最小路径和
链接: 64. 最小路径和
给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。
输入：grid = \[1,3,1,1,5,1,4,2,1]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
示例 2：
输入：grid = \[1,2,3,4,5,6]
输出：12
1.状态表示
对于这种「路径类」的问题，我们的状态表⽰⼀般有两种形式：
- i. 从 i, j 位置出发，......；
- ii. 从起始位置出发，到达 i, j 位置，......；
这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：
dpij 表⽰：⾛到 i, j 位置处，此时的最小路径和。
2.状态转移方程
对于 dpij ，我们发现想要到达 i, j 位置，有两种⽅式：
- i. 从 i, j 位置的上⽅ i - 1, j 位置，向下⾛⼀步，此时到达 i, j 位置 ；
- ii. 从 i, j 位置的左边 i, j - 1 位置，向右⾛⼀步，此时到达 i, j 位置；
由于到 i, j 位置两种情况，并且我们要找的是最⼩路径，因此只需要这两种情况下的最⼩值，再加上 i, j 位置上本⾝的值即可
c
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]3. 初始化
为了解决一些边界条件，我们可以添加辅助节点，
在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，所有位置的值可以初始化为⽆穷⼤，然后让dp01 = dp10 = 1 即可。
4. 填表顺序
根据「状态转移⽅程」，填表的顺序是「从上往下填写每⼀⾏」，「每⼀⾏从左往右」
5. 返回值
应该返回 dpmn 的值；
代码：
c
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
int m=grid.size();
int n=grid[0].size();
vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));
dp[0][1]=0;
dp[1][0]=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i-1][j-1];
}
}
return dp[m][n];
}
174. 地下城游戏（###）
链接: 174. 地下城游戏
恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。
骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。
为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。
返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。
注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。
输入：dungeon = \[-2,-3,3,-5,-10,1,10,30,-5]
输出：7
解释：如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下 ，则骑士的初始健康点数至少为 7 。
示例 2：
输入：dungeon = \[0]
输出：1
1.状态表示
这道题如果我们定义成：从起点开始，到达 i, j 位置的时候，所需的最低初始健康点数。
那么我们分析状态转移的时候会有⼀个问题：那就是我们当前的健康点数还会受到后⾯的路径的影响 。也就是从上往下的状态转移不能很好地解决问题。（后效性问题）
这个时候我们要换⼀种状态表⽰：从 i, j 位置出发，到达终点时所需要的最低初始健康点数 。
这样我们在分析状态转移的时候，后续的最佳状态就已经知晓。
综上所述，定义状态表⽰为：
dpij 表⽰：从 i, j 位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数
2.状态转移方程
对于 dpij ，从 i, j 位置出发，下⼀步会有两种选择：
-
往右走一步，到达dpij-1的位置，根据dp\[\]数组的定义，需要满足的条件是，走到dpij-1时的生命值，必需大于等于dpij-1 ,也就是:
dp[i][j] +dungeon[i][j]>=dp[i][j+1], ==》》dp[i][j] >=dp[i][j+1]-dungeon[i][j] -
往下走一步，到达dpi-1j的位置，同理可得，
dp[i][j] >=dp[i+1][j]-dungeon[i][j]
综上所述，我们需要的是两种情况下的最⼩值，因此可得状态转移⽅程为：
dpij = min(dpi + 1j, dpij + 1) - dungeonij
但是，如果当前位置的 dungeonij 是⼀个⽐较⼤的正数的话， dpij 的值可能变成 0 或者负数 ，也就是最低点数会⼩于 1 ，那么骑⼠就会死亡。因此我们求出来的 dpij 如果⼩于等于 0 的话，说明此时的最低初始值应该为 1 。处理这种情况仅需让 dpij 与 1 取⼀个最⼤值即可：
dp[i][j] = max(1, dp[i][j])
3. 初始化
为了解决一些边界条件，我们可以添加辅助节点，
在本题中，在 dp 表最后⾯添加⼀⾏，并且添加⼀列后，所有的值都先初始化为⽆穷⼤，然后让dpmn - 1 = dpm - 1n = 1 即可。
4. 填表顺序
根据「状态转移⽅程」，我们需要「从下往上填每⼀⾏」，「每⼀⾏从右往左」。
5. 返回值
应该返回 dp00 的值；
代码：
c
int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {
int m=dungeon.size();
int n=dungeon[0].size();
vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));
//dp[i][j]+dungeon[i][j+1]>=dp[i][j+1] -> dp[i][j]=dp[i][j+1]-dungeon[i][j]
dp[m][n-1]=1;
dp[m-1][n]=1;
for(int i=m-1;i>=0;i--)
{
for(int j=n-1;j>=0;j--)
{
dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j];
dp[i][j]=max(1,dp[i][j]);
}
}
return dp[0][0];
}