数据结构-----堆(完全二叉树)

灰勒塔德2023-09-23 17:46

目录

前言

一.堆

1.堆的概念

2.堆的存储方式

二.堆的操作方法

1.堆的结构体表示

2.数字交换接口函数

3.向上调整（难点）

4.向下调整（难点）

5.创建堆

6.堆的插入

7.判断空

8.堆的删除

9.获取堆的根(顶)元素

10.堆的遍历

11.销毁堆

完整代码

三.堆的应用（堆排序）

1.算法介绍

2.基本思想

3.代码实现

4.算法分析

前言

今天我们开始学习一种二叉树，没错，那就是完全二叉树，完全二叉树又叫做堆，在此之前我们简单介绍过了完全二叉树的概念（链接：数据结构-----树和二叉树的定义与性质_灰勒塔德的博客-CSDN博客），这种类型的二叉树又有什么特点呢？代码怎么去实现呢？应用有那些呢？下面就一起来看看吧！

一.堆

1.堆的概念

堆（heap）是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象，物理层面上是一个数组，逻辑上是一个完全二叉树。堆总是满足下列性质：

  • 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；

  • 堆总是一棵完全二叉树。

  • 满足任意父节点都大于子节点的称作为大堆

  • 满足任意子节点都大于父节点的称作为小堆

  • tip:（下文会以大堆的创建为示例）

如图所示：

2.堆的存储方式

堆的储存原则是从上到下，从左到右，也就是说先有上面的父节点才会有子节点，先有左子节点，才会有右子节点 ，所以堆可以去通过一个数组完整的表示出来，如下图所示：

二.堆的操作方法

以下是一个堆要实现的基本功能，下面我会一一去详细解释说明

cpp 复制代码 
void swap(DataType* a, DataType* b);//交换数据

void Adjust_Up(DataType* data, int child, int n);//向上调整

void Adjust_Down(DataType* data, int parent, int n);//向下调整

void Heap_Create(Heap* hp, DataType* data, int n);//创建堆

bool isEmpty(Heap* hp);//判断空

void Heap_Insert(Heap* hp, DataType x);//堆的插入

void Heap_Del(Heap* hp);//堆的删除操作

DataType Heap_Root(Heap* hp);//获取根元素

void Heap_show(Heap* hp);//堆的遍历

void Heap_Destory(Heap* hp);//堆的销毁

1.堆的结构体表示

cpp 复制代码 
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#define Maxsize 50

//顺序结构
//堆（完全二叉树）
typedef int DataType;	//定义数据的类型
typedef struct Heap
{
	int size;	//当前节点数量
	int capacity;	//最大容量
	DataType* data;	//数据储存地址
}Heap;

2.数字交换接口函数

cpp 复制代码 
//数据交换接口
void swap(DataType* a, DataType* b) {
	DataType temp = *a;
	*a = *b;
	*b = temp;
}

3.向上调整（难点）

创建大堆时，向上调整的目的是，在有子节点位置的情况下，进行与父节点的大小比较，如果子节点大于父节点，那么就进行交换，然后新的子节点就是上一个的父节点，依次这样比较下去，最后到根节点为止，如图所示：

代码实现：

cpp 复制代码 
//向上调整
void Adjust_Up(DataType* data, int child, int n) {
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0) {
		//如果子节点大于父节点就进行数值交换，然后此时的子节点就是前一个父节点，再找到
		//新的父节点，继续进行同样的操作，直到根节点为止
		if (data[child] > data[parent])
		{
			swap(&data[child], &data[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

4.向下调整（难点）

同样的还有向下调整，如果有了当前的父节点位置，那么就要跟子节点进行比较，但是子节点有左和右子节点，所以左右子节点也要去比较，取到其中比较大的子节点与父节点比较，如果这个字节点大于父节点的话，那就进行数字交换，然后新的父节点就是上一个的子节点，依次往下遍历进行同样的操作。

代码实现：

cpp 复制代码 
//向下调整
void Adjust_Down(DataType* data, int parent, int n) {
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child <n ) {
		if (child+1 < n && data[child] < data[child+1])
		{
			//如果右子节点大于左子节点，那就child+1，选中到右子节点
			child++;
		}
		if (data[child] > data[parent]) {
			//同样的，有了当前父节点，然后找到子节点，进行向下遍历调整操作
			swap(&data[child], &data[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

5.创建堆

已有一个数组{ 5,1,2,3,6,4,8 }，怎么把这个数组放入堆里面呢？同样的，空间申请去申请到一块连续的空间，然后依次把数据存入到这个数组里面去，最后进行向下调整，以达到堆的形式。

