线性代数学习教程，从入门到精通，相似矩阵及二次型

相似矩阵及二次型 --- 知识点详解

§1 向量的内积、长度及正交性

一、内积的定义与性质

定义1 设 α=(a1,a2,⋯ ,an)T\boldsymbol{\alpha} = (a_1, a_2, \cdots, a_n)^Tα=(a1,a2,⋯,an)T，β=(b1,b2,⋯ ,bn)T\boldsymbol{\beta} = (b_1, b_2, \cdots, b_n)^Tβ=(b1,b2,⋯,bn)T 为 Rn\mathbb{R}^nRn 中的向量，则

$α,β$ =a1b1+a2b2+⋯+anbn=αTβ $\\boldsymbol{\\alpha}, \\boldsymbol{\\beta}$ = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n = \boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{\beta} $α,β$ =a1b1+a2b2+⋯+anbn=αTβ

称为向量 α\boldsymbol{\alpha}α 与 β\boldsymbol{\beta}β 的内积（数量积）。

内积的性质（设 α,β,γ∈Rn\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma} \in \mathbb{R}^nα,β,γ∈Rn，k∈Rk \in \mathbb{R}k∈R）：

性质	表达式
对称性	$α,β$ = $β,α$ $\\boldsymbol{\\alpha}, \\boldsymbol{\\beta}$ = $\\boldsymbol{\\beta}, \\boldsymbol{\\alpha}$ $α,β$ = $β,α$
线性性	$α+β,γ$ = $α,γ$ + $β,γ$ $\\boldsymbol{\\alpha}+\\boldsymbol{\\beta}, \\boldsymbol{\\gamma}$ = $\\boldsymbol{\\alpha}, \\boldsymbol{\\gamma}$ + $\\boldsymbol{\\beta}, \\boldsymbol{\\gamma}$ $α+β,γ$ = $α,γ$ + $β,γ$
齐次性	$kα,β$ =k $α,β$ $k\\boldsymbol{\\alpha}, \\boldsymbol{\\beta}$ = k $\\boldsymbol{\\alpha}, \\boldsymbol{\\beta}$ $kα,β$ =k $α,β$
非负性	$α,α$ ⩾0 $\\boldsymbol{\\alpha}, \\boldsymbol{\\alpha}$ \geqslant 0 $α,α$ ⩾0，等号成立当且仅当 α=0\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}α=0

二、向量的长度（范数）

定义2 令

∥α∥= $α,α$ =a12+a22+⋯+an2\|\boldsymbol{\alpha}\| = \sqrt{ $\\boldsymbol{\\alpha}, \\boldsymbol{\\alpha}$ } = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}∥α∥= $α,α$ =a12+a22+⋯+an2

称为向量 α\boldsymbol{\alpha}α 的长度（范数、模）。

性质：

非负性 ：∥α∥⩾0\|\boldsymbol{\alpha}\| \geqslant 0∥α∥⩾0，等号当且仅当 α=0\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}α=0
齐次性 ：∥kα∥=∣k∣⋅∥α∥\|k\boldsymbol{\alpha}\| = |k| \cdot \|\boldsymbol{\alpha}\|∥kα∥=∣k∣⋅∥α∥
三角不等式 ：∥α+β∥⩽∥α∥+∥β∥\|\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}\| \leqslant \|\boldsymbol{\alpha}\| + \|\boldsymbol{\beta}\|∥α+β∥⩽∥α∥+∥β∥
柯西-施瓦茨不等式 ：∣ $α,β$ ∣⩽∥α∥⋅∥β∥| $\\boldsymbol{\\alpha}, \\boldsymbol{\\beta}$ | \leqslant \|\boldsymbol{\alpha}\| \cdot \|\boldsymbol{\beta}\|∣ $α,β$ ∣⩽∥α∥⋅∥β∥

柯西-施瓦茨不等式的证明：

若 α=0\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}α=0，不等式显然成立。设 α≠0\boldsymbol{\alpha} \neq \boldsymbol{0}α=0，令 t∈Rt \in \mathbb{R}t∈R，则

$α-tβ, α-tβ$ ⩾0 $\\boldsymbol{\\alpha} - t\\boldsymbol{\\beta},\\ \\boldsymbol{\\alpha} - t\\boldsymbol{\\beta}$ \geqslant 0 $α-tβ, α-tβ$ ⩾0

展开得

∥α∥2−2t $α,β$ +t2∥β∥2⩾0\|\boldsymbol{\alpha}\|^2 - 2t $\\boldsymbol{\\alpha}, \\boldsymbol{\\beta}$ + t^2 \|\boldsymbol{\beta}\|^2 \geqslant 0∥α∥2−2t $α,β$ +t2∥β∥2⩾0

