pjn=ϵ−1/2∫jϵ(j+1)ϵe−2πinωϵ−1e−iωupω dω(2.22) p_{jn} = \epsilon^{-1/2}\int_{j\epsilon}^{(j+1)\epsilon}e^{-2\pi in\omega\epsilon^{-1}}e^{-i\omega u}p_\omega\,d\omega \tag{2.22} pjn=ϵ−1/2∫jϵ(j+1)ϵe−2πinωϵ−1e−iωupωdω(2.22)
其中 jjj 和 nnn 是整数，j>0j>0j>0，ϵ>0\epsilon>0ϵ>0。对小的 ϵ\epsilonϵ，这些波包具有频率 jϵj\epsilonjϵ，并在延迟时间 u=2πnϵ−1u=2\pi n\epsilon^{-1}u=2πnϵ−1 附近以宽度 ϵ−1\epsilon^{-1}ϵ−1 达到峰值。可以把 {pjn}\{p_{jn}\}{pjn} 用 {fω′}\{f_{\omega'}\}{fω′} 展开：
pjn=∫0∞(αjnω′fω′+βjnω′fˉω′) dω′(2.23) p_{jn} = \int_0^\infty (\alpha_{jn\omega'}f_{\omega'} + \beta_{jn\omega'}\bar{f}_{\omega'})\,d\omega' \tag{2.23} pjn=∫0∞(αjnω′fω′+βjnω′fˉω′)dω′(2.23)
其中
αjnω′=ϵ−1/2∫jϵ(j+1)ϵe−2πinωϵ−1e−iωuαωω′ dω等等。(2.24) \alpha_{jn\omega'} = \epsilon^{-1/2}\int_{j\epsilon}^{(j+1)\epsilon}e^{-2\pi in\omega\epsilon^{-1}}e^{-i\omega u}\alpha_{\omega\omega'}\,d\omega \quad \text{等等。} \tag{2.24} αjnω′=ϵ−1/2∫jϵ(j+1)ϵe−2πinωϵ−1e−iωuαωω′dω等等。(2.24)
对 j≫ϵj \gg \epsilonj≫ϵ、n≫ϵn \gg \epsilonn≫ϵ，
αjnω′≃π−1Pω ω−1/2 Γ(1−iωκ−1) κ−1(ω′)−1/2z−1sin12ϵz(2.25) \alpha_{jn\omega'} \simeq \pi^{-1}P_\omega\,\omega^{-1/2}\,\Gamma(1-i\omega\kappa^{-1})\,\kappa^{-1}(\omega')^{-1/2}z^{-1}\sin\tfrac{1}{2}\epsilon z \tag{2.25} αjnω′≃π−1Pωω−1/2Γ(1−iωκ−1)κ−1(ω′)−1/2z−1sin21ϵz(2.25)
其中 ω=jϵ\omega = j\epsilonω=jϵ，z=ϵ−1logω′−2πnϵ−1z = \epsilon^{-1}\log\omega' - 2\pi n\epsilon^{-1}z=ϵ−1logω′−2πnϵ−1。对于在很晚的延迟时刻到达 I+\mathscr{I}^+I+ 的波包，即 nnn 值很大的波包，αjnω′\alpha_{jn\omega'}αjnω′ 和 βjnω′\beta_{jn\omega'}βjnω′ 的主要贡献来自量级为 exp(2πnωκ−1ϵ−1)\exp(2\pi n\omega\kappa^{-1}\epsilon^{-1})exp(2πnωκ−1ϵ−1) 的极高频率 ω′\omega'ω′。这意味着这些系数只由高 ω′\omega'ω′ 的渐近形式 (2.19, 2.20) 支配，而它们与坍缩的细节无关。
在波包模 pjnp_{jn}pjn 中产生并发射到无穷远 I+\mathscr{I}^+I+ 的粒子数的期望值为
∫0∞∣βjnω′∣2 dω′(2.26) \int_0^\infty |\beta_{jn\omega'}|^2\,d\omega' \tag{2.26} ∫0∞∣βjnω′∣2dω′(2.26)
可以如下计算它。考虑从 I+\mathscr{I}^+I+ 向后传播的波包 pjnp_{jn}pjn。波包的 1−Fjn1-F_{jn}1−Fjn 部分将被静态史瓦西场散射，FjnF_{jn}Fjn 部分将进入坍缩天体：
∫0∞(∣αjnω′(2)∣2−∣βjnω′(2)∣2) dω′=Fjn(2.27) \int_0^\infty (|\alpha_{jn\omega'}^{(2)}|^2 - |\beta_{jn\omega'}^{(2)}|^2)\,d\omega' = F_{jn} \tag{2.27} ∫0∞(∣αjnω′(2)∣2−∣βjnω′(2)∣2)dω′=Fjn(2.27)
其中 αjnω′(2)\alpha_{jn\omega'}^{(2)}αjnω′(2) 和 βjnω′(2)\beta_{jn\omega'}^{(2)}βjnω′(2) 是使用 (2.19, 2.20) 从进入恒星的波包部分 pjn(2)p_{jn}^{(2)}pjn(2) 计算出来的。(2.27) 右端第二项前的负号出现，是因为 pjn(2)p_{jn}^{(2)}pjn(2) 的负频分量对进入坍缩天体的通量作出负贡献。由 (2.21) 有
