,r+1c2,r+1⋮cr,r+10⋮0⋯⋯⋯⋯⋯c1nc2n⋮crn0⋮0
其中 x1,x2,⋯ ,xrx_1, x_2, \cdots, x_rx1,x2,⋯,xr 为主变量 ，xr+1,⋯ ,xnx_{r+1}, \cdots, x_nxr+1,⋯,xn 为自由变量。
方程组化为：
{x1=−c1,r+1xr+1−c1,r+2xr+2−⋯−c1nxnx2=−c2,r+1xr+1−c2,r+2xr+2−⋯−c2nxn⋯xr=−cr,r+1xr+1−cr,r+2xr+2−⋯−crnxn\begin{cases} x_1 = -c_{1,r+1}x_{r+1} - c_{1,r+2}x_{r+2} - \cdots - c_{1n}x_n \\ x_2 = -c_{2,r+1}x_{r+1} - c_{2,r+2}x_{r+2} - \cdots - c_{2n}x_n \\ \cdots \\ x_r = -c_{r,r+1}x_{r+1} - c_{r,r+2}x_{r+2} - \cdots - c_{rn}x_n \end{cases}⎩ ⎨ ⎧x1=−c1,r+1xr+1−c1,r+2xr+2−⋯−c1nxnx2=−c2,r+1xr+1−c2,r+2xr+2−⋯−c2nxn⋯xr=−cr,r+1xr+1−cr,r+2xr+2−⋯−crnxn
分别令自由变量取以下 n−rn-rn−r 组值：
(xr+1xr+2⋮xn)=(10⋮0),(01⋮0),⋯ ,(00⋮1)\begin{pmatrix} x_{r+1} \\ x_{r+2} \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \cdots, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} xr+1xr+2⋮xn = 10⋮0 , 01⋮0 ,⋯, 00⋮1
得到 n−rn - rn−r 个解向量：
ξ1=(−c1,r+1−c2,r+1⋮−cr,r+110⋮0),ξ2=(−c1,r+2−c2,r+2⋮−cr,r+201⋮0),⋯ ,ξn−r=(−c1n−c2n⋮−crn00⋮1)\boldsymbol{\xi}1 = \begin{pmatrix} -c{1,r+1} \\ -c_{2,r+1} \\ \vdots \\ -c_{r,r+1} \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\xi}2 = \begin{pmatrix} -c{1,r+2} \\ -c_{2,r+2} \\ \vdots \\ -c_{r,r+2} \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \cdots, \quad \boldsymbol{\xi}{n-r} = \begin{pmatrix} -c{1n} \\ -c_{2n} \\ \vdots \\ -c_{rn} \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}ξ1= −c1,r+1−c2,r+1⋮−cr,r+110⋮0 ,ξ2= −c1,r+2−c2,r+2⋮−cr,r+201⋮0 ,⋯,ξn−r= −c1n−c2n⋮−crn00⋮1
验证线性无关性 ：ξ1,ξ2,⋯ ,ξn−r\boldsymbol{\xi}1, \boldsymbol{\xi}2, \cdots, \boldsymbol{\xi}{n-r}ξ1,ξ2,⋯,ξn−r 的后 n−rn-rn−r 个分量构成 En−rE{n-r}En−r（n−rn-rn−r 阶单位矩阵），因此这 n−rn-rn−r 个向量线性无关。
验证任意解可由它们线性表示 ：设 x=(x1,⋯ ,xr,xr+1,⋯ ,xn)T\boldsymbol{x} = (x_1, \cdots, x_r, x_{r+1}, \cdots, x_n)^Tx=(x1,⋯,xr,xr+1,⋯,xn)T 为任意解，则
x=xr+1ξ1+xr+2ξ2+⋯+xnξn−r\boldsymbol{x} = x_{r+1}\boldsymbol{\xi}1 + x{r+2}\boldsymbol{\xi}2 + \cdots + x_n\boldsymbol{\xi}{n-r}x=xr+1ξ1+xr+2ξ2+⋯+xnξn−r
这可以通过将 ξi\boldsymbol{\xi}_iξi 的后 n−rn-rn−r 个分量代入后直接验证前 rrr 个分量满足方程。
因此 ξ1,ξ2,⋯ ,ξn−r\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}2, \cdots, \boldsymbol{\xi}{n-r}ξ1,ξ2,⋯,ξn−r 构成一个基础解系。■\blacksquare■
六、非齐次方程组解的结构
