P7668 $JOI 2018 Final$ 团子制作 / Dango Maker 题解

复盘

赛时写的二维DP，转移非常复杂，而且正确性得不到保证

赛后发现题解非常短小，对于这个贪心的性质分析感到十分巧秒，特此记录

题意简述

在 $N \times M$ 的字符网格上，每个格子放着一个颜色为 R、G 或 W 的团子。每次选三个连续格子（横向或竖向），颜色必须恰好为 R G W，且每个格子只能被使用一次。求最多能串多少串团子。

核心分析

关键观察：冲突构型

一根横向串和一根竖向串如果要共用某个格子，几何上只有三种重叠方式：

复制代码

构型 A（共享 G 格）    构型 B（共享 R 格）    构型 C（共享 W 格）
R G W                  R                      R
  G                    R G W                  G
  W                    W                    R G W

逐一检验这三种构型能否实际发生：

构型	共享格在横向串中的角色	共享格在竖向串中的角色	是否可能
A	G（中心）	R（顶端）	不可能，一个格子不可能既是 G 又是 R
B	R（左端）	G（中心）	不可能，一个格子不可能既是 R 又是 G
C	W（右端）	W（底端）	可能，两边都要求 W

结论：横向串与竖向串的冲突只可能在构型 C 下发生。

冲突的位置关系

以每根串的 G 格作为标志点（一根串由 G 的位置唯一确定），分析构型 C 中两个 G 点的位置关系：

复制代码

       j        j+1
i-1            G'  ← 竖向串（向下：R→G'→W）
i      G  ←───── 横向串（向右：R→G→W）

竖向串标志点 $G'$ 在 $(i-1,; j+1)$，使用格子 $(i,; j+1)$ 作为 W。
横向串标志点 $G$ 在 $(i,; j)$，也使用格子 $(i,; j+1)$ 作为 W。

两个 G 点的相对位置恰好是「右上方」关系 ：$G' = (i-1,; j+1)$，$G = (i,; j)$。

这意味着：处理 $G(i,j)$ 时，只需检查它的右上方邻居 $G(i-1,; j+1)$ 是否与之冲突，其余位置不会产生冲突。

算法设计

DP 状态

\ $f\\_{i,j,0/1} = \\text{以 } (i,j) \\text{ 为中心的 G 能否形成横向(0)/竖向(1) 串} \\$

其中 $f\{i,j,0} = 1$ 当且仅当 $s\{i,j-1} = \text{R}$ 且 $s\_{i,j+1} = \text{W}$，竖向同理。

贪心转移

按行优先序扫描。处理 $G(i,j)$ 时，右上方 $G(i-1,; j+1)$ 已处理完毕。

冲突规则（由构型 C 导出）：

右上方 G' 的选择	占用的冲突格	当前 G 被禁止的方向
横向	$(i-1, j)$ 作为 R	竖向（竖向也需要 $(i-1, j)$ 作为 R）
竖向	$(i, j+1)$ 作为 W	横向（横向也需要 $(i, j+1)$ 作为 W）

核心逻辑：如果 G' 只能走某个方向，就被迫占用冲突格，从而禁止 G 的对应方向。如果 G' 两个方向都可行，它有弹性去适应 G 的需求，因此不限制 G。

代码实现为：

cpp 复制代码

if (f[i-1][j+1][0] || f[i-1][j+1][1]) {   // G' 存在且至少有一个方向可行
    f[i][j][0] &= f[i-1][j+1][0];           // G' 不能横向 → G' 被迫竖向 → 禁止当前横向
    f[i][j][1] &= f[i-1][j+1][1];           // G' 不能竖向 → G' 被迫横向 → 禁止当前竖向
}
ans += (f[i][j][0] || f[i][j][1]);           // 只要还有一个可行方向就算一根

贪心正确性

冲突关系只在反斜对角线 （$i+j = \text{const}$）上相邻的 G 点之间传递，冲突图是若干条链（而非一般图）。

在链上做贪心是正确的：

$G'$ 能两个方向都走 $\Rightarrow$ 它可以迁就 $G$ 的任何选择，不损失任何一根。
$G'$ 只能走一个方向 $\Rightarrow$ 被迫占用冲突格，$G$ 对应方向必然失效，无可选择。
$G'$ 两个方向都不行 $\Rightarrow$ 无冲突，$G$ 不受影响。

每一步的局部最优就是全局最优，因为每条链上的决策互不影响。

AC code