∣αjnω′(2)∣=exp(πωκ−1)∣βjnω′(2)∣(2.28) |\alpha_{jn\omega'}^{(2)}| = \exp(\pi\omega\kappa^{-1})|\beta_{jn\omega'}^{(2)}| \tag{2.28} ∣αjnω′(2)∣=exp(πωκ−1)∣βjnω′(2)∣(2.28)
因而在模 pjnp_{jn}pjn 中产生的粒子总数为
Fjn(exp(2πωκ−1)−1)−1(2.29) F_{jn}(\exp(2\pi\omega\kappa^{-1})-1)^{-1} \tag{2.29} Fjn(exp(2πωκ−1)−1)−1(2.29)
但对于很晚延迟时刻的波包，进入坍缩天体的部分 FjnF_{jn}Fjn 几乎与"假若坍缩天体不存在、而外部史瓦西解被解析延拓，波包本会穿过过去事件视界"的部分相同。因而这个因子 FjnF_{jn}Fjn 也与来自 I−\mathscr{I}^-I− 的类似波包本会穿过未来事件视界并被黑洞吸收的部分相同。因此发射与吸收截面之间的关系，恰好就是几何单位制下温度为 κ/2π\kappa/2\piκ/2π 的物体的关系。
对电磁场和线性化引力场，得到类似的结果。由来自 I+\mathscr{I}^+I+ 的正频波在 I−\mathscr{I}^-I− 上产生的场具有与 (2.18) 相同的渐近形式，只是在振幅中多了一个蓝移因子。这个额外因子在标量积的定义中消去，因此系数 α\alphaα 和 β\betaβ 的渐近形式与方程 (2.19) 和 (2.20) 相同。因而人们预期黑洞也会热辐射光子和引力子。对中微子这样的无质量费米子，再次得到类似的结果，只是现在由系数 β\betaβ 给出的负频分量对进入坍缩天体的概率通量作出正贡献。这意味着 (2.27) 中的 ∣β∣2|\beta|^2∣β∣2 项现在符号相反。由此推出，任何外向波包模中被发射的粒子数为 (exp(2πωκ−1)+1)−1(\exp(2\pi\omega\kappa^{-1})+1)^{-1}(exp(2πωκ−1)+1)−1 乘以该波包假若从 I−\mathscr{I}^-I− 入射本会被黑洞吸收的部分。这又恰好是人们对服从费米--狄拉克统计的粒子热发射所预期的结果。
静止质量不为零的场不能到达 I−\mathscr{I}^-I− 和 I+\mathscr{I}^+I+。因此必须用某种概念（如厄德利和萨克斯（Eardley and Sachs）23 以及施密特（Schmidt）24 的投影无穷远）来描述这些场的入射和出射态。然而，如果初始和最终态是渐近史瓦西或克尔解，就可以用分离变量的简单方式来描述入射和出射态，并且可以相对于这些初始和最终渐近时空的时间平移基灵矢量定义正频。在渐近未来不会存在束缚态：任何粒子要么穿过事件视界落下，要么逃逸到无穷远。因此非束缚出射态和事件视界态合起来构成事件视界外区域波动方程解的一族完备基。在渐近过去，如果坍缩天体曾在无限长时间内具有有界半径，就可能存在束缚态。但人们同样可以假设天体是从无穷大半径坍缩而来的，那样就不会有束缚态。过去可能存在的束缚态并不影响渐近未来的粒子发射速率，后者仍将是温度 κ/2π\kappa/2\piκ/2π 的天体的发射速率。与零静止质量情形唯一的区别是，热因子 (exp(2πωκ−1)∓1)−1(\exp(2\pi\omega\kappa^{-1})\mp 1)^{-1}(exp(2πωκ−1)∓1)−1 中的频率 ω\omegaω 现在包含粒子的静止质量能量。因此，除非温度 κ/2π\kappa/2\piκ/2π 大于 mmm，否则静止质量为 mmm 的粒子不会有太多发射。
可以证明，这些热发射的结果不依赖于球对称性。考虑一个不对称坍缩，它产生一个稳定到无转动、无电荷史瓦西解的黑洞（角动量和电荷将在下一节考虑）。终态是渐近准稳态这一事实意味着，在 I+\mathscr{I}^+I+ 上存在一个优先的邦迪（Bondi）坐标系 25，可以相对于它把出射态的柯西数据分解为正频和球谐函数。在 I−\mathscr{I}^-I− 上，可能存在也可能不存在优先坐标系；若不存在，可以任意选取一个邦迪坐标系并以类似方式分解入射态的柯西数据。现在考虑一个 I+\mathscr{I}^+I+ 态 pωlmp_{\omega lm}pωlm 向后穿过这个时空传播到坍缩天体，再出来到 I−\mathscr{I}^-I−。取事件视界的一条零测地生成元 γ\gammaγ，把它向后延拓过其过去端点，与 I−\mathscr{I}^-I− 的零测地生成元 λ\lambdaλ 在点 yyy 处相交。在 yyy 处选一对零矢量 (la,nˉa)(l^a, \bar{n}^a)(la,nˉa)，其中 lal^ala 切于 γ\gammaγ，nˉa\bar{n}^anˉa 切于 λ\lambdaλ。把 la,nˉal^a, \bar{n}^ala,nˉa 沿 γ\gammaγ 平行移到时空度规几乎为最终史瓦西解的区域中的一点 xxx。在 xxx 处，nˉa\bar{n}^anˉa 将是 lal^ala 与径向向内零矢量 nan^ana 的某个线性组合。