放入堆之后如下图所示：

代码实现：

cpp 复制代码 
//创建堆
void Heap_Create(Heap* hp, DataType* data, int n) {
	assert(hp);
	hp->data = (DataType*)malloc(sizeof(DataType) * n);
	if (!hp->data) {
		printf("ERROR\n");
		exit(-1);
	}
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		hp->data[i] = data[i];//赋值
	}
	hp->size = n;
	hp->capacity = Maxsize;
	for (int j = (n - 1) / 2; j >= 0; j--) {
		//创建完成了之后，就要进行向下调整
		Adjust_Down(hp->data, j ,hp->size);
	}
}

6.堆的插入

堆的插入，就是在堆的最后面去添加一个元素，添加完成之后，就要去进行向上调整操作，如下图所示：

代码实现：

cpp 复制代码 
//堆的插入
void Heap_Insert(Heap* hp, DataType x) {
	assert(hp);
	//如果此时的堆空间满了，那么就要去扩容空间
	if (hp->size == hp->capacity) {
		DataType* temp = (DataType*)realloc(hp->data,sizeof(DataType)  * (hp->capacity+1));//追加1个空间
		if (!temp) {
			printf("ERROR\n");
			exit(-1);
		}
		hp->data = temp;
		hp->data[hp->size] = x;
		hp->size++;
		hp->capacity++;
	}
	else
	{
		hp->data[hp->size] = x;
		hp->size++;
	}
	Adjust_Up(hp->data, hp->size - 1, hp->size);//插入后进行向上调整
}

7.判断空

cpp 复制代码 
//判断空
bool isEmpty(Heap* hp) {
	assert(hp);
	return hp->size == 0;
}

8.堆的删除

堆的删除操作是删除掉根节点，过程是，先把最后一个节点与根节点进行交换，然后重新进行向下调整。（堆的删除操作，删除掉的是根节点！）

代码实现：

cpp 复制代码 
//堆的删除,删除根节点
void Heap_Del(Heap* hp) {
	assert(hp);
	if (!isEmpty(hp)) {
		swap(&hp->data[hp->size - 1], &hp->data[0]);//根节点和尾节点进行交换
		hp->size--;
		Adjust_Down(hp->data, 0, hp->size);//向下调整
	}
}

9.获取堆的根(顶)元素

cpp 复制代码 
//获取堆顶元素
DataType Heap_Root(Heap* hp) {
	assert(hp);
	if (!isEmpty(hp))
		return hp->data[0];
	else
		exit(0);
}

10.堆的遍历

堆的遍历就直接按照数组的顺序去遍历就行了，完全二叉树的逻辑上是从上到下，从左到右去遍历的，代码如下：

cpp 复制代码 
//输出堆元素（按照顺序）
void Heap_show(Heap* hp) {
	assert(hp);
	if (isEmpty(hp)) {
		printf("The Heap is etmpy\n");
		return;
	}
	for (int i = 0; i < hp->size; i++)
		printf("%d ", hp->data[i]);
}

11.销毁堆

cpp 复制代码 
//堆的销毁
void Heap_Destory(Heap* hp) {
	assert(hp);
	hp->size = hp->capacity = 0;
	free(hp);//释放空间
}

完整代码

cpp 复制代码 
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#define Maxsize 50

//顺序结构
//堆（完全二叉树）
typedef int DataType;	//定义数据的类型
typedef struct Heap
{
	int size;	//当前节点数量
	int capacity;	//最大容量
	DataType* data;	//数据储存地址
}Heap;


//数据交换接口
void swap(DataType* a, DataType* b) {
	DataType temp = *a;
	*a = *b;
	*b = temp;
}

//向上调整
void Adjust_Up(DataType* data, int child, int n) {
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0) {
		//如果子节点大于父节点就进行数值交换，然后此时的子节点就是前一个父节点，再找到
		//新的父节点，继续进行同样的操作，直到根节点为止
		if (data[child] > data[parent])
		{
			swap(&data[child], &data[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

//向下调整
void Adjust_Down(DataType* data, int parent, int n) {
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child <n ) {
		if (child+1 < n && data[child] < data[child+1])
		{
			//如果右子节点大于左子节点，那就child+1，选中到右子节点
			child++;
		}
		if (data[child] > data[parent]) {
			//同样的，有了当前父节点，然后找到子节点，进行向下遍历调整操作
			swap(&data[child], &data[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

