算法训练营day42|动态规划 part04(01背包问题基础(两种解决方案)、416.分割等和子集)

文章目录

• 01背包----二维dp数组
• 01背包----滚动数组
• 416.分割等和子集
• • 思路分析
  • 背包解法
  • 思考总结

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weighti，得到的价值是valuei 。每件物品只能用一次 ，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包又是也是01背包稍作变化而来，即：完全背包的物品数量是无限的。

所以背包问题的理论基础重中之重是01背包，一定要理解透！

在下面的讲解中，我举一个例子：

背包最大重量为4。

物品为：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

问背包能背的物品最大价值是多少？

01背包----二维dp数组

依然用动规五部曲。

1. 确定dp数组以及下标的含义

对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dpij 表示从下标为0-i的物品里任意取，放进容量为j的背包，dpij表示当前价值总和。

2. 确定递推公式

再回顾一下dpij的含义：从下标为0-i的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

那么可以有两个方向推出来dpij，

不放物品i：由dpi - 1j推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dpij就是dpi - 1j。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)

放物品i：由dpi - 1j - weight\[i]推出，dpi - 1j - weight\[i] 为背包容量为j - weighti的时候不放物品i的最大价值，那么dpi - 1j - weight\[i] + valuei （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式： dpij = max(dpi - 1j, dpi - 1j - weight\[i] + valuei);

3. dp数组如何初始化

首先从dpij的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dpi0，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

状态转移方程 dpij = max(dpi - 1j, dpi - 1j - weight\[i] + valuei); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp0j，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight0的时候，dp0j 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight0时，dp0j 应该是value0，因为背包容量放足够放编号0物品。

dpij 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。

初始-1，初始-2，初始100，都可以！

但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。

整体初始化代码：

// 初始化 dp
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

4. 确定遍历顺序

在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量

先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？

其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。

递归公式中可以看出dpij是靠dpi-1j和dpi - 1j - weight\[i]推导出来的。

for循环遍历的次序不同，但是dpij所需要的数据就是左上角，根本不影响dpij公式的推导！

但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。

5. 举例推导dp数组

来看一下对应的dp数组的数值，如图：

void test_2_wei_bag_problem1() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagweight = 4;

    // 二维数组
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

    // 初始化
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    // weight数组的大小 就是物品个数
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

        }
    }

    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() {
    test_2_wei_bag_problem1();
}

计算i，j值的时候，当我们判断如果本来总空间都不够放入该物品那么肯定就放不下了，直接让它等于上一个放物品时候的价值。当发现当前要放入的物品，是比总空间小的话，那么可能扔出一些物品还是能放进去的，这个时候我们再比较。

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01背包----滚动数组

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组的定义

在一维dp数组中，dpj表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dpj。

2. 一维dp数组的递推公式

dpj为 容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dpj呢？

dpj可以通过dpj - weight\[i]推导出来，dpj - weight\[i]表示容量为j - weighti的背包所背的最大价值。

dpj - weight\[i] + valuei 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dpj）

此时dpj有两个选择，一个是取自己dpj 相当于 二维dp数组中的dpi-1j，即不放物品i，一个是取dpj - weight\[i] + valuei，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，

所以递归公式为：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

3. 一维dp数组如何初始化

关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

dpj表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dpj，那么dp0就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？

看一下递归公式：dpj = max(dpj, dpj - weight\[i] + valuei);

dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。

这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。

4. 一维dp数组遍历顺序

代码如下：

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

二维dp遍历的时候，背包容量是从小到大，而一维dp遍历的时候，背包是从大到小。

为什么呢？

倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！。但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！

举一个例子：物品0的重量weight0 = 1，价值value0 = 15

如果正序遍历

dp1 = dp1 - weight\[0] + value0 = 15

dp2 = dp2 - weight\[0] + value0 = 30

此时dp2就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。

为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢？

倒序就是先算dp2

dp2 = dp2 - weight\[0] + value0 = 15 （dp数组已经都初始化为0）

dp1 = dp1 - weight\[0] + value0 = 15

所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。

那么问题又来了，为什么二维dp数组历的时候不用倒序呢？

因为对于二维dp，dpij都是通过上一层即dpi - 1j计算而来，本层的dpij并不会被覆盖！

（如何这里读不懂，大家就要动手试一试了，空想还是不靠谱的，实践出真知！）

再来看看两个嵌套for循环的顺序，代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量，那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢？

不可以！

因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历（原因上面已经讲了），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dpj就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。

倒序遍历的原因是，本质上还是一个对二维数组的遍历，并且右下角的值依赖上一层左上角的值，因此需要保证左边的值仍然是上一层的，从右向左覆盖。

（这里如果读不懂，就再回想一下dpj的定义，或者就把两个for循环顺序颠倒一下试试！）

所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的！，这一点大家一定要注意。

举例推导dp数组

一维dp，分别用物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下：

void test_1_wei_bag_problem() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    // 初始化
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}

int main() {
    test_1_wei_bag_problem();
}

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416.分割等和子集

题目链接🔥🔥

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200

示例 1:

输入: 1, 5, 11, 5

输出: true

解释: 数组可以分割成 1, 5, 5 和 11.

示例 2:

输入: 1, 2, 3, 5

输出: false

解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

提示：

1 <= nums.length <= 200

1 <= numsi <= 100

思路分析

本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。

回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。

那么来一一对应一下本题，看看背包问题如何来解决。

只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。

• 背包的体积为sum / 2
• 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
• 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
• 背包中每一个元素是不可重复放入。

背包解法

1. 确定dp数组以及下标的含义

01背包中，dpj 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值最大可以为dpj。

本题中每一个元素的数值既是重量，也是价值。

套到本题，dpj表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dpj。

那么如果背包容量为target， dptarget就是装满 背包之后的重量，所以 当 dptarget == target 的时候，背包就装满了。

2. 确定递推公式

01背包的递推公式为：dpj = max(dpj, dpj - weight\[i] + valuei);

本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是numsi，其价值也是numsi。

所以递推公式：dpj = max(dpj, dpj - nums\[i] + numsi);

3. dp数组如何初始化

在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，

从dpj的定义来看，首先dp0一定是0。

如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。

这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值，而不是被初始值覆盖了。

本题题目中 只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。

代码如下：

// 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
// 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
vector<int> dp(10001, 0);

4.确定遍历顺序

如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！

5. 举例推导dp数组

dpj的数值一定是小于等于j的。

如果dpj == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j，理解这一点很重要。

用例1，输入1,5,11,5 为例，如图：

最后dp11 == 11，说明可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum=0;
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            sum+=nums[i];
        }
        if (sum % 2 == 1) return false;
        int target=sum/2;
        vector<int> dp(target+1,0);
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            for(int j=target;j>=nums[i];j--){
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);
            }
        }
        if (dp[target] == target) return true;
        return false;
    }
};

思考总结

01背包相对于本题，主要要理解，题目中物品是numsi，重量是numsi，价值也是numsi，背包体积是sum/2。

看代码的话，就可以发现，基本就是按照01背包的写法来的。

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