这是关于 ttt 的二次函数，恒非负要求判别式 ⩽0\leqslant 0⩽0：

Δ=4 $α,β$ 2−4∥β∥2∥α∥2⩽0\Delta = 4 $\\boldsymbol{\\alpha}, \\boldsymbol{\\beta}$ ^2 - 4\|\boldsymbol{\beta}\|^2 \|\boldsymbol{\alpha}\|^2 \leqslant 0Δ=4 $α,β$ 2−4∥β∥2∥α∥2⩽0

即

$α,β$ 2⩽∥α∥2∥β∥2 $\\boldsymbol{\\alpha}, \\boldsymbol{\\beta}$ ^2 \leqslant \|\boldsymbol{\alpha}\|^2 \|\boldsymbol{\beta}\|^2 $α,β$ 2⩽∥α∥2∥β∥2

两边开方即得 ∣ $α,β$ ∣⩽∥α∥⋅∥β∥| $\\boldsymbol{\\alpha}, \\boldsymbol{\\beta}$ | \leqslant \|\boldsymbol{\alpha}\| \cdot \|\boldsymbol{\beta}\|∣ $α,β$ ∣⩽∥α∥⋅∥β∥。■\blacksquare■

单位向量 ：若 ∥α∥=1\|\boldsymbol{\alpha}\| = 1∥α∥=1，则称 α\boldsymbol{\alpha}α 为单位向量。

对任意非零向量 α\boldsymbol{\alpha}α，α∥α∥\displaystyle\frac{\boldsymbol{\alpha}}{\|\boldsymbol{\alpha}\|}∥α∥α 是与 α\boldsymbol{\alpha}α 同方向的单位向量（规范化/单位化）。

三、正交性

定义3 若 $α,β$ =0 $\\boldsymbol{\\alpha}, \\boldsymbol{\\beta}$ = 0 $α,β$ =0，则称 α\boldsymbol{\alpha}α 与 β\boldsymbol{\beta}β 正交（垂直），记 α⊥β\boldsymbol{\alpha} \perp \boldsymbol{\beta}α⊥β。

零向量与任何向量都正交。

定义4 若非零向量组 α1,α2,⋯ ,αr\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_rα1,α2,⋯,αr 中两两正交，即

$αi,αj$ =0(i≠j) $\\boldsymbol{\\alpha}_i, \\boldsymbol{\\alpha}_j$ = 0 \quad (i \neq j) $αi,αj$ =0(i=j)

则称为正交向量组。

定理：正交向量组必线性无关。

证明：设 k1α1+k2α2+⋯+krαr=0k_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + k_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_r \boldsymbol{\alpha}_r = \boldsymbol{0}k1α1+k2α2+⋯+krαr=0，两边与 αi\boldsymbol{\alpha}_iαi 取内积：

ki $αi,αi$ =0k_i $\\boldsymbol{\\alpha}_i, \\boldsymbol{\\alpha}_i$ = 0ki $αi,αi$ =0

因为 αi≠0\boldsymbol{\alpha}_i \neq \boldsymbol{0}αi=0，故 $αi,αi$ >0 $\\boldsymbol{\\alpha}_i, \\boldsymbol{\\alpha}_i$ > 0 $αi,αi$ >0，从而 ki=0k_i = 0ki=0（i=1,2,⋯ ,ri = 1, 2, \cdots, ri=1,2,⋯,r）。■\blacksquare■

四、规范正交基（标准正交基）

定义5 若 Rn\mathbb{R}^nRn 中的基 e1,e2,⋯ ,en\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_ne1,e2,⋯,en 满足：

$ei,ej$ =δij={1,i=j0,i≠j $\\boldsymbol{e}_i, \\boldsymbol{e}_j$ = \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{cases} $ei,ej$ =δij={1,0,i=ji=j

则称为 Rn\mathbb{R}^nRn 的规范正交基（标准正交基）。

五、施密特（Schmidt）正交化方法

目标：将线性无关向量组 α1,α2,⋯ ,αr\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_rα1,α2,⋯,αr 化为等价的正交向量组 β1,β2,⋯ ,βr\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_rβ1,β2,⋯,βr。

公式推导：

设 β1=α1\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1β1=α1。

设 β2=α2−k1β1\boldsymbol{\beta}_2 = \boldsymbol{\alpha}_2 - k_1 \boldsymbol{\beta}_1β2=α2−k1β1，要求 $β2,β1$ =0 $\\boldsymbol{\\beta}_2, \\boldsymbol{\\beta}_1$ = 0 $β2,β1$ =0：

$α2-k1β1,β1$ = $α2,β1$ −k1 $β1,β1$ =0 $\\boldsymbol{\\alpha}_2 - k_1 \\boldsymbol{\\beta}_1, \\boldsymbol{\\beta}_1$ = $\\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\beta}_1$ - k_1 $\\boldsymbol{\\beta}_1, \\boldsymbol{\\beta}_1$ = 0 $α2-k1β1,β1$ = $α2,β1$ −k1 $β1,β1$ =0