定理 ：设 η∗\boldsymbol{\eta}^*η∗ 是非齐次方程组 Ax=bA\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}Ax=b 的一个特解 ，ξ1,ξ2,⋯ ,ξn−r\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}2, \cdots, \boldsymbol{\xi}{n-r}ξ1,ξ2,⋯,ξn−r 是对应齐次方程组 Ax=0A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}Ax=0 的基础解系，则 Ax=bA\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}Ax=b 的通解为：
x=η∗+k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\eta}^* + k_1\boldsymbol{\xi}1 + k_2\boldsymbol{\xi}2 + \cdots + k{n-r}\boldsymbol{\xi}{n-r}x=η∗+k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r
其中 k1,k2,⋯ ,kn−rk_1, k_2, \cdots, k_{n-r}k1,k2,⋯,kn−r 为任意常数。
证明：
(i) 充分性 ：对任意 k1,⋯ ,kn−rk_1, \cdots, k_{n-r}k1,⋯,kn−r，
A(η∗+k1ξ1+⋯+kn−rξn−r)=Aη∗+k1Aξ1+⋯+kn−rAξn−r=b+0=bA(\boldsymbol{\eta}^* + k_1\boldsymbol{\xi}1 + \cdots + k{n-r}\boldsymbol{\xi}{n-r}) = A\boldsymbol{\eta}^* + k_1 A\boldsymbol{\xi}1 + \cdots + k{n-r} A\boldsymbol{\xi}{n-r} = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{b}A(η∗+k1ξ1+⋯+kn−rξn−r)=Aη∗+k1Aξ1+⋯+kn−rAξn−r=b+0=b
故 η∗+k1ξ1+⋯+kn−rξn−r\boldsymbol{\eta}^* + k_1\boldsymbol{\xi}1 + \cdots + k{n-r}\boldsymbol{\xi}_{n-r}η∗+k1ξ1+⋯+kn−rξn−r 确为 Ax=bA\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}Ax=b 的解。
(ii) 必要性 ：设 x0\boldsymbol{x}_0x0 是 Ax=bA\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}Ax=b 的任意一个解，则
A(x0−η∗)=Ax0−Aη∗=b−b=0A(\boldsymbol{x}_0 - \boldsymbol{\eta}^*) = A\boldsymbol{x}_0 - A\boldsymbol{\eta}^* = \boldsymbol{b} - \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}A(x0−η∗)=Ax0−Aη∗=b−b=0
故 x0−η∗\boldsymbol{x}_0 - \boldsymbol{\eta}^*x0−η∗ 是 Ax=0A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}Ax=0 的解，可由基础解系表示为
x0−η∗=k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r\boldsymbol{x}_0 - \boldsymbol{\eta}^* = k_1\boldsymbol{\xi}1 + k_2\boldsymbol{\xi}2 + \cdots + k{n-r}\boldsymbol{\xi}{n-r}x0−η∗=k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r
即 x0=η∗+k1ξ1+⋯+kn−rξn−r\boldsymbol{x}0 = \boldsymbol{\eta}^* + k_1\boldsymbol{\xi}1 + \cdots + k{n-r}\boldsymbol{\xi}{n-r}x0=η∗+k1ξ1+⋯+kn−rξn−r。■\blacksquare■
几何直观 ：非齐次方程组的解集是解空间（一个 n−rn-rn−r 维的仿射子空间）经过特解 η∗\boldsymbol{\eta}^*η∗ 的平移。