这意味着矢量 −εna-\varepsilon n^a−εna 会把 xxx 与解 pωlmp_{\omega lm}pωlm 的相位为 −ωκ−1(logε−logE)-\omega\kappa^{-1}(\log\varepsilon - \log E)−ωκ−1(logε−logE) 的一个曲面连接起来，其中 EEE 是某个常数。如前所述，由几何光学近似，yyy 处的矢量 −εnˉa-\varepsilon \bar{n}^a−εnˉa 会把 yyy 与解 pωlm(2)p_{\omega lm}^{(2)}pωlm(2) 的相位为 −ωκ−1(logε−logE)-\omega\kappa^{-1}(\log\varepsilon - \log E)−ωκ−1(logε−logE) 的曲面连接起来，其中 pωlm(2)p_{\omega lm}^{(2)}pωlm(2) 是进入坍缩天体的 pωlmp_{\omega lm}pωlm 部分。因此在 I−\mathscr{I}^-I− 的零测地生成元 λ\lambdaλ 上，pωlm(2)p_{\omega lm}^{(2)}pωlm(2) 的相位为
−iωκ−1(log(v0−v)−logH)(2.30) -i\omega\kappa^{-1}(\log(v_0-v) - \log H) \tag{2.30} −iωκ−1(log(v0−v)−logH)(2.30)
其中 vvv 是 λ\lambdaλ 上的一个仿射参数，在 yyy 处的值为 v0v_0v0，HHH 是常数。由几何光学近似，pωlm(2)p_{\omega lm}^{(2)}pωlm(2) 在 λ\lambdaλ 上的值在 v0−vv_0-vv0−v 小且为正时为
pωlm(2)≃L(v0−v)−iωκ−1(2.31) p_{\omega lm}^{(2)} \simeq L(v_0-v)^{-i\omega\kappa^{-1}} \tag{2.31} pωlm(2)≃L(v0−v)−iωκ−1(2.31)
对 v>v0v > v_0v>v0 则为零，其中 LLL 是常数。在 I−\mathscr{I}^-I− 的每条零测地生成元上，pωlm(2)p_{\omega lm}^{(2)}pωlm(2) 都具有 (2.31) 的形式，只是 LLL、v0v_0v0 和 HHH 的取值不同。坍缩期间球对称性的缺乏会使 I−\mathscr{I}^-I− 上的 pωlm(2)p_{\omega lm}^{(2)}pωlm(2) 含有指标 (l′,m′)(l', m')(l′,m′) 不同于 (l,m)(l, m)(l,m) 的球谐分量。这意味着现在必须把 pωlm(2)p_{\omega lm}^{(2)}pωlm(2) 表示为
pωlm(2)=∑l′m′∫0∞(αωlm ω′l′m′(2)fω′l′m′+βωlm ω′l′m′(2)fˉω′l′m′) dω′(2.32) p_{\omega lm}^{(2)} = \sum_{l'm'}\int_0^\infty (\alpha_{\omega lm\,\omega'l'm'}^{(2)}f_{\omega'l'm'} + \beta_{\omega lm\,\omega'l'm'}^{(2)}\bar{f}_{\omega'l'm'})\,d\omega' \tag{2.32} pωlm(2)=l′m′∑∫0∞(αωlmω′l′m′(2)fω′l′m′+βωlmω′l′m′(2)fˉω′l′m′)dω′(2.32)
由于 (2.31)，系数 α(2)\alpha^{(2)}α(2) 和 β(2)\beta^{(2)}β(2) 将具有与 (2.19) 和 (2.20) 相同的 ω′\omega'ω′ 依赖关系。因此仍然有与 (2.21) 相同的关系：
∣αωlm ω′l′m′∣=exp(πωκ−1)∣βωlm ω′l′m′(2)∣(2.33) |\alpha_{\omega lm\,\omega'l'm'}| = \exp(\pi\omega\kappa^{-1})|\beta_{\omega lm\,\omega'l'm'}^{(2)}| \tag{2.33} ∣αωlmω′l′m′∣=exp(πωκ−1)∣βωlmω′l′m′(2)∣(2.33)
和之前一样，对每个 (l,m)(l, m)(l,m)，可以构成波包 pjnlmp_{jnlm}pjnlm。在这种波包模中被发射的粒子数为
∑l′m′∫0∞∣βjn ω′l′m′∣2 dω′(2.34) \sum_{l'm'}\int_0^\infty |\beta_{jn\,\omega'l'm'}|^2\,d\omega' \tag{2.34} l′m′∑∫0∞∣βjnω′l′m′∣2dω′(2.34)
类似地，进入坍缩天体的波包部分 FjnlmF_{jnlm}Fjnlm 为
Fjnlm=∑l′m′∫0∞(∣αjn ω′l′m′(2)∣2−∣βjn ω′l′m′(2)∣2) dω′(2.35) F_{jnlm} = \sum_{l'm'}\int_0^\infty (|\alpha_{jn\,\omega'l'm'}^{(2)}|^2 - |\beta_{jn\,\omega'l'm'}^{(2)}|^2)\,d\omega' \tag{2.35} Fjnlm=l′m′∑∫0∞(∣αjnω′l′m′(2)∣2−∣βjnω′l′m′(2)∣2)dω′(2.35)