⟹k1= $α2,β1$ $β1,β1$ \Longrightarrow \quad k_1 = \frac{ $\\boldsymbol{\\alpha}_2, \\boldsymbol{\\beta}_1$ }{ $\\boldsymbol{\\beta}_1, \\boldsymbol{\\beta}_1$ }⟹k1= $β1,β1$ $α2,β1$

设 β3=α3−l1β1−l2β2\boldsymbol{\beta}_3 = \boldsymbol{\alpha}_3 - l_1 \boldsymbol{\beta}_1 - l_2 \boldsymbol{\beta}_2β3=α3−l1β1−l2β2，要求 $β3,β1$ =0 $\\boldsymbol{\\beta}_3, \\boldsymbol{\\beta}_1$ = 0 $β3,β1$ =0 且 $β3,β2$ =0 $\\boldsymbol{\\beta}_3, \\boldsymbol{\\beta}_2$ = 0 $β3,β2$ =0：

α3,β1\]−l1\[β1,β1\]=0⟹l1=\[α3,β1\]\[β1,β1\]\[\\boldsymbol{\\alpha}_3, \\boldsymbol{\\beta}_1\] - l_1 \[\\boldsymbol{\\beta}_1, \\boldsymbol{\\beta}_1\] = 0 \\quad \\Longrightarrow \\quad l_1 = \\frac{\[\\boldsymbol{\\alpha}_3, \\boldsymbol{\\beta}_1\]}{\[\\boldsymbol{\\beta}_1, \\boldsymbol{\\beta}_1\]}\[α3,β1\]−l1\[β1,β1\]=0⟹l1=\[β1,β1\]\[α3,β1

α3,β2\]−l2\[β2,β2\]=0⟹l2=\[α3,β2\]\[β2,β2\]\[\\boldsymbol{\\alpha}_3, \\boldsymbol{\\beta}_2\] - l_2 \[\\boldsymbol{\\beta}_2, \\boldsymbol{\\beta}_2\] = 0 \\quad \\Longrightarrow \\quad l_2 = \\frac{\[\\boldsymbol{\\alpha}_3, \\boldsymbol{\\beta}_2\]}{\[\\boldsymbol{\\beta}_2, \\boldsymbol{\\beta}_2\]}\[α3,β2\]−l2\[β2,β2\]=0⟹l2=\[β2,β2\]\[α3,β2

一般递推公式：

βk=αk−∑j=1k−1 $αk,βj$ $βj,βj$ βj(k=1,2,⋯ ,r)\boxed{\boldsymbol{\beta}_k = \boldsymbol{\alpha}k - \sum{j=1}^{k-1} \frac{ $\\boldsymbol{\\alpha}_k, \\boldsymbol{\\beta}_j$ }{ $\\boldsymbol{\\beta}_j, \\boldsymbol{\\beta}_j$ } \boldsymbol{\beta}_j \quad (k = 1, 2, \cdots, r)}βk=αk−j=1∑k−1 $βj,βj$ $αk,βj$ βj(k=1,2,⋯,r)

若再令 ek=βk∥βk∥\boldsymbol{e}_k = \dfrac{\boldsymbol{\beta}_k}{\|\boldsymbol{\beta}_k\|}ek=∥βk∥βk，则 e1,e2,⋯ ,er\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_re1,e2,⋯,er 为规范正交向量组。

六、正交矩阵

定义6 若 nnn 阶方阵 AAA 满足 ATA=EA^T A = EATA=E（即 AT=A−1A^T = A^{-1}AT=A−1），则称 AAA 为正交矩阵。

等价条件 ：AAA 是正交矩阵 ⟺\Longleftrightarrow⟺ AAA 的列向量组是 Rn\mathbb{R}^nRn 的规范正交基。

证明：设 A=(α1,α2,⋯ ,αn)A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n)A=(α1,α2,⋯,αn)，则

ATA=(α1Tα2T⋮αnT)(α1,α2,⋯ ,αn)=(α1Tα1α1Tα2⋯α2Tα1α2Tα2⋯⋮⋮⋱)A^T A = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1^T \\ \boldsymbol{\alpha}_2^T \\ \vdots \\ \boldsymbol{\alpha}_n^T \end{pmatrix} (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n) = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_1^T \boldsymbol{\alpha}_1 & \boldsymbol{\alpha}_1^T \boldsymbol{\alpha}_2 & \cdots \\ \boldsymbol{\alpha}_2^T \boldsymbol{\alpha}_1 & \boldsymbol{\alpha}_2^T \boldsymbol{\alpha}_2 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}ATA= α1Tα2T⋮αnT (α1,α2,⋯,αn)= α1Tα1α2Tα1⋮α1Tα2α2Tα2⋮⋯⋯⋱

ATA=EA^T A = EATA=E 要求 (i,j)(i,j)(i,j) 位置为 αiTαj=δij\boldsymbol{\alpha}_i^T \boldsymbol{\alpha}j = \delta{ij}αiTαj=δij，这恰好是规范正交基的条件。■\blacksquare■

