LeetCode 69：x 的平方根（二分查找） —— 题解

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🎯 欢迎来到「x 的平方根」题解之旅！ 本文将带你从"估算一个数的整数平方根"这一直观场景出发，深入理解二分查找 + 边界修正 的巧妙运用，并掌握如何折半比较平方与目标 来返回向下取整的平方根。

在开始之前，建议你先：

• 了解题目背景 ：这是 LeetCode 69 题，给定非负整数 x，返回其平方根的整数部分 （向下取整），不允许 直接调用库函数。本质上，答案是最大的 k 满足 k² ≤ x ，问题转化为在 0, x 上二分定位整数根。

• 明确学习目标 ：掌握二分查找边界模板 ，理解溢出防护 （long long 或除法比较），并熟练处理完全平方数与 x = 0/1 等边界情况。

• 准备好环境 ：建议在本地 IDE 或 LeetCode 在线编辑器中打开代码，边看边运行，亲手验证示例（如 x = 8 输出 2，x = 4 输出 2）。

本文将从问题转化、二分收敛、边界修正、返回结果 到代码实现，层层递进。即使你对二分边界 还不熟悉，我们也会从"不断折半逼近，最后微调一下"这一直觉出发，让你轻松抓住核心思想 ------二分逼近根，收敛后微调。现在，让我们一起折半搜索，算出 x 的整数平方根吧！ 🎯🔢

一.题目

69. x 的平方根 - 力扣（LeetCode）

二.做题思路

一、问题分析（前置分析）

• 题目要求：返回 x 的平方根的整数部分 （floor(√x)），禁止使用库函数。
• 关键约束：x 为非负整数 （最大 2³¹ - 1）；结果向下取整 ；x = 0、1 时结果即自身。
• 核心思路：平方函数在 [0, x] 上单调递增 ，满足二分前提；答案 = 最大的 k 使 k² ≤ x。

二、算法策略（二分查找 + 收敛后修正）

核心步骤：

1. 初始化区间 ：left = 0、right = x。
2. 二分收敛 ：while (left < right)，mid 下取整 （left + (right - left) / 2）；计算 sum = mid * mid（long long 防溢出 ）；若 sum < x 则 left = mid + 1，否则 right = mid。
3. 收敛点语义 ：循环结束后 left 是第一个满足 k² ≥ x 的数 （即 ceil(√x)）。
4. 三分支修正：
   • (left+1)² ≤ x → 返回 left + 1（防御性分支，正常不会触发）；
   • left² > x → 返回 left - 1（非完全平方：上取整减一得下取整）；
   • 否则返回 left（完全平方：left² == x）。

示例执行过程：

x	阶段	left	right	mid	mid² 比较	收敛点	修正	结果
8	①	0	8	4	16 > 8	right=4
8	②	0	4	2	4 < 8	left=3
8	③	3	4	3	9 > 8	right=3	3²=9 > 8 → 返回 2	2
4	①	0	4	2	4 == 4	right=2
4	②	0	2	1	1 < 4	left=2	2²=4 不>4 → 返回 2	2

x=8 返回 2、x=4 返回 2，均与题目一致。

三、正确性说明（简单版本）

• 单调性保证二分有效 ：k² 随 k 单调递增，sum < x 时答案必在 [mid+1, right]，sum ≥ x 时在 [left, mid]，区间单调收敛 ，不会漏解。
• 收敛点确定 ：循环不变量保证退出时 left == right 且为第一个平方 ≥ x 的数，即 ceil(√x)，语义明确。
• 修正分支正确 ：ceil(√x) 与 floor(√x) 的关系------完全平方时相等（分支3）；非完全平方时相差 1（分支2 减一）；分支1 为永不触发的防御代码，不影响正确性。
• 终止性 ：left = mid + 1 与 right = mid 均严格缩小区间（下取整保证 mid < right），不会死循环。

四、实现细节（边界防护）

• 初始化：left = 0、right = x（long ，避免 right = x 与 int 混算）。
• 溢出防护：mid * mid 必须存到 long long （mid 最大约 46341 时平方已超 int 范围）；更稳妥可改用 mid <= x / mid 比较。
• 边界：x = 0 时 right = 0，循环不进入，left = 0，返回 0；x = 1 时收敛到 1，返回 1。
• 复杂度：时间 O(log x) （二分折半），空间 O(1)（仅常数个变量）。
• 关键判断 ：if (sum < x) left = mid + 1; else right = mid;（左边界收敛）、(left+1)*(left+1) <= x / left*left > x（修正分支）。

五、返回值（目标映射）

• 返回 left 或修正后的值：floor(√x)，对应题目"平方根的整数部分"。

三.代码

class Solution
{
public:
    int mySqrt(int x)
    {
        long left = 0;          // 搜索区间左端点（long 防止边界混算溢出）
        long right = x;         // 搜索区间右端点：平方根必在 [0, x] 内