同样，FjnlmF_{jnlm}Fjnlm 等于来自 I−\mathscr{I}^-I− 的类似波包本会被黑洞吸收的部分。因此，利用 (2.33)，可以发现发射恰好就是温度 κ/2π\kappa/2\piκ/2π 的天体的发射：在很晚的延迟时刻的发射只依赖于黑洞的最终准稳态，而不依赖于引力坍缩的细节。
3. 角动量与电荷
如果坍缩天体在转动或带电，所产生的黑洞将稳定到一个不由史瓦西解描述、而由带电荷的克尔（Kerr）解描述的稳态，该解由质量 MMM、角动量 JJJ 和电荷 QQQ 表征。由于这些解是稳态且轴对称的，可以把其中的波动方程解分离为一个因子 eiωue^{i\omega u}eiωu 或 eiωve^{i\omega v}eiωv 乘以 e−imφe^{-im\varphi}e−imφ 再乘以 rrr 和 θ\thetaθ 的函数。对标量波动方程的情形，可以把最后一个表达式分离为 rrr 的函数乘以 θ\thetaθ 的函数 26。在无转动带电情形中也可以完全分离任何波动方程；特科尔斯基（Teukolsky）27 已获得无电荷转动情形中中微子、电磁和线性化引力场的完全可分离波动方程。
考虑一个频率为 ω\omegaω、轴量子数为 mmm、电荷为 eee 的经典场波包从无穷远入射到克尔黑洞上。由波包的部分吸收引起的黑洞质量变化 dMdMdM，将通过黑洞经典第一定律与面积、角动量和电荷的变化相关：
dM=κ8π dA+Ω dJ+Φ dQ(3.1) dM = \tfrac{\kappa}{8\pi}\,dA + \Omega\,dJ + \Phi\,dQ \tag{3.1} dM=8πκdA+ΩdJ+ΦdQ(3.1)
其中 Ω\OmegaΩ 和 Φ\PhiΦ 分别是黑洞的角频率和静电势 13。波包中能量、角动量和电荷的通量之比为 ω:m:e\omega : m : eω:m:e。因而黑洞质量、角动量和电荷的变化也处于这一比值。因此
dM(1−Ωmω−1−eΦω−1)=κ8π dA(3.2) dM(1-\Omega m\omega^{-1}-e\Phi\omega^{-1}) = \tfrac{\kappa}{8\pi}\,dA \tag{3.2} dM(1−Ωmω−1−eΦω−1)=8πκdA(3.2)
经典玻色子场的波包服从弱能量条件：任何观察者的局域能量密度非负。由此推出 7, 12，波包引起的面积变化 dAdAdA 非负。因而如果
ω<mΩ+eΦ(3.3) \omega < m\Omega + e\Phi \tag{3.3} ω<mΩ+eΦ(3.3)
黑洞的质量变化 dMdMdM 必为负。换言之，黑洞将向波包损失能量，波包因此以相同频率但增大的振幅被散射。这就是称为"超辐射"的现象。
对半整数自旋的经典场，详细计算 28 表明不存在超辐射。其原因在于，半整数自旋场的标量积是正定的，与整数自旋场不同。这意味着穿过事件视界的概率通量为正，因此由概率守恒，被散射波包中的概率通量必小于入射波包中的概率通量。上述基于第一定律的论证失效的原因在于，经典半整数自旋场的能量--动量张量不服从弱能量条件。在量子的、粒子的层面上，可以把费米子场没有超辐射理解为泡利不相容原理不允许每个出射波包模中有多于一个粒子，因而不允许被散射的波包比入射波包更强。
现在转向量子理论，首先考虑无电荷、转动的黑洞。和之前一样，可以在 I−\mathscr{I}^-I− 上选取任意邦迪坐标系，把算符 ϕ\phiϕ 用一族入射解 {fωlm}\{f_{\omega lm}\}{fωlm} 展开，其中指标 ω,l,m\omega, l, mω,l,m 指给定坐标系中 fff 在 I−\mathscr{I}^-I− 上的超前时间和角度依赖。在 I+\mathscr{I}^+I+ 上，黑洞的最终准稳态定义了一个优先邦迪坐标系，可以用它定义一族出射解 {pωlm}\{p_{\omega lm}\}{pωlm}。此情形中的指标 lll 标记波方程在其中可分离的椭球谐函数。像之前一样继续计算 pωlm(2)p_{\omega lm}^{(2)}pωlm(2) 在 I−\mathscr{I}^-I− 上的渐近形式。唯一的区别是，由于视界相对于 I+\mathscr{I}^+I+ 以角速度 Ω\OmegaΩ 转动，事件视界一个生成元附近的有效频率不是 ω\omegaω 而是 ω−mΩ\omega - m\Omegaω−mΩ。这意味着在波包模 pjnlmp_{jnlm}pjnlm 中被发射的粒子数为
{exp(2πκ−1(ω−mΩ))∓1}−1Fjnlm(3.4) \{\exp(2\pi\kappa^{-1}(\omega-m\Omega)) \mp 1\}^{-1}F_{jnlm} \tag{3.4} {exp(2πκ−1(ω−mΩ))∓1}−1Fjnlm(3.4)
其效应是使具有正角动量 mmm 的粒子发射速率高于具有相同频率 ω\omegaω 和量子数 lll 但负角动量 −m-m−m 的粒子。因而粒子发射倾向于带走角动量。对玻色子场，(3.4) 中大括号内的因子在 ω<mΩ\omega < m\Omegaω<mΩ 时为负。但此情形中波包本会被黑洞吸收的部分 FjnlmF_{jnlm}Fjnlm 也为负，因为 ω<mΩ\omega < m\Omegaω<mΩ 正是超辐射的条件。在温度 κ/2π\kappa/2\piκ/2π 很低的极限下，唯一的粒子发射是在 ω<mΩ\omega < m\Omegaω<mΩ 的模中发射 FjnlmF_{jnlm}Fjnlm 的量。这一粒子产生量等于斯塔罗宾斯基（Starobinski）16 和昂鲁（Unruh）29 所计算的结果，他们只考虑了最终稳态克尔解而忽略了引力坍缩。