正交矩阵的性质：

∣A∣=±1|A| = \pm 1∣A∣=±1
ATA^TAT（即 A−1A^{-1}A−1）也是正交矩阵
ABABAB 也是正交矩阵（A,BA, BA,B 均为正交矩阵时）
正交变换保持向量的内积和长度不变

§2 方阵的特征值与特征向量

一、基本概念

定义7 设 AAA 为 nnn 阶方阵，若存在数 λ\lambdaλ 和非零向量 x\boldsymbol{x}x，使得

Ax=λxA\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}Ax=λx

则称 λ\lambdaλ 为 AAA 的特征值 ，x\boldsymbol{x}x 为 AAA 对应于特征值 λ\lambdaλ 的特征向量。

注意：特征向量必须是非零向量。

二、特征方程与求解

由 Ax=λxA\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}Ax=λx 得 (λE−A)x=0(\lambda E - A)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}(λE−A)x=0。

此齐次方程组有非零解 ⟺\Longleftrightarrow⟺ ∣λE−A∣=0|\lambda E - A| = 0∣λE−A∣=0。

定义8 方程 ∣λE−A∣=0|\lambda E - A| = 0∣λE−A∣=0 称为 AAA 的特征方程 ；f(λ)=∣λE−A∣f(\lambda) = |\lambda E - A|f(λ)=∣λE−A∣ 称为 AAA 的特征多项式。

f(λ)=∣λE−A∣=λn−(a11+a22+⋯+ann)λn−1+⋯+(−1)n∣A∣\boxed{f(\lambda) = |\lambda E - A| = \lambda^n - (a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})\lambda^{n-1} + \cdots + (-1)^n |A|}f(λ)=∣λE−A∣=λn−(a11+a22+⋯+ann)λn−1+⋯+(−1)n∣A∣

其中 a11+a22+⋯+ann=tr(A)a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn} = \text{tr}(A)a11+a22+⋯+ann=tr(A) 称为 AAA 的迹。

特征值与特征多项式系数的关系（韦达定理）：

设 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_nλ1,λ2,⋯,λn 为 AAA 的全部特征值（含重数），则：

{λ1+λ2+⋯+λn=a11+a22+⋯+ann=tr(A)λ1λ2⋯λn=∣A∣\begin{cases} \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} = \text{tr}(A) \\ \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = |A| \end{cases}{λ1+λ2+⋯+λn=a11+a22+⋯+ann=tr(A)λ1λ2⋯λn=∣A∣

三、特征值与特征向量的求法

步骤：

计算特征多项式 f(λ)=∣λE−A∣f(\lambda) = |\lambda E - A|f(λ)=∣λE−A∣
解特征方程 f(λ)=0f(\lambda) = 0f(λ)=0，求出全部特征值 λ1,λ2,⋯ ,λs\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_sλ1,λ2,⋯,λs
对每个 λi\lambda_iλi，解齐次方程组 (λiE−A)x=0(\lambda_i E - A)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}(λiE−A)x=0，求出基础解系 ξ1,ξ2,⋯ ,ξt\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \cdots, \boldsymbol{\xi}_tξ1,ξ2,⋯,ξt，则对应于 λi\lambda_iλi 的全部特征向量为

k1ξ1+k2ξ2+⋯+ktξt(k1,k2,⋯ ,kt 不全为零)k_1 \boldsymbol{\xi}_1 + k_2 \boldsymbol{\xi}_2 + \cdots + k_t \boldsymbol{\xi}_t \quad (k_1, k_2, \cdots, k_t \text{ 不全为零})k1ξ1+k2ξ2+⋯+ktξt(k1,k2,⋯,kt 不全为零)

四、特征值与特征向量的性质

性质1 若 λ\lambdaλ 是 AAA 的特征值，x\boldsymbol{x}x 是对应的特征向量，则：

矩阵	特征值	特征向量
AkA^kAk	λk\lambda^kλk	x\boldsymbol{x}x
kAkAkA	kλk\lambdakλ	x\boldsymbol{x}x
aA+bEaA + bEaA+bE	aλ+ba\lambda + baλ+b	x\boldsymbol{x}x
A−1A^{-1}A−1（AAA 可逆时）	λ−1\lambda^{-1}λ−1	x\boldsymbol{x}x
A∗A^*A∗（AAA 可逆时）	$	A
P−1APP^{-1}APP−1AP	λ\lambdaλ	P−1xP^{-1}\boldsymbol{x}P−1x

性质1的推导：

以 AkA^kAk 为例：Ax=λxA\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}Ax=λx，则

A2x=A(Ax)=A(λx)=λ(Ax)=λ2xA^2 \boldsymbol{x} = A(A\boldsymbol{x}) = A(\lambda \boldsymbol{x}) = \lambda (A\boldsymbol{x}) = \lambda^2 \boldsymbol{x}A2x=A(Ax)=A(λx)=λ(Ax)=λ2x

