python数据分析从入门到进阶：线性回归和正则化

引言

上一章中我们以minist数据集演示了如何实现一个分类算法，并进行选择。这一章中，我们将介绍广义线性模型。广义线性模型是机器学习的基础部分，也是很多其他算法的延伸。本文主要介绍一下如何实现简单的线性回归和正则化方法

🍅1.线性回归

通常，线性回归通过简单计算输入特征的加权和，加上一个称为偏差项（也称为截距项）的常数来进行预测。具体公式如下:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> y ^ = β 0 + β 1 X 1 + . . . + β n X n \hat{y}=\beta_0 + \beta_1 X_1+...+\beta_n X_n </math>y^=β0+β1X1+...+βnXn

接下来我们看看具体如何实现线性回归模型

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成模拟数据集
X = np.random.randn(100,1)
y = 3*X+4+np.random.randn(100,1)

观察一下生成的数据集

plt.plot(X, y, "b.")
plt.xlabel("$x_1$", fontsize=18)
plt.ylabel("$y$", rotation=0, fontsize=18)
plt.axis([0, 2, 0, 15])
plt.savefig("generated_data_plot")
plt.show()

可以看出数据呈现比较明显的线性趋势，下面使用LinearRegression实现对线性模型的训练

from sklearn.linear_model import LinearRegression
lin_reg = LinearRegression()
lin_reg.fit(X, y)
a = lin_reg.intercept_
b = lin_reg.coef_
a,b#回归系数和截距

(array([3.86880209]), array([[3.0229374]]))

下面根据训练好的线性回归模型进行预测，

X_new = np.array([[0], [2]])
y_predict = lin_reg.predict(X_new)
y_predict

array([[3.86880209],
       [9.91467688]])

将预测结果可视化如下

plt.plot(X_new, y_predict, "r-", linewidth=2, label="Predictions")
plt.plot(X, y, "b.")
plt.xlabel("$x_1$", fontsize=18)
plt.ylabel("$y$", rotation=0, fontsize=18)
plt.legend(loc="upper left", fontsize=14)
plt.axis([0, 2, 0, 15])
plt.show()

可以看出拟合结果还不错，下面我们绘制一下Learning curve：随着模型训练样本的变化观察训练集和测试集的误差

from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.model_selection import train_test_split
'''
定义learning_curves函数
'''
def plot_learning_curves(model, X, y):
    X_train, X_val, y_train, y_val = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=10)#将数据分为训练集合验证集
    train_errors, val_errors = [], []#定义训练误差和验证误差
    for m in range(1, len(X_train) + 1):
        model.fit(X_train[:m], y_train[:m])#根据训练集大小训练模型
        y_train_predict = model.predict(X_train[:m])#拟合训练集
        y_val_predict = model.predict(X_val)#拟合验证集
        train_errors.append(mean_squared_error(y_train[:m], y_train_predict))#计算训练集MSE
        val_errors.append(mean_squared_error(y_val, y_val_predict))#计算测试集MSE
    plt.plot(np.sqrt(train_errors), "r-", linewidth=2, label="train")#绘制训练集RMSE
    plt.plot(np.sqrt(val_errors), "b-", linewidth=3, label="val")#绘制测试集RMSE
    plt.legend(loc="upper right", fontsize=14)   #增加图例
    plt.xlabel("Training set size", fontsize=14) 
    plt.ylabel("RMSE", fontsize=14)            

lin_reg = LinearRegression()
plot_learning_curves(lin_reg, X, y)
plt.axis([0, 80, 0, 3])                         
plt.show()    

​

​

从Learning Curve看出，随着样本增加val不断下降，对于该数据集而言，当训练集为80时，训练集和测试集误差基本相等。

🍒2.正则化

过拟合是机器学习中一个非常重要的问题，减少过拟合有很多方法，例如正则化、增加数据或early stopping等对于线性模型而言，正则化通常通过约束模型系数来实现。接下来主要介绍岭回归、Lasso回归、early stopping