可以用相当类似的方式处理带电、无转动的黑洞。电磁场或引力场这类不带电荷的场的行为与之前相同，只是黑洞上的电荷会减小表面引力 κ\kappaκ，从而降低黑洞的温度。现在考虑无质量带电标量场 ϕ\phiϕ 这一简单情形，它服从最小耦合波动方程
gab(∇a−ieAa)(∇b−ieAb)ϕ=0(3.5) g^{ab}(\nabla_a - ieA_a)(\nabla_b - ieA_b)\phi = 0 \tag{3.5} gab(∇a−ieAa)(∇b−ieAb)ϕ=0(3.5)
波动方程 (3.5) 的解 pωp_\omegapω 的相位不是规范不变的，但传播矢量 ka=∇a(logpω)−ieAak_a = \nabla_a(\log p_\omega) - ieA_aka=∇a(logpω)−ieAa 是规范不变的。在几何光学或 WKB 极限下，矢量 kak_aka 是零的，并按
ka;bkb=−eFabkb(3.6) k_{a;b}k^b = -eF_{ab}k^b \tag{3.6} ka;bkb=−eFabkb(3.6)
传播。无穷小矢量 zaz^aza 将连接具有"规范不变"相位差 ikazaik_a z^aikaza 的点。如果 zaz^aza 按
z;bakb=−eF bazb(3.7) z^a_{;b}k^b = -eF^a_{\ b}z^b \tag{3.7} z;bakb=−eF bazb(3.7)
沿 kak^aka 的积分曲线传播，zaz^aza 将连接恒定规范不变相位差的曲面。
在最终稳态区域，可以选择一个规范，使得电磁势 AaA_aAa 是稳态的并在 I+\mathscr{I}^+I+ 上为零。在这个规范中，场方程 (3.5) 可分离，并有具有延迟时间依赖 eiωue^{i\omega u}eiωu 的解 pωp_\omegapω。设 xxx 是最终稳态区域事件视界上的一点，lal^ala 和 nan^ana 是 xxx 处的一对零矢量。和之前一样，矢量 −εna-\varepsilon n^a−εna 将把事件视界与解 pωp_\omegapω 的实际相位为 −ωκ−1(logε−logC)-\omega\kappa^{-1}(\log\varepsilon - \log C)−ωκ−1(logε−logC) 的曲面连接起来。但规范不变相位将是 −κ−1(ω−eΦ)(logε−logC)-\kappa^{-1}(\omega - e\Phi)(\log\varepsilon - \log C)−κ−1(ω−eΦ)(logε−logC)，其中 Φ=KaAa\Phi = K^a A_aΦ=KaAa 是视界上的静电势，KaK^aKa 是时间平移基灵矢量。现在把 lal^ala 像方程 (3.6) 中的 kak^aka 一样向后传播，直到它与 I−\mathscr{I}^-I− 的一条生成元 λ\lambdaλ 在点 yyy 处相交，并把 nan^ana 像方程 (3.7) 中的 zaz^aza 一样沿 lal^ala 的积分曲线传播。采用这一传播律，矢量 −εna-\varepsilon n^a−εna 将连接恒定规范不变相位的曲面。在 I−\mathscr{I}^-I− 附近，可以使用不同的电磁规范，使得 AaA^aAa 在 I−\mathscr{I}^-I− 上为零。在这个规范中，pω(2)p_\omega^{(2)}pω(2) 沿 I−\mathscr{I}^-I− 每条生成元的相位将具有如下形式：
−(ω−eΦ)κ−1{log(v0−v)−logH}(3.8) -(\omega - e\Phi)\kappa^{-1}\{\log(v_0-v) - \log H\} \tag{3.8} −(ω−eΦ)κ−1{log(v0−v)−logH}(3.8)
其中 HHH 沿每条生成元为常数。这一相位依赖给出与之前相同的热发射，只是 ω\omegaω 被 ω−eΦ\omega - e\Phiω−eΦ 取代。关于电荷损失和超辐射也有类似的说明。在黑洞既转动又带电的情形，可以简单地把上述结果合并。
4. 度规的背反应
现在我来讨论粒子产生对度规的背反应以及随之而来的黑洞质量缓慢减小这一困难问题。乍一看，既然图 4 中度规的所有时间依赖都在坍缩阶段，似乎所有粒子产生都必然发生在事件视界形成之前的坍缩天体中，并且无穷多个已产生的粒子将悬停在事件视界外侧，以稳定速率逃逸到 I+\mathscr{I}^+I+。这似乎不合理，因为这将要求坍缩天体恰好知道自己即将穿过事件视界，而事件视界的位置是由黑洞的整个未来历史决定的，可能位于表观视界（唯一可以局域确定的东西 7）外侧的某处。
考虑一个在坍缩之后某时刻穿过视界的观察者。他可以建立一个以他穿过视界的点为中心的、半径约 MMM 的局域惯性坐标片。他可以选取满足条件
∫S(hω1hω2;a−hω2hω1;a) dΣa=δ(ω1−ω2)(4.1) \int_S (h_{\omega_1}h_{\omega_2;a} - h_{\omega_2}h_{\omega_1;a})\,d\Sigma^a = \delta(\omega_1 - \omega_2) \tag{4.1} ∫S(hω1hω2;a−hω2hω1;a)dΣa=δ(ω1−ω2)(4.1)