递推：Akx=λkxA^k \boldsymbol{x} = \lambda^k \boldsymbol{x}Akx=λkx。

以 P−1APP^{-1}APP−1AP 为例：设 B=P−1APB = P^{-1}APB=P−1AP，则

B(P−1x)=P−1APP−1x=P−1Ax=P−1(λx)=λ(P−1x)B(P^{-1}\boldsymbol{x}) = P^{-1}APP^{-1}\boldsymbol{x} = P^{-1}A\boldsymbol{x} = P^{-1}(\lambda \boldsymbol{x}) = \lambda(P^{-1}\boldsymbol{x})B(P−1x)=P−1APP−1x=P−1Ax=P−1(λx)=λ(P−1x)

性质2 属于不同特征值的特征向量线性无关。

证明：设 λ1≠λ2\lambda_1 \neq \lambda_2λ1=λ2，Ax1=λ1x1A\boldsymbol{x}_1 = \lambda_1 \boldsymbol{x}_1Ax1=λ1x1，Ax2=λ2x2A\boldsymbol{x}_2 = \lambda_2 \boldsymbol{x}_2Ax2=λ2x2。设

k1x1+k2x2=0⋯(∗)k_1 \boldsymbol{x}_1 + k_2 \boldsymbol{x}_2 = \boldsymbol{0} \quad \cdots (*)k1x1+k2x2=0⋯(∗)

用 AAA 左乘 (∗)(*)(∗)：

k1λ1x1+k2λ2x2=0⋯(∗∗)k_1 \lambda_1 \boldsymbol{x}_1 + k_2 \lambda_2 \boldsymbol{x}_2 = \boldsymbol{0} \quad \cdots (**)k1λ1x1+k2λ2x2=0⋯(∗∗)

λ1×(∗)−(∗∗)\lambda_1 \times (*) - (**)λ1×(∗)−(∗∗)：

k2(λ1−λ2)x2=0k_2(\lambda_1 - \lambda_2) \boldsymbol{x}_2 = \boldsymbol{0}k2(λ1−λ2)x2=0

因为 λ1≠λ2\lambda_1 \neq \lambda_2λ1=λ2 且 x2≠0\boldsymbol{x}_2 \neq \boldsymbol{0}x2=0，故 k2=0k_2 = 0k2=0。代入 (∗)(*)(∗) 得 k1=0k_1 = 0k1=0。■\blacksquare■

推广：若 λ1,λ2,⋯ ,λm\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_mλ1,λ2,⋯,λm 互不相同，对应的特征向量 x1,x2,⋯ ,xm\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \cdots, \boldsymbol{x}_mx1,x2,⋯,xm 线性无关。

性质3 nnn 阶矩阵 AAA 的 kkk 重特征值 λ\lambdaλ 对应的线性无关特征向量个数 ⩽k\leqslant k⩽k，即

n−rank(λE−A)⩽kn - \text{rank}(\lambda E - A) \leqslant kn−rank(λE−A)⩽k

§3 相似矩阵

一、定义

定义9 设 A,BA, BA,B 为 nnn 阶方阵，若存在可逆矩阵 PPP，使得

P−1AP=B\boxed{P^{-1}AP = B}P−1AP=B

则称 AAA 与 BBB 相似，记 A∼BA \sim BA∼B，PPP 称为相似变换矩阵。

二、相似关系的性质

反身性 ：A∼AA \sim AA∼A（取 P=EP = EP=E）
对称性 ：A∼B⇒B∼AA \sim B \Rightarrow B \sim AA∼B⇒B∼A
传递性 ：A∼BA \sim BA∼B，B∼C⇒A∼CB \sim C \Rightarrow A \sim CB∼C⇒A∼C

三、相似矩阵的共同性质

定理若 A∼BA \sim BA∼B，则：

(1) ∣A∣=∣B∣|A| = |B|∣A∣=∣B∣

证明：∣P−1AP∣=∣P−1∣⋅∣A∣⋅∣P∣=∣A∣|P^{-1}AP| = |P^{-1}| \cdot |A| \cdot |P| = |A|∣P−1AP∣=∣P−1∣⋅∣A∣⋅∣P∣=∣A∣。■\blacksquare■

(2) rank(A)=rank(B)\text{rank}(A) = \text{rank}(B)rank(A)=rank(B)

(3) 特征多项式相同，从而特征值相同

证明：

∣λE−B∣=∣λE−P−1AP∣=∣P−1(λE−A)P∣=∣P−1∣⋅∣λE−A∣⋅∣P∣=∣λE−A∣|\lambda E - B| = |\lambda E - P^{-1}AP| = |P^{-1}(\lambda E - A)P| = |P^{-1}| \cdot |\lambda E - A| \cdot |P| = |\lambda E - A|∣λE−B∣=∣λE−P−1AP∣=∣P−1(λE−A)P∣=∣P−1∣⋅∣λE−A∣⋅∣P∣=∣λE−A∣