🍑2.1岭回归

岭回归相对于最小二乘法的优势来源于能通过 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> λ \lambda </math>λ来权衡偏差方差。随着 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> λ \lambda </math>λ 的增加，岭回归拟合的灵活性降低，导致方差减小，但偏差增大。岭回归和最小二乘法估计非常类似，但是最小化的损失函数不同，这里是让下述损失函数最小：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ∑ i = 1 n ( y i − β 0 − ∑ j = 1 p β j x i j ) 2 + λ ∑ j = 1 p β j 2 = R S S + λ ∑ j = 1 p β j 2 \sum_{i=1}^{n}(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^{p}\beta_jx_{ij})^2+\lambda\sum_{j=1}^{p}\beta_j^2=RSS+\lambda\sum_{j=1}^{p}\beta_j^2 </math>i=1∑n(yi−β0−j=1∑pβjxij)2+λj=1∑pβj2=RSS+λj=1∑pβj2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> λ ≥ 0 \lambda \geq 0 </math>λ≥0.其中 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> λ ∑ j = 1 p β j 2 \lambda\sum_{j=1}^{p}\beta_j^2 </math>λ∑j=1pβj2是惩罚项.此时如果 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β j \beta_j </math>βj越小，那么损失函数越小，以此来控制回归系数。当 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> λ = 0 \lambda=0 </math>λ=0时，相当于就是普通的线性回归，当 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> λ \lambda </math>λ接近无穷大时，所有的回归系数均为0.因此对于每一个 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> λ \lambda </math>λ都会产生一系列不同的回归系数。因此如何选择 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> λ \lambda </math>λ是一个需要思考的问题，下面我们看看如何实现岭回归

#生成数据集
np.random.seed(42)#设置随机种子，保障代码重用性
m = 20
X = 3 * np.random.rand(m, 1)
y = 1 + 0.5 * X + np.random.randn(m, 1) / 1.5
X_new = np.linspace(0, 3, 100).reshape(100, 1)

#训练模型
from sklearn.linear_model import Ridge
ridge_reg = Ridge(alpha=1, random_state=42)
ridge_reg.fit(X, y)
ridge_reg.get_params()

{'alpha': 1,
 'copy_X': True,
 'fit_intercept': True,
 'max_iter': None,
 'normalize': False,
 'random_state': 42,
 'solver': 'auto',
 'tol': 0.001}

上述是我们去alphl=1的情况下的拟合值，但是alpha是一个超参数，我们有时候需要对进行交叉验证等方法来进行选择，下面我们来看一下alphl分别为1,10,100的拟合结果图

![output_25_0](output_25_0.pngfrom sklearn.linear_model import Ridge
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
def plot_model(model_class, alphas, **model_kargs):
    for alpha, style in zip(alphas, ("b-", "g--", "r:")):
        model = model_class(alpha, **model_kargs) if alpha > 0 else LinearRegression()
        model.fit(X, y)
        y_new_regul = model.predict(X_new)
        lw = 2 if alpha > 0 else 1
        plt.plot(X_new, y_new_regul, style, linewidth=lw, label=r"$\alpha = {}$".format(alpha))
    plt.plot(X, y, "b.", linewidth=3)
    plt.legend(loc="upper left", fontsize=15)
    plt.xlabel("$x_1$", fontsize=18)
    plt.axis([0, 3, 0, 4])

plt.figure(figsize=(8,4))
plot_model(Ridge, alphas=(0, 10, 100), random_state=42)
plt.ylabel("$y$", rotation=0, fontsize=18)
plt.savefig("ridge_regression_plot")
plt.show()

​

上图是在 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> α \alpha </math>α取不同值的拟合结果，可以发现，当 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> α \alpha </math>α越大，回归曲线越平缓，因为对这些系数的约束越大

🍐2.2 Lasso回归

岭回归确实有一个明显的缺点。岭回归将在最终模型中包含所有预测变量。惩罚项只会让所有的回归系数接近于0，但是不会等于0(除非 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> λ = ∞ \lambda=\infty </math>λ=∞)。这对预测准确性来说可能没有影响，但在变量数量相当大的情况下，模型的可解释性有待考量。然后Lasso回归相对而言可以解决这个问题。与岭回归不同的是，Lasso回归可以选择最重要的几个特征拟合模型，可以让某些不重要变量的系数等于零，从而达到降纬的效果,基本公式如下：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ∑ i = 1 n ( y i − β 0 − ∑ j = 1 p β j x i j ) 2 + λ ∑ j = 1 p ∣ β j ∣ = R S S + λ ∑ j = 1 p ∣ β j ∣ \sum_{i=1}^{n}(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^{p}\beta_jx_{ij})^2+\lambda\sum_{j=1}^{p}|\beta_j|=RSS+\lambda\sum_{j=1}^{p}|\beta_j| </math>i=1∑n(yi−β0−j=1∑pβjxij)2+λj=1∑p∣βj∣=RSS+λj=1∑p∣βj∣

from sklearn.linear_model import Lasso

plt.figure(figsize=(8,4))

plot_model(Lasso, alphas=(0, 0.1, 1), random_state=42)
plt.ylabel("$y$", rotation=0, fontsize=18)

plt.savefig("lasso_regression_plot")
plt.show()

