整数规划------第三章 全单模矩阵
若线性规划问题的约束矩阵为全单模矩阵，则该问题可行域的顶点都是整数点，从而线性规划与整数规划的最优解相同。
3.1 全单模性与最优性
考虑线性整数规划问题：
(IP) min c T x , s . t . A x ≤ b , x ∈ Z + n \text{(IP)}\quad\begin{aligned} &\min c^Tx,\\ &s.t.\ Ax\le b,\\ &\qquad x\in \Z_+^n \end{aligned} (IP)mincTx,s.t. Ax≤b,x∈Z+n
其中 A A A 是 m × n m×n m×n 整数矩阵， b b b 是 n n n 维整数向量。用如下线性规划作为其松弛问题：
(LP) min c T x , s . t . A x ≤ b , x ∈ R + n \text{(LP)}\quad\begin{aligned} &\min c^Tx,\\ &s.t.\ Ax\le b,\\ &\qquad x\in \R_+^n \end{aligned} (LP)mincTx,s.t. Ax≤b,x∈R+n
若线性松弛问题存在最优解，且其可行集合 $P={x\in \R_+^n|Ax\le b}
$ 的所有顶点都是整数点，则线性规划问题必有整数最优解。因此，求解线性松弛问题(LP)就可得到原整数规划问题§的最优解。下面给出一个保证问题(LP)的最优解是整数点的充分条件
定理3.1 若线性规划问题(LP)的最优基矩阵B满足 det ( B ) = ± 1 \text{det}(B)=\pm1 det(B)=±1，这里 B B B 是矩阵 ( A , I ) (A,I) (A,I) 的 m × m m×m m×m 维子方阵，则线性规划问题(LP)的最优解是整数解。
定义3.1 设矩阵 A A A 是 m × n m×n m×n 整数矩阵。若矩阵 A A A 的任意子方阵的行列式等于0,1或者-1，则称矩阵A为全单模矩阵。
易知，若整数规划（IP）中的矩阵 A A A 是全单模矩阵，求解线性规划（LP）等价于求解整数规划（IP)。
性质3.1 若矩阵 A A A 是全单模矩阵，则矩阵中元素a=0,1或者-1。
定理3.2 设矩阵 A A A 是全单模矩阵，向量 b b b 是整数向量，则多面体 P = { x ∈ R + n ∣ A x ≤ b } P=\{x\in \R_+^n|Ax\le b\} P={x∈R+n∣Ax≤b} 的顶点都是整数点。
定理3.3 若对任意整数向量 b b b ，多面体 P = { x ∈ R + n ∣ A x ≤ b } P=\{x\in \R_+^n|Ax\le b\} P={x∈R+n∣Ax≤b} 的顶点都是整数点，则 A A A 是全单模矩阵。
3.2 全单模矩阵的性质
性质3.2 设整数矩阵 A A A 是全单模矩阵，对 A A A 进行以下运算不改变其全单模性：
- 对矩阵 A A A 进行转置；
- 矩阵 ( A , I ) (A,I) (A,I) 是全单模的；
- 去掉 A A A 的一行（或者一列)：
- 将 A A A 的一行（或者一列）乘以-1；
- 互换 A A A 的两行（或者两列）：
- 对 A A A 进行转轴运算.
定理3.4 矩阵 A A A 是全单模矩阵等价于对于每个集合 J ⊆ N = { 1 , 2 , . . . , n } J\sube N=\{1,2,...,n\} J⊆N={1,2,...,n}，必存在 J J J 的分割 J 1 , J 2 J_1,J_2 J1,J2 使得
∣ ∑ j ∈ J 1 a i j − ∑ j ∈ J 2 a i j ∣ ≤ 1 , i = 1 , . . . , m . \left| \sum_{j\in J_1}a_{ij} -\sum_{j\in J_2}a_{ij}\right|\le 1,\quad i=1,...,m. j∈J1∑aij−j∈J2∑aij ≤1,i=1,...,m.