■\blacksquare■

(4) tr(A)=tr(B)\text{tr}(A) = \text{tr}(B)tr(A)=tr(B)

证明：特征多项式相同，λn−1\lambda^{n-1}λn−1 项的系数相同，故迹相同。

或者直接验证：tr(P−1AP)=tr(APP−1)=tr(A)\text{tr}(P^{-1}AP) = \text{tr}(APP^{-1}) = \text{tr}(A)tr(P−1AP)=tr(APP−1)=tr(A)（利用 tr(XY)=tr(YX)\text{tr}(XY) = \text{tr}(YX)tr(XY)=tr(YX)）。■\blacksquare■

注意：以上性质是相似的必要条件，而非充分条件。即特征值相同不能推出相似。

四、矩阵可对角化的条件

若 AAA 能与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵 PPP，使得

P−1AP=Λ=diag(λ1,λ2,⋯ ,λn)P^{-1}AP = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)P−1AP=Λ=diag(λ1,λ2,⋯,λn)

则称 AAA 可对角化。

定理 nnn 阶矩阵 AAA 可对角化的充分必要条件是 AAA 有 nnn 个线性无关的特征向量。

证明：

(⇒\Rightarrow⇒) 设 P−1AP=Λ=diag(λ1,λ2,⋯ ,λn)P^{-1}AP = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)P−1AP=Λ=diag(λ1,λ2,⋯,λn)，即 AP=PΛAP = P\LambdaAP=PΛ。

设 P=(p1,p2,⋯ ,pn)P = (\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \cdots, \boldsymbol{p}_n)P=(p1,p2,⋯,pn)，则

A(p1,p2,⋯ ,pn)=(p1,p2,⋯ ,pn)(λ1⋱λn)A(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \cdots, \boldsymbol{p}_n) = (\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \cdots, \boldsymbol{p}_n) \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix}A(p1,p2,⋯,pn)=(p1,p2,⋯,pn) λ1⋱λn

即 Api=λipiA\boldsymbol{p}_i = \lambda_i \boldsymbol{p}_iApi=λipi（i=1,2,⋯ ,ni = 1, 2, \cdots, ni=1,2,⋯,n）。

因为 PPP 可逆，p1,p2,⋯ ,pn\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \cdots, \boldsymbol{p}_np1,p2,⋯,pn 线性无关，它们分别是对应于 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_nλ1,λ2,⋯,λn 的特征向量。

(⇐\Leftarrow⇐) 设 AAA 有 nnn 个线性无关的特征向量 p1,p2,⋯ ,pn\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \cdots, \boldsymbol{p}_np1,p2,⋯,pn，对应的特征值为 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_nλ1,λ2,⋯,λn。令 P=(p1,p2,⋯ ,pn)P = (\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \cdots, \boldsymbol{p}_n)P=(p1,p2,⋯,pn)，则 PPP 可逆，且

AP=A(p1,p2,⋯ ,pn)=(λ1p1,λ2p2,⋯ ,λnpn)=PΛAP = A(\boldsymbol{p}_1, \boldsymbol{p}_2, \cdots, \boldsymbol{p}_n) = (\lambda_1 \boldsymbol{p}_1, \lambda_2 \boldsymbol{p}_2, \cdots, \lambda_n \boldsymbol{p}_n) = P\LambdaAP=A(p1,p2,⋯,pn)=(λ1p1,λ2p2,⋯,λnpn)=PΛ

故 P−1AP=ΛP^{-1}AP = \LambdaP−1AP=Λ。■\blacksquare■

推论：若 nnn 阶矩阵 AAA 有 nnn 个互不相同的特征值，则 AAA 可对角化。

§4 对称矩阵的对角化

一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质

定理1 实对称矩阵的特征值都是实数。

证明：设 AAA 为实对称矩阵，Ax=λxA\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}Ax=λx，x≠0\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}x=0。取共轭转置：

xˉTA=λˉxˉT(因为 A 为实矩阵，Aˉ=A，AT=A)\bar{\boldsymbol{x}}^T A = \bar{\lambda} \bar{\boldsymbol{x}}^T \quad (\text{因为 } A \text{ 为实矩阵，}\bar{A} = A，A^T = A)xˉTA=λˉxˉT(因为 A 为实矩阵，Aˉ=A，AT=A)

于是

xˉTAx=λˉxˉTx\bar{\boldsymbol{x}}^T A \boldsymbol{x} = \bar{\lambda} \bar{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{x}xˉTAx=λˉxˉTx

同时

xˉTAx=xˉT(λx)=λxˉTx\bar{\boldsymbol{x}}^T A \boldsymbol{x} = \bar{\boldsymbol{x}}^T (\lambda \boldsymbol{x}) = \lambda \bar{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{x}xˉTAx=xˉT(λx)=λxˉTx