（其中 SSS 是柯西曲面）且在坐标片内具有近似坐标依赖 eiωxe^{i\omega x}eiωx 的波动方程解的一族完备集 {hω}\{h_\omega\}{hω}。这最后一个条件相当好地决定了 ω>M\omega > Mω>M 的模 hωh_\omegahω 的正负频分解以及相应的湮灭和产生算符，但对 ω<M\omega < Mω<M 的模则不然。由于 {hω}\{h_\omega\}{hω} 与 {pω}\{p_\omega\}{pω} 不同，它们在事件视界上是连续的，因而在 I−\mathscr{I}^-I− 上也连续。正是 {pω}\{p_\omega\}{pω} 在 I−\mathscr{I}^-I− 上 v=v0v=v_0v=v0 处的不连续性，通过在 {pω}\{p_\omega\}{pω} 的傅里叶变换的大负频 ω′\omega'ω′ 处产生一个 (ω′)−1(\omega')^{-1}(ω′)−1 尾，造成每个模中无穷大的总粒子数。另一方面，ω>M\omega > Mω>M 的 {hω}\{h_\omega\}{hω} 在 I−\mathscr{I}^-I− 上的负频分量非常小。这意味着事件视界上的观察者将看到很少 ω>M\omega > Mω>M 的粒子。他无法探测 ω<M\omega < Mω<M 的粒子，因为它们的波长大于他的粒子探测器（探测器必须小于 MMM）。如引言中所述，将存在量级为 M−4M^{-4}M−4 的能量密度不确定性，对应于这些模粒子数的不确定性。
上述讨论表明，粒子产生实际上是一个全局过程，并不局域在坍缩中：穿过事件视界的观察者不会看到从坍缩天体出来的无穷多个粒子。由于这是非局域过程，期望能够构造一个局域能量--动量张量来描述粒子产生对度规的背反应，可能并不合理。相反，解释视界面积减小所需的负能量密度，应当被认为来自视界处量级为 M−4M^{-4}M−4 的局域能量密度不确定性。等价地，可以把面积减小看作源自如下事实：度规的量子涨落会使事件视界的位置乃至概念本身变得有些不确定。
尽管谈论所产生的粒子的局域能量--动量可能没有意义，人们仍然可以定义在一个适当大的曲面上的总能量通量。这个问题与经典广义相对论中定义引力能量相当类似：存在许多不同的能量--动量赝张量，它们都没有任何不变的意义，但在足够大的曲面上积分时全都一致。在粒子情形中，同样存在许多可用于重整化能量--动量张量的不同表达式。经典场 ϕ\phiϕ 的能量--动量张量为
Tab=ϕ;aϕ;b−12gabgcdϕ;cϕ;d(4.2) T_{ab} = \phi_{;a}\phi_{;b} - \tfrac{1}{2}g_{ab}g^{cd}\phi_{;c}\phi_{;d} \tag{4.2} Tab=ϕ;aϕ;b−21gabgcdϕ;cϕ;d(4.2)
如果把这个表达式搬到量子理论中并把 ϕ\phiϕ 视为算符，就会得到发散的结果，因为每个模的产生算符都位于湮灭算符的右侧。因此必须以某种方式把发散减去。为此已提出了各种方法（例如 30），但它们似乎都有些武断。然而，类比赝张量，人们希望不同的重整化都给出相同的积分通量。在最终准稳态区域情况确实如此：所有满足守恒方程 T;bab=0T^{ab}{;b}=0T;bab=0、是稳态的（即对时间平移基灵矢量 KaK^aKa 的李导数为零）且在 I+\mathscr{I}^+I+ 附近一致的、重整化后的能量--动量算符 TabT{ab}Tab，都会在事件视界外任何恒定 rrr 的曲面上给出相同的能量和角动量通量。因此只需计算 I+\mathscr{I}^+I+ 附近的能量通量：由守恒方程，它将等于从事件视界流出的能量通量。在 I+\mathscr{I}^+I+ 附近，对能量--动量算符进行重整化的明显方式是相对于最终准稳态的时间平移基灵矢量 KaK^aKa 定义的正负频对表达式 (4.2) 进行正规排序。在事件视界附近，相对于 KaK^aKa 的正规排序不可能是重整化能量--动量算符的正确方式，因为正规排序后的算符在视界处发散。但它在任何恒定 rrr 的曲面上仍给出相同的能量外流。一个在视界处正则的重整化算符，将不得不通过具有负能量密度来违反弱能量条件。这个负能量密度在局域上是不可观测的。
为了计算正规排序的算符，人们想把描述穿过事件视界的波的 {qi}\{q_i\}{qi} 选为相对于最终准稳态中沿视界生成元、由 KaK^aKa 定义的时间参数的正频。依赖时间的坍缩阶段对 {qi}\{q_i\}{qi} 的条件并未确定，但这不应影响视界上在晚时刻的波包。如果像 {pjn}\{p_{jn}\}{pjn} 那样构成波包 {qjn}\{q_{jn}\}{qjn}，就会发现波包的 FjnF_{jn}Fjn 部分穿透黑洞周围的势垒，以它在视界上所具有的相同频率 ω\omegaω 到达 I−\mathscr{I}^-I−。这会在 γjnω′\gamma_{jn\omega'}γjnω′ 中产生 δ(ω−ω′)\delta(\omega-\omega')δ(ω−ω′) 行为。波包的其余部分 1−Fjn1-F_{jn}1−Fjn 被势垒反射，穿过坍缩天体到达 I−\mathscr{I}^-I−。在这里它将具有与 pjn(2)p_{jn}^{(2)}pjn(2) 类似的形式。因而对大的 ω′\omega'ω′，