推论3.3 设矩阵 A A A 是 { 0 , 1 , − 1 } \{0,1,-1\} {0,1,−1}矩阵，并且每列至多有两个非零元素，则矩阵 A A A 是全单模矩阵当且仅当存在 A A A 的行分割 Q 1 , Q 2 Q_1,Q_2 Q1,Q2 使得同一列中的两个非零元素满足以下条件：
- 若符号相同，则一个元素位于 Q 1 Q_1 Q1,另一元素位于 Q 2 Q_2 Q2
- 若特号相反，则这两个元素同时属于 Q 1 Q_1 Q1,或者同时属于 Q 2 Q_2 Q2。
由以上讨论可得到一个易于验证的全单模矩阵的充分条件
推论3.4 设矩阵 A A A 的任意元素都是0,1或者一1，若 A A A 满足以下两个条件，则矩阵 A A A 是全单模的：
- A A A 的每一列至多含有两个非零元素；
- 若某列含有两个非零元素，则两个元素之和为0.
3.3 全单模矩阵在网络问题中的应用
3.3.1 二部图
给定无向图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E)，其中 V V V 表示顶点集合， E E E 表示边集合。定义图 G G G 的关联矩阵 M M M ，其行和列分别用顶点集 V V V 和边集 E E E 标记；若边 e e e 经过项点 v v v ,则 M v , e = 1 M_{v,e}=1 Mv,e=1；否则 M v , e = 0 M_{v,e}=0 Mv,e=0。
若一个图 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 的顶点集合 V V V 可分解成两个非空子集 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1,V2，使得 E E E 中每条边的两个端点分别属于 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1,V2，则称该图为二部图。下面定理表明无向图的关联矩阵的全单模性与二部图之间的等价性。
定理3.5 令 G = ( V , E ) G=(V,E) G=(V,E) 表示无向图， M M M 表示图 G G G 的 V × E V\times E V×E 关联矩阵，则 M M M 是全单模矩阵当且仅当图 G G G 是二部图。
3.3.2 指派问题
指派问题是二部图问题的一种特殊情况，是指将 n n n 项任务恰当地分配给 n n n 个工人，每个工人只能执行一项任务。由于每个工人完成不同工作所的成本不同，我们的目的是在保证各项任务完成的前提下最小化成本。令表示 c i j c_{ij} cij 由工人 i i i 完成任务 j j j 的成本，则最小化成本的指派问题可表述如下：
min ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n c i j x i j , s . t . ∑ j = 1 n x i j = 1 , i = 1 , . . . , n , ∑ i = 1 n x i j = 1 , j = 1 , . . . , n , x i j ∈ { 0 , 1 } , i , j = 1 , . . . , n . \begin{aligned}&\min \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n c_{ij}x_{ij},\\ &s.t.\ \sum_{j=1}^nx_{ij} =1,\ i = 1,...,n,\\ &\quad\quad\sum_{i = 1}^n x_{ij} =1,j=1,...,n, \\ &\quad\quad x_{ij}\in \{0,1\},\quad i,j = 1,...,n. \end{aligned} mini=1∑nj=1∑ncijxij,s.t. j=1∑nxij=1, i=1,...,n,i=1∑nxij=1,j=1,...,n,xij∈{0,1},i,j=1,...,n.
