01背包问题
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V 用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8
cpp
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N]; // 体积 价值
int f[N][N]; // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值
int main()
{
int n,m;cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
// 当前背包容量装不进第i个物品，则价值等于前i-1个物品
if(j<v[i]) f[i][j]=f[i-1][j];
// 能装，需进行决策是否选择第i个物品
else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}
一维
cpp
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{
int n,m;cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=m;j>=v[i];j--)
{
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<f[m]<<endl;
return 0;
}完全背包问题
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 ii 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10
基本框架 O(n^3) 会超时
cpp
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main()
{
int n,m;cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=m;j++)
{
for(int k=0;k*v[i]<=j;k++)
{
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
}
}
}
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}优化
f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w , f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
f[i , j-v]= max( f[i-1,j-v] , f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-3*v]+2*w , .....)
由上两式，可得出如下递推关系：
f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j])
cpp
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main()
{
int n,m;cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=m;j++)
{
f[i][j]=f[i-1][j];
if(j>=v[i])
{
f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}
}
}
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}一维
cpp
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{
int n,m;cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=m;j++)
{
//原来二维与之对应的是 f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);对应正是第i层 不是i-1层 故从小到大即可
if(j>=v[i]) f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout<<f[m]<<endl;
return 0;
}多重背包问题 I
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si 用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100
输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10
cpp
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=110;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N][N];
int main()
{
int n,m;cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
for(int i=1;i<=n;i++)//枚举背包
{
for(int j=0;j<=m;j++)//枚举体积
{
f[i][j]=f[i-1][j];
for(int k=0;k*v[i]<=j&&k<=s[i];k++)
{
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
}
}
}
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}多重背包问题 II
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 ii 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N≤1000
0<V≤2000
0<vi,wi,si≤2000
提示：
本题考查多重背包的二进制优化方法。
输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10