故 (λ−λˉ)xˉTx=0(\lambda - \bar{\lambda}) \bar{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{x} = 0(λ−λˉ)xˉTx=0。因为 x≠0\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}x=0，xˉTx=∑i=1n∣xi∣2>0\bar{\boldsymbol{x}}^T \boldsymbol{x} = \sum_{i=1}^{n} |x_i|^2 > 0xˉTx=∑i=1n∣xi∣2>0，所以 λ=λˉ\lambda = \bar{\lambda}λ=λˉ，即 λ\lambdaλ 为实数。■\blacksquare■

定理2 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交。

证明：设 Ax1=λ1x1A\boldsymbol{x}_1 = \lambda_1 \boldsymbol{x}_1Ax1=λ1x1，Ax2=λ2x2A\boldsymbol{x}_2 = \lambda_2 \boldsymbol{x}_2Ax2=λ2x2，λ1≠λ2\lambda_1 \neq \lambda_2λ1=λ2。

λ1 $x1,x2$ = $Ax1,x2$ =(Ax1)Tx2=x1TATx2=x1TAx2=x1Tλ2x2=λ2 $x1,x2$ \lambda_1 $\\boldsymbol{x}_1, \\boldsymbol{x}_2$ = $A\\boldsymbol{x}_1, \\boldsymbol{x}_2$ = (A\boldsymbol{x}_1)^T \boldsymbol{x}_2 = \boldsymbol{x}_1^T A^T \boldsymbol{x}_2 = \boldsymbol{x}_1^T A \boldsymbol{x}_2 = \boldsymbol{x}_1^T \lambda_2 \boldsymbol{x}_2 = \lambda_2 $\\boldsymbol{x}_1, \\boldsymbol{x}_2$ λ1 $x1,x2$ = $Ax1,x2$ =(Ax1)Tx2=x1TATx2=x1TAx2=x1Tλ2x2=λ2 $x1,x2$

故 (λ1−λ2) $x1,x2$ =0(\lambda_1 - \lambda_2) $\\boldsymbol{x}_1, \\boldsymbol{x}_2$ = 0(λ1−λ2) $x1,x2$ =0，由 λ1≠λ2\lambda_1 \neq \lambda_2λ1=λ2 得 $x1,x2$ =0 $\\boldsymbol{x}_1, \\boldsymbol{x}_2$ = 0 $x1,x2$ =0。■\blacksquare■

二、实对称矩阵必可正交对角化

定理3 对于 nnn 阶实对称矩阵 AAA，必存在正交矩阵 QQQ，使得

Q−1AQ=QTAQ=diag(λ1,λ2,⋯ ,λn)\boxed{Q^{-1}AQ = Q^T AQ = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)}Q−1AQ=QTAQ=diag(λ1,λ2,⋯,λn)

其中 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_nλ1,λ2,⋯,λn 为 AAA 的全部特征值。

三、正交对角化的步骤

求出 AAA 的所有特征值 λ1,λ2,⋯ ,λs\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_sλ1,λ2,⋯,λs（互异）
对每个 λi\lambda_iλi，解 (λiE−A)x=0(\lambda_i E - A)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}(λiE−A)x=0，得到基础解系
若 λi\lambda_iλi 是单特征值，将对应的特征向量单位化
若 λi\lambda_iλi 是 kik_iki 重特征值，对得到的 kik_iki 个线性无关的特征向量先施密特正交化，再单位化
将所有规范正交特征向量排成 Q=(q1,q2,⋯ ,qn)Q = (\boldsymbol{q}_1, \boldsymbol{q}_2, \cdots, \boldsymbol{q}_n)Q=(q1,q2,⋯,qn)，则 QQQ 为正交矩阵

§5 二次型及其标准形

一、二次型的定义

定义10 含 nnn 个变量 x1,x2,⋯ ,xnx_1, x_2, \cdots, x_nx1,x2,⋯,xn 的二次齐次多项式

f(x1,x2,⋯ ,xn)=∑i=1n∑j=1naijxixj(aij=aji)\boxed{f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j \quad (a_{ij} = a_{ji})}f(x1,x2,⋯,xn)=i=1∑nj=1∑naijxixj(aij=aji)

称为 nnn 元二次型 ，简称二次型。

约定取 aij=ajia_{ij} = a_{ji}aij=aji（即取对称形式），此时二次型可唯一表示为 f=xTAxf = \boldsymbol{x}^T A \boldsymbol{x}f=xTAx，其中 AT=AA^T = AAT=A 为实对称矩阵。

二、二次型的矩阵表示

f(x1,x2,⋯ ,xn)=xTAxf(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \boldsymbol{x}^T A \boldsymbol{x}f(x1,x2,⋯,xn)=xTAx

其中

x=(x1x2⋮xn),A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann),aij=aji\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}, \quad a_{ij} = a_{ji}x= x1x2⋮xn ,A= a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann ,aij=aji