∣αjnω′(2)∣=exp(πωκ−1)∣βjnω′(2)∣(4.3) |\alpha_{jn\omega'}^{(2)}| = \exp(\pi\omega\kappa^{-1})|\beta_{jn\omega'}^{(2)}| \tag{4.3} ∣αjnω′(2)∣=exp(πωκ−1)∣βjnω′(2)∣(4.3)
用与第 2 节类似的论证，可以得出结论：在晚时刻达到峰值的波包模中穿过事件视界的粒子数为
(1−Fjn){exp(2πωκ−1)−1}−1(4.4) (1-F_{jn})\{\exp(2\pi\omega\kappa^{-1})-1\}^{-1} \tag{4.4} (1−Fjn){exp(2πωκ−1)−1}−1(4.4)
对给定频率 ω\omegaω（即给定 jjj 值），吸收部分 FjnF_{jn}Fjn 随角量子数 lll 增大而趋于零，因为有离心势垒。因而乍一看，似乎每个高 lll 值的波包模都会含有
{exp(2πωκ−1)−1}−1 \{\exp(2\pi\omega\kappa^{-1})-1\}^{-1} {exp(2πωκ−1)−1}−1
个粒子，穿过事件视界的粒子和能量的总速率会是无穷大。当然，这个计算会与上面得到的"穿过事件视界的观察者只会看到量级为 M−4M^{-4}M−4 的有限小能量密度"的结果不一致。这个矛盾的起因似乎是，波包 {pjn}\{p_{jn}\}{pjn} 和 {qjn}\{q_{jn}\}{qjn} 只在事件视界外的区域构成波动方程解的一族完备基，而并不真正在事件视界本身上构成。因此，为了计算穿过视界的粒子通量，必须计算视界外侧某个曲面上的通量，然后取曲面趋近视界的极限。
为了进行这一计算，方便的做法是定义新的波包 xj,−n≡2−1/2(pj,−n(2)+qjn(2))x_{j,-n} \equiv 2^{-1/2}(p_{j,-n}^{(2)} + q_{jn}^{(2)})xj,−n≡2−1/2(pj,−n(2)+qjn(2))，它表示穿过坍缩天体的 pjnp_{jn}pjn 和 qjnq_{jn}qjn 部分；以及 yjn≡2−1/2(pjn(1)+qjn(1))y_{jn} \equiv 2^{-1/2}(p_{jn}^{(1)} + q_{jn}^{(1)})yjn≡2−1/2(pjn(1)+qjn(1))，它表示穿过最终黑洞的准静态度规传播到 I−\mathscr{I}^-I− 的 pjnp_{jn}pjn 和 qjnq_{jn}qjn 部分。在初始真空态中，{yjn}\{y_{jn}\}{yjn} 模不含任何粒子，但每个 xjnx_{jn}xjn 模将含有 {exp(2πωκ−1)−1}−1\{\exp(2\pi\omega\kappa^{-1})-1\}^{-1}{exp(2πωκ−1)−1}−1 个粒子。这些粒子似乎会离开事件视界外侧的坍缩天体，并沿径向向外传播。FjnF_{jn}Fjn 部分将穿透峰值在 r=3Mr=3Mr=3M 处的势垒并逃逸到 I+\mathscr{I}^+I+，在那里构成黑洞的热发射。其余部分 1−Fjn1-F_{jn}1−Fjn 将被势垒反射并穿过事件视界。因而穿过视界外侧恒定 rrr 曲面的净粒子通量为向外的 FjnF_{jn}Fjn。
我现在将证明，使用正规排序的能量--动量算符，穿过延迟时间 u1u_1u1 与 u2u_2u2 之间恒定 rrr 曲面的平均能量通量
(u2−u1)−1∫u1u2⟨0−∣Tab∣0−⟩Ka dSb(4.5) (u_2-u_1)^{-1}\int_{u_1}^{u_2}\langle 0_-|T_{ab}|0_-\rangle K^a\,dS^b \tag{4.5} (u2−u1)−1∫u1u2⟨0−∣Tab∣0−⟩KadSb(4.5)
是向外的，并且等于热体热发射的能量通量。由于 {yjn}\{y_{jn}\}{yjn} 在 I−\mathscr{I}^-I− 上不含负频，它们不会对正规排序的能量--动量算符的期望值 (4.5) 作出任何贡献。令
xjn=∫0∞(γjnω′fω′+δjnω′fˉω′) dω′(4.6) x_{jn} = \int_0^\infty (\gamma_{jn\omega'}f_{\omega'} + \delta_{jn\omega'}\bar{f}_{\omega'})\,d\omega' \tag{4.6} xjn=∫0∞(γjnω′fω′+δjnω′fˉω′)dω′(4.6)
在 I+\mathscr{I}^+I+ 附近
xjn≃(Fjn)−1/2pjn(4.7) x_{jn} \simeq (F_{jn})^{-1/2}p_{jn} \tag{4.7} xjn≃(Fjn)−1/2pjn(4.7)
因而