//创建堆
void Heap_Create(Heap* hp, DataType* data, int n) {
	assert(hp);
	hp->data = (DataType*)malloc(sizeof(DataType) * n);
	if (!hp->data) {
		printf("ERROR\n");
		exit(-1);
	}
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		hp->data[i] = data[i];//赋值
	}
	hp->size = n;
	hp->capacity = Maxsize;
	for (int j = (n - 1) / 2; j >= 0; j--) {
		//创建完成了之后，就要进行向下调整
		Adjust_Down(hp->data, j ,hp->size);
	}
}

//判断空
bool isEmpty(Heap* hp) {
	assert(hp);
	return hp->size == 0;
}

//堆的插入
void Heap_Insert(Heap* hp, DataType x) {
	assert(hp);
	//如果此时的堆空间满了，那么就要去扩容空间
	if (hp->size == hp->capacity) {
		DataType* temp = (DataType*)realloc(hp->data,sizeof(DataType)  * (hp->capacity+1));//追加1个空间
		if (!temp) {
			printf("ERROR\n");
			exit(-1);
		}
		hp->data = temp;
		hp->data[hp->size] = x;
		hp->size++;
		hp->capacity++;
	}
	else
	{
		hp->data[hp->size] = x;
		hp->size++;
	}
	Adjust_Up(hp->data, hp->size - 1, hp->size);//插入后进行向上调整
}

//堆的删除,取出根节点
void Heap_Del(Heap* hp) {
	assert(hp);
	if (!isEmpty(hp)) {
		swap(&hp->data[hp->size - 1], &hp->data[0]);//根节点和尾节点进行交换
		hp->size--;
		Adjust_Down(hp->data, 0, hp->size);//向下调整
	}
}


//获取堆顶元素
DataType Heap_Root(Heap* hp) {
	assert(hp);
	if (!isEmpty(hp))
		return hp->data[0];
	else
		exit(0);
}

//输出堆元素（按照顺序）
void Heap_show(Heap* hp) {
	assert(hp);
	if (isEmpty(hp)) {
		printf("The Heap is etmpy\n");
		return;
	}
	for (int i = 0; i < hp->size; i++)
		printf("%d ", hp->data[i]);
}

//堆的销毁
void Heap_Destory(Heap* hp) {
	assert(hp);
	hp->size = hp->capacity = 0;
	free(hp);//释放空间
}

三.堆的应用（堆排序）

1.算法介绍

堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

2.基本思想

利用大顶堆(小顶堆)堆顶记录的是最大关键字(最小关键字)这一特性，使得每次从无序中选择最大记录(最小记录)变得简单。

① 将待排序的序列构造成一个最大堆，此时序列的最大值为根节点
② 依次将根节点与待排序序列的最后一个元素交换
③ 再维护从根节点到该元素的前一个节点为最大堆，如此往复，最终得到一个递增序列

3.代码实现

cpp 复制代码 
#include<stdio.h>
#include<assert.h>
//数据交换接口
void swap(int *a, int *b) {
	int temp = *a;
	*a = *b;
	*b = temp;
}

//向下调整
void Adjust_Down(int* data, int parent, int n) {
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n) {
		if (child + 1 < n && data[child] < data[child + 1])
		{
			//如果右子节点大于左子节点，那就child+1，选中到右子节点
			child++;
		}
		if (data[child] > data[parent]) {
			//同样的，有了当前父节点，然后找到子节点，进行向下遍历调整操作
			swap(&data[child], &data[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

//堆排序算法
void Heap_sort(int* arr, int n) {
	assert(arr);
	for (int i = (n - 2) / 2; i >= 0; i--) {
		Adjust_Down(arr, i, n);
	}//先形成最大堆

	int end = n - 1;
	//从小到大排序
	while (end > 0) {
		swap(&arr[0], &arr[end]);
		Adjust_Down(arr, 0, end);
		end--;	//此时最后一个也就是当前的最大值已经排序好了
	}
}

int main() {
	int a[9] = { 5,1,2,3,6,4,8,2,10 };
	Heap_sort(a, sizeof(a) / sizeof(int));
	for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); i++) {
		printf("%d ", a[i]);
	}
}
//输出
//1 2 2 3 4 5 6 8 10

4.算法分析

  • 平均时间复杂度：O(nlogn)
  • 最佳时间复杂度：O(nlogn)
  • 最差时间复杂度：O(nlogn)
  • 稳定性：不稳定

以上就是本期的内容，我们下次见！

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