🍏2.3 early stopping

正则化迭代学习算法（如梯度下降）的另一种非常不同的方法是，一旦验证误差达到最小值，就停止训练，被称为early stopping该方法通过批量梯度下降进行训练。随着时间的推移，算法学习，训练集上的预测误差（RMSE）和验证集上的预测误差都会下降。但过了一段时间后，验证误差又会上升（导致了过拟合）。这个时候我们可以做的是提取结束训练，当模型不会达到过拟合的程度。也被称为"免费的午餐"，下面我们来看看具体是如何实现的

# 生成数据集
np.random.seed(42)
m = 100
X = 6 * np.random.rand(m, 1) - 3
y = 2 + X + 0.5 * X**2 + np.random.randn(m, 1)
X_train, X_val, y_train, y_val = train_test_split(X[:50], y[:50].ravel(), test_size=0.5, random_state=10)

from copy import deepcopy
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
poly_scaler = Pipeline([
        ("poly_features", PolynomialFeatures(degree=90, include_bias=False)),#生成多项式回归
        ("std_scaler", StandardScaler())
    ])

X_train_poly_scaled = poly_scaler.fit_transform(X_train)#标准化处理
X_val_poly_scaled = poly_scaler.transform(X_val)#标准化

sgd_reg = SGDRegressor(max_iter=1, tol=-np.infty, warm_start=True,
                       penalty=None, learning_rate="constant", eta0=0.0005, random_state=42)#拟合SGD回归

minimum_val_error = float("inf")
best_epoch = None#定义最优的迭代次数
best_model = None#定义最优的模型
for epoch in range(1000):
    sgd_reg.fit(X_train_poly_scaled, y_train)  # 拟合模型
    y_val_predict = sgd_reg.predict(X_val_poly_scaled)#预测
    val_error = mean_squared_error(y_val, y_val_predict)#计算MSE
    if val_error < minimum_val_error:
        minimum_val_error = val_error
        best_epoch = epoch
        best_model = deepcopy(sgd_reg)
best_epoch,best_model

(239,
 SGDRegressor(eta0=0.0005, learning_rate='constant', max_iter=1, penalty=None,
              random_state=42, tol=-inf, warm_start=True))

可以看出第239次迭代时，拟合效果最好，下面进行可视化

sgd_reg = SGDRegressor(max_iter=1, tol=-np.infty, warm_start=True,
                       penalty=None, learning_rate="constant", eta0=0.0005, random_state=42)

n_epochs = 500
train_errors, val_errors = [], []
for epoch in range(n_epochs):
    sgd_reg.fit(X_train_poly_scaled, y_train)
    y_train_predict = sgd_reg.predict(X_train_poly_scaled)
    y_val_predict = sgd_reg.predict(X_val_poly_scaled)
    train_errors.append(mean_squared_error(y_train, y_train_predict))
    val_errors.append(mean_squared_error(y_val, y_val_predict))

best_epoch = np.argmin(val_errors)
best_val_rmse = np.sqrt(val_errors[best_epoch])

plt.annotate('Best model',
             xy=(best_epoch, best_val_rmse),
             xytext=(best_epoch, best_val_rmse + 1),
             ha="center",
             arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.05),
             fontsize=16,
            )
plt.plot([0, n_epochs], [best_val_rmse, best_val_rmse], "k:", linewidth=2)
plt.plot(np.sqrt(val_errors), "b-", linewidth=3, label="Validation set")
plt.plot(np.sqrt(train_errors), "r--", linewidth=2, label="Training set")
plt.legend(loc="upper right", fontsize=14)
plt.xlabel("Epoch", fontsize=14)
plt.ylabel("RMSE", fontsize=14)
plt.savefig("early_stopping_plot")
plt.show()

​

best_epoch, best_model

(239,
 SGDRegressor(eta0=0.0005, learning_rate='constant', max_iter=1, penalty=None,
              random_state=42, tol=-inf, warm_start=True))

本章的分享到此结束，下一章将进一步分享广义线性模型：logistic回归和softmax回归等