记 U U U 表示工人集合， V V V 表示任务集合，在此集合上建立边集 E E E：若工人 i i i 能够胜任任务 j j j ,则边 ( i , j ) ∈ E (i,j)∈E (i,j)∈E 。故图 G = ( U , V , E ) G=(U,V,E) G=(U,V,E) 是二部图。由于二部图的关联矩阵是全单模矩阵，则求解其线性规划松弛问题即可得到整数最优解.，
另一类指派问题是将工人们分派到不同小组进行轮班，称之为排班问题。假设工作时间有 m m m 个小时，共有 n n n 次轮班，每一次轮班需要连续工作几个小时。第 j j j 次轮班用 m m m 维 0 − 1 0-1 0−1 向量 a j a_j aj 表示：若在第 i i i 个小时被排在第 j j j 次轮班中，则 a i j = 1 a_{ij}=1 aij=1 ；否则 a i j = 0 a_{ij}=0 aij=0 。所以向量 中 1 元素是连续出现的，实际上。由 a j , j = 1 , . . . n a_j,j=1,...n aj,j=1,...n 组成的矩阵 A A A 是 m × n m\times n m×n 维的区间矩阵。区间矩阵定义如下，其具有全单模性：
定义3.2 设 A A A 是 m × n m\times n m×n 维 { 0 , 1 } \{0,1\} {0,1} 矩阵，若该矩阵的每一列中 1 1 1 元素连续出现，即如果 a i j = a k j = 1 a_{ij}={a_{kj}}=1 aij=akj=1，且 k > i + 1 k>{i+1} k>i+1，那么对任意 i < l < k , a l j = 1 i<l<k,a_{lj}=1 i<l<k,alj=1，则称 A A A 为区间矩阵。
定理3.6 区间矩阵是全单模矩阵。
所以求解上述问题的线性规划松弛即可得到整数最优解。
3.3.3 最小费用网络流问题
有向图关联矩阵介绍如下：
给定有向图 D = ( V , A ) D=(V,A) D=(V,A)， V V V 表示顶点集， A A A 表示弧的集合， ( u , v ) ∈ A (u,v)∈A (u,v)∈A 表示从顶点 u u u 流向顶点 v v v 的弧.记其 V × A V×A V×A 相关矩阵为 M M M 。若弧 a a a 流入顶点 v v v，则 M v , a = 1 M_{v,a}=1 Mv,a=1；若弧 a a a 流出顶点 v v v，则 M v , a = − 1 M_{v,a}=-1 Mv,a=−1；否则 M v , a = 0 M_{v,a}=0 Mv,a=0。
定理3.7 有向图 D = ( V , A ) D=(V,A) D=(V,A)的关联矩阵 M M M 是全单模矩阵.
给定有向图 D = ( V , A ) D=(V,A) D=(V,A) ， h u , v h_{u,v} hu,v 表示弧 ( u , v ) (u,v) (u,v) 上的最大容量， b v b_v bv 表示顶点 v v v 处的需求量， c u , v c_{u,v} cu,v 表示弧 ( u , v ) (u,v) (u,v) 上单位流量所需要的费用，记
V + ( v ) = { u ∈ V ∣ ( v , u ) ∈ A } , V − ( v ) = { u ∈ V ∣ ( u , v ) ∈ A } V^+(v)=\{u\in V|(v,u)\in A\},\quad V^-(v)=\{u\in V|(u,v)\in A\} V+(v)={u∈V∣(v,u)∈A},V−(v)={u∈V∣(u,v)∈A}
则最小费用网络流问题可以表述为
min ∑ ( u , v ) ∈ A c u , v x u , v , s . t . ∑ u ∈ V + ( v ) x v , u − ∑ u ∈ V − ( v ) x u , v = b v , ∀ v ∈ V , 0 ≤ x u , v ≤ h u , v , ∀ ( u , v ) ∈ A \begin{aligned} &\min \sum_{(u,v)\in A}c_{u,v}x_{u,v},\\ &s.t. \ \sum_{u\in V^+(v)}x_{v,u}-\sum_{u\in V^-(v)}x_{u,v}=b_v,\ \forall v\in V,\\ &\qquad 0\le x_{u,v}\le h_{u,v},\ \forall (u,v)\in A \end{aligned} min(u,v)∈A∑cu,vxu,v,s.t. u∈V+(v)∑xv,u−u∈V−(v)∑xu,v=bv, ∀v∈V,0≤xu,v≤hu,v, ∀(u,v)∈A
最小费用网络流问题的输入是一个有向图，其中每条边都有一个容量和一个单位流量费用。该图还有一个源点和一个汇点。问题的目标是在满足源点到汇点之间流量约束的情况下，找到一种最小费用的流量分配方案。
记 M M M 为该图的关联矩阵。上述最小费用网络流问题即
min { c T x ∣ M x = b , 0 ≤ x ≤ h } \min \{c^Tx|Mx=b,\ 0\le x \le h\} min{cTx∣Mx=b, 0≤x≤h}
应当注意的是，若该问题可行，则总需求量之和必为0，即 ∑ v ∈ V b v = 0 \sum_{v\in V}b_v=0 ∑v∈Vbv=0。若容 h u , v h_{u,v} hu,v 及各顶点需求量 b v b_v bv 都是整数，由关联矩阵 M M M 的全单模性可知该最小费用网络流问题有整数最优解。
例3.2 有向图 G G G 由图3.1给出，图 G G G 的关联矩阵和各顶点需求量由表3.1给出