(4.5)=(u2−u1)−1Re{∑j′′n′′∑j′n′∫∫ωω′′γj′′n′′ω′′γj′n′ω′(Fj′′n′′ω′′−1/2pj′′n′′ω′′δj′n′ω′−Fj′n′ω′−1/2pj′n′ω′δj′′n′′ω′′) dω′ dω′′}(4.8) (4.5) = (u_2-u_1)^{-1}\mathrm{Re}\left\{\sum_{j''n''}\sum_{j'n'}\int\int \omega\omega''\gamma_{j''n''\omega''}\gamma_{j'n'\omega'}(F_{j''n''\omega''}^{-1/2}p_{j''n''\omega''}\delta_{j'n'\omega'} - F_{j'n'\omega'}^{-1/2}p_{j'n'\omega'}\delta_{j''n''\omega''})\,d\omega'\,d\omega''\right\} \tag{4.8} (4.5)=(u2−u1)−1Re⎩ ⎨ ⎧j′′n′′∑j′n′∑∫∫ωω′′γj′′n′′ω′′γj′n′ω′(Fj′′n′′ω′′−1/2pj′′n′′ω′′δj′n′ω′−Fj′n′ω′−1/2pj′n′ω′δj′′n′′ω′′)dω′dω′′⎭ ⎬ ⎫(4.8)
其中 ω\omegaω 和 ω′′\omega''ω′′ 分别是波包 pjnp_{jn}pjn 和 pj′′n′′p_{j''n''}pj′′n′′ 的频率。在 u2−u1u_2-u_1u2−u1 趋于无穷的极限下，(4.8) 中被积函数的第二项将积分掉，第一项只在 (j′′,n′′)=(j,n)(j'', n'')=(j, n)(j′′,n′′)=(j,n) 时贡献。用与第 2 节类似的论证，
∫0∞∣βjnω′∣2 dω′={exp(2πωκ−1)−1}−1(4.9) \int_0^\infty |\beta_{jn\omega'}|^2\,d\omega' = \{\exp(2\pi\omega\kappa^{-1})-1\}^{-1} \tag{4.9} ∫0∞∣βjnω′∣2dω′={exp(2πωκ−1)−1}−1(4.9)
因此
(4.5)=∫0∞Fω ω {exp(2πωκ−1)−1}−1dω(4.10) (4.5) = \int_0^\infty F_\omega\,\omega\,\{\exp(2\pi\omega\kappa^{-1})-1\}^{-1}d\omega \tag{4.10} (4.5)=∫0∞Fωω{exp(2πωκ−1)−1}−1dω(4.10)
其中 Fω=limn→∞FjnF_\omega = \lim_{n\to\infty}F_{jn}Fω=limn→∞Fjn 是频率为 ω\omegaω 的波包本会被黑洞吸收的部分。能量通量 (4.10) 恰好对应于第 2 节中计算的热发射速率。任何与 I+\mathscr{I}^+I+ 附近的正规排序算符一致、服从守恒方程、且在最终准稳态区域是稳态的重整化能量--动量算符，都会在任何恒定 rrr 曲面上给出相同的能量通量。因而它将给出穿过事件视界的正能量外向通量，或等价地，穿过事件视界的负能量内向通量。
这条负能量通量将导致事件视界面积减小，因而黑洞实际上不会处于稳态。然而，只要黑洞的质量远大于普朗克质量 10−510^{-5}10−5 克，黑洞的演化速率与光穿过史瓦西半径的特征时间相比就会非常缓慢。因此，用一系列稳态解来描述黑洞并计算每个解中的粒子发射速率是一个合理的近似。最终，当黑洞质量减小到 10−510^{-5}10−5 克时，准静态近似将失效。此时，不能继续使用经典度规的概念。但系统中剩余的质能非常小。因此，只要黑洞不演化成一个负质量的裸奇点，除了彻底消失之外它也没有太多可做的。构成原始坍缩天体的重子或轻子不可能重新出现，因为它们的全部静止质量能量已被热辐射带走。我们不禁推测，这或许就是宇宙现在所含重子数相对于光子数如此之少的原因：宇宙可能一开始只有重子，没有辐射。大部分重子可能落入了小黑洞，然后这些黑洞蒸发，以辐射形式还回重子的静止质量能量，但并不还回重子本身。
一个蒸发并只留下空空间的彭罗斯图如图 5 所示。标记为"奇点"的水平线实际上是一个曲率半径量级为普朗克长度的区域。冲进这个区域的物质可能重新出现在另一个宇宙中，甚至可能通过上方的竖直线重新出现在我们的宇宙中，从而产生一个负质量的裸奇点。
图 5. 引力坍缩随后缓慢蒸发并最终消失、在原点不留下任何奇点而只剩空空间的彭罗斯图。
Fig. 5. The Penrose diagram for a gravitational collapse followed by the slow evaporation and eventual disappearance of the black hole, leaving empty space with no singularity at the origin.
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Communicated by J. Ehlers S. W. Hawking
California Institute of Technology
W. K. Kellogg Radiation Lab. 106-38
Pasadena, California 91125, USA
说明：本译文基于 S. W. Hawking, "Particle Creation by Black Holes", Commun. math. Phys. 43, 199--220 (1975) 原文翻译。公式编号与原文一致；英文原文图注与参考文献条目按原文保留，正文已译为中文。