        // 1. 二分收敛：找"第一个满足 k*k >= x"的数（即 ceil(sqrt(x))）
        while (left < right)
        {
            long mid = left + (right - left) / 2;   // mid 下取整，配合 right = mid
            long long sum = (long long)mid * mid;   // 必须 64 位：mid 最大约 46341，平方超 int
            if (sum < x)
            {
                left = mid + 1;     // 平方太小，答案在右半
            }
            else
            {
                right = mid;        // 平方 >= x，保留 mid 向左收敛
            }
        }
        // 此时 left == right，为 ceil(sqrt(x))

        // 2. 收敛点修正为 floor(sqrt(x))
        if ((left + 1) * (left + 1) <= x)
        {
            return (int)(left + 1);     // 防御性分支：正常不会触发
        }
        else if (left * left > x)
        {
            return (int)(left - 1);     // 非完全平方：上取整减一得下取整
        }
        return (int)left;               // 完全平方：left*left == x
    }
};

四、易错点分析

难点1：本代码选的是"左边界模板"，收敛点是 ceil 而非 floor

if (sum < x)
    left = mid + 1;
else
    right = mid;

这段收敛到的是第一个平方 ≥ x 的数 （ceil(√x)），而题目要的是最大的平方 ≤ x 的数 （floor(√x)）。因此代码必须事后修正 ，这是本解法"绕"的根源。若直接改用右边界模板（mid <= x / mid 时 left = mid，否则 right = mid - 1），收敛点直接就是答案，无需任何修正------两种思路都能 AC，但后一种更简洁。

难点2：事后修正的三个分支，第一个其实是"死代码"

if ((left + 1) * (left + 1) <= x)
    return left + 1;
else if (left * left > x)
    return left - 1;
return left;

left 是 ceil(√x)，则 left + 1 的平方必然大于 x ，所以分支1 永远不会触发 ，属于冗余防御代码。真正生效的是：分支2（非完全平方，ceil 减一得 floor）和分支3（完全平方，ceil == floor）。理解这一点才能看懂这段"奇怪"的修正逻辑。

难点3：循环条件 left < right 与 mid 下取整的匹配

while (left < right)
{
    long mid = left + (right - left) / 2;
    ...
    right = mid;
}

right = mid 向左收缩要求 mid 下取整 （否则相邻区间时 mid 取 right，right = mid 不缩小，死循环 ）。这里下取整配合正确；但若照抄 34 题右边界模板的上取整 写进本代码，会立刻死循环------模板必须成套使用。

五、流程图

🎯 闭幕

🎉 恭喜你完成了「x 的平方根」问题的学习！

为了巩固知识并进一步拓展，建议你：

🚀 动手实践

在 LeetCode 上提交代码，尝试不同的测试用例。

💡 深入思考

• 本题使用二分查找 找上取整平方根 （即第一个 mid*mid >= x），最后再修正为下取整。为什么不直接找下取整平方根（mid*mid <= x 的最大 mid）？ 直接找下取整在边界处理上会遇到什么问题？

• 二分收敛条件为 left < right，mid 下取整，当 sum >= x 时 right = mid。这种写法是否会出现死循环？ 请结合区间长度变化分析。

• 代码最后的修正逻辑包含三个分支：(left+1)^2 <= x、left^2 > x、left^2 == x。为什么需要这些额外的修正？ 如果二分直接找下取整，是否可以省略这些分支？

• 如果 x = 0 或 x = 1，代码的二分循环和修正逻辑是否能正确处理？请分别验证。

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📌 深入思考答案

• 不直接找下取整 是因为二分的收敛方向若为 left = mid（保留 mid），需配合 上取整 防止死循环，而找下取整时 mid*mid <= x 分支执行 left = mid，若 mid 下取整会导致相邻区间死循环（如 left=0, right=1 时 mid=0，left 无法前进）。找上取整再修正可以统一使用下取整的 mid 计算方式，更简洁。

• 不会死循环 ：因为 mid = left + (right-left)/2 下取整，当 sum >= x 时 right = mid，区间长度每次至少减半（当 length > 1 时，mid < right，right 向左移动），最终收敛到一点。

• 修正分支的必要性 ：因为二分找的是 上取整 （第一个 mid^2 >= x），而题目要的是下取整（floor(sqrt(x))），因此需要根据收敛点与 x 的关系进行调整：若 left^2 == x 则正好；若 left^2 > x 则减 1 得下取整；(left+1)^2 <= x 分支是防御性代码，正常不会触发。若直接找下取整，可改用 right = mid - 1 配合 left = mid（需上取整）实现，则无需修正。

• x=0 时：left=0, right=0，不进入循环，left^2 == x 触发，返回 0，正确。x=1 时：left=0, right=1，mid=0，sum=0 < 1，left=1，循环结束，left^2 == x 触发，返回 1，正确。

祝你在 算法之路 上越走越稳，早日攻克每一道难题！下次见 🚀✨