矩阵 AAA 称为二次型 fff 的矩阵 ，AAA 的秩称为二次型 fff 的秩。

三、线性替换与合同变换

定义11 关系式

x=Cy即{x1=c11y1+c12y2+⋯+c1nynx2=c21y1+c22y2+⋯+c2nyn⋯⋯⋯xn=cn1y1+cn2y2+⋯+cnnyn\boldsymbol{x} = C\boldsymbol{y} \quad \text{即} \quad \begin{cases} x_1 = c_{11}y_1 + c_{12}y_2 + \cdots + c_{1n}y_n \\ x_2 = c_{21}y_1 + c_{22}y_2 + \cdots + c_{2n}y_n \\ \cdots \cdots \cdots \\ x_n = c_{n1}y_1 + c_{n2}y_2 + \cdots + c_{nn}y_n \end{cases}x=Cy即⎩ ⎨ ⎧x1=c11y1+c12y2+⋯+c1nynx2=c21y1+c22y2+⋯+c2nyn⋯⋯⋯xn=cn1y1+cn2y2+⋯+cnnyn

称为从 x1,x2,⋯ ,xnx_1, x_2, \cdots, x_nx1,x2,⋯,xn 到 y1,y2,⋯ ,yny_1, y_2, \cdots, y_ny1,y2,⋯,yn 的线性替换 。当 CCC 可逆时称为可逆线性替换（非退化线性替换）。

将 x=Cy\boldsymbol{x} = C\boldsymbol{y}x=Cy 代入 f=xTAxf = \boldsymbol{x}^T A \boldsymbol{x}f=xTAx：

f=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y=yTByf = (C\boldsymbol{y})^T A (C\boldsymbol{y}) = \boldsymbol{y}^T (C^T AC) \boldsymbol{y} = \boldsymbol{y}^T B \boldsymbol{y}f=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y=yTBy

其中 B=CTACB = C^T ACB=CTAC。

定义12 设 A,BA, BA,B 为 nnn 阶方阵，若存在可逆矩阵 CCC，使得

B=CTAC\boxed{B = C^T AC}B=CTAC

则称 AAA 与 BBB 合同。

合同的性质：

反身性、对称性、传递性
合同矩阵的秩相同

四、化二次型为标准形

定理任何二次型 f=xTAxf = \boldsymbol{x}^T A \boldsymbol{x}f=xTAx 都可以通过可逆线性替换 x=Cy\boldsymbol{x} = C\boldsymbol{y}x=Cy 化为标准形：

f=d1y12+d2y22+⋯+dryr2f = d_1 y_1^2 + d_2 y_2^2 + \cdots + d_r y_r^2f=d1y12+d2y22+⋯+dryr2

其中 r=rank(A)r = \text{rank}(A)r=rank(A) 为二次型的秩。即存在可逆矩阵 CCC 使得

CTAC=diag(d1,d2,⋯ ,dr,0,⋯ ,0)C^T AC = \text{diag}(d_1, d_2, \cdots, d_r, 0, \cdots, 0)CTAC=diag(d1,d2,⋯,dr,0,⋯,0)

五、用正交替换化二次型为标准形

由于 AAA 是实对称矩阵，存在正交矩阵 QQQ，使得

Q−1AQ=QTAQ=diag(λ1,λ2,⋯ ,λn)Q^{-1}AQ = Q^T AQ = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)Q−1AQ=QTAQ=diag(λ1,λ2,⋯,λn)

作正交替换 x=Qy\boldsymbol{x} = Q\boldsymbol{y}x=Qy，则

f=xTAx=yT(QTAQ)y=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2f = \boldsymbol{x}^T A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{y}^T (Q^T AQ) \boldsymbol{y} = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2f=xTAx=yT(QTAQ)y=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2

步骤：

写出二次型的矩阵 AAA
求 AAA 的特征值 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_nλ1,λ2,⋯,λn
求对应的特征向量，并用施密特正交化方法和单位化得到规范正交特征向量
构造正交矩阵 QQQ
作正交替换 x=Qy\boldsymbol{x} = Q\boldsymbol{y}x=Qy，得标准形 f=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2f=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2

§6 用配方法化二次型成标准形

一、方法说明

配方法不需要求特征值，通过完全平方的逐次配方来化简。

二、基本情形

情形1 ：若二次型中含有某变量的平方项（如 x12x_1^2x12），则先集中所有含 x1x_1x1 的项进行配方。

情形2 ：若二次型中不含任何平方项（如只有交叉项 x1x2x_1 x_2x1x2），先作变量替换 x1=y1+y2x_1 = y_1 + y_2x1=y1+y2，x2=y1−y2x_2 = y_1 - y_2x2=y1−y2，x3=y3x_3 = y_3x3=y3, ... 使得出现平方项，再配方。

线性代数学习教程，从入门到精通，相似矩阵及二次型 — 知识点详解(9）