今日算法13-剪绳子

一、题目描述

题目链接:leetcode.cn/problems/ji...

难易程度:中等

给你一根长度为 n 的绳子,请把绳子剪成整数长度的 m 段(m、n 都是整数,n > 1 并且 m > 1),每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少?例如,当绳子的长度是 8 时,我们把它剪成长度分别为 2、3、3 的三段,此时得到的最大乘积是 18。

ini 复制代码
 输入: 10
 输出: 36
 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

二、解题思路

贪心法

尽可能得多剪长度为 3 的绳子,并且不允许有长度为 1 的绳子出现。如果出现了,就从已经切好长度为 3 的绳子中拿出一段与长度为 1 的绳子重新组合,把它们切成两段长度为 2 的绳子。以下为证明过程。

将绳子拆成 1 和 n-1,则 1(n-1)-n=-1<0,即拆开后的乘积一定更小,所以不能出现长度为 1 的绳子。

将绳子拆成 2 和 n-2,则 2(n-2)-n = n-4,在 n>=4 时这样拆开能得到的乘积会比不拆更大。

将绳子拆成 3 和 n-3,则 3(n-3)-n = 2n-9,在 n>=5 时效果更好。

将绳子拆成 4 和 n-4,因为 4=2*2,因此效果和拆成 2 一样。

将绳子拆成 5 和 n-5,因为 5=2+3,而 5<2*3,所以不能出现 5 的绳子,而是尽可能拆成 2 和 3。

将绳子拆成 6 和 n-6,因为 6=3+3,而 6<3*3,所以不能出现 6 的绳子,而是拆成 3 和 3。这里 6 同样可以拆成 6=2+2+2,但是 3(n - 3) - 2(n - 2) = n - 5 >= 0,在 n>=5 的情况下将绳子拆成 3 比拆成 2 效果更好。

继续拆成更大的绳子可以发现都比拆成 2 和 3 的效果更差,因此我们只考虑将绳子拆成 2 和 3,并且优先拆成 3,当拆到绳子长度 n 等于 4 时,也就是出现 3+1,此时只能拆成 2+2。

复杂度分析

时间复杂度 O(1) : 仅有求整、求余、次方运算。

  • 求整和求余运算:资料提到不超过机器数的整数可以看作是 O(1);
  • 幂运算:查阅资料,提到浮点取幂为 O(1)。

空间复杂度 O(1) : 变量 a 和 b 使用常数大小额外空间。

三、代码实现

ini 复制代码
 public int cutRope(int n) {
     if (n < 2)
         return 0;
     if (n == 2)
         return 1;
     if (n == 3)
         return 2;
     int timesOf3 = n / 3;
     if (n - timesOf3 * 3 == 1)
         timesOf3--;
     int timesOf2 = (n - timesOf3 * 3) / 2;
     return (int) (Math.pow(3, timesOf3)) * (int) (Math.pow(2, timesOf2));
 }

推荐阅读

封面

今日算法系列,题解更新地址:studeyang.tech/2023/0911.h...

相关推荐
点云SLAM1 小时前
二叉树算法详解和C++代码示例
数据结构·c++·算法·红黑树·二叉树算法
今天背单词了吗9808 小时前
算法学习笔记:19.牛顿迭代法——从原理到实战,涵盖 LeetCode 与考研 408 例题
笔记·学习·算法·牛顿迭代法
jdlxx_dongfangxing9 小时前
进制转换算法详解及应用
算法
why技术10 小时前
也是出息了,业务代码里面也用上算法了。
java·后端·算法
2501_9228955810 小时前
字符函数和字符串函数(下)- 暴力匹配算法
算法
IT信息技术学习圈11 小时前
算法核心知识复习:排序算法对比 + 递归与递推深度解析(根据GESP四级题目总结)
算法·排序算法
愚润求学11 小时前
【动态规划】01背包问题
c++·算法·leetcode·动态规划
会唱歌的小黄李12 小时前
【算法】贪心算法入门
算法·贪心算法
轻语呢喃13 小时前
每日LeetCode : 两数相加--链表操作与进位的经典处理
javascript·算法
钢铁男儿13 小时前
C# 接口(接口可以继承接口)
java·算法·c#