线性规划（Matlab）
线性规划
线性规划：约束条件和目标函数都是线性的。简单点说，所有的决策变量在目标函数和约束条件中都是一次方。
Matlab函数
Matlab函数：
matlab
[x, value] = linprog(func, A, b, Aeq, beq ,lb, ub);参数解释：
- func 表示目标函数。
- A 表示不等式约束条件系数矩阵，b 表示不等式约束条件常数矩阵。
- Aeq 表示等式约束条件系数矩阵，beq 表示等式约束条件常数矩阵。
- lb 表示决策变量的下限数组，ub表示决策变量的上限数组。
- x 表示目标函数 func 取得最小值时的决策变量取值数组。
- value 表示目标函数 func 取得的最小值。
Matlab中线性规划的标准形式：
min x c T x \min_x c^Tx xmincTx
s . t . { A x ⩽ b A e q ⋅ x = b e q l b ⩽ x ⩽ u b s.t. \begin{cases} Ax\leqslant b\\ Aeq\cdot x= beq\\ lb\leqslant x\leqslant ub\\ \end{cases} s.t.⎩ ⎨ ⎧Ax⩽bAeq⋅x=beqlb⩽x⩽ub
注意：
- 对于不存在的约束用空矩阵[]，意思是例如beq条件不存在，但是lb和ub条件存在，可以写成linprog(func, A, b, Aeq, [] ,lb, ub)。如果不是中间某个参数不存在，而是后面都不存在就可以省略，例如lb和ub不存在，可以写成linprog(func, A, b, Aeq, beq)。
- 根据Matlab标准，默认求解最小值，如果要求解最大值，把目标函数变成相反数（系数全部乘以-1）；约束条件默认求的都是小于等于或者等号，大于号得转成小于等于。就是说拿到一个目标函数和约束条件，放进Matlab求解前，要先转换为Matlab标准。
Matlab使用例子
步骤：按照数模题目进行建模，得到目标函数和约束条件，然后把目标函数和约束条件化为标准形式，再化成matlab里面矩阵形式，再填入代码中。
目标函数和约束条件：
m a x z = x 1 + x 2 − 3 x 3 max\quad z=x_1+x_2-3x_3 maxz=x1+x2−3x3
s . t . { x 1 + x 2 + x 3 = 6 x 1 − x 2 ≥ 2 x 1 + x 2 − 2 x 3 ≤ 5 x 1 , x 2 , x 3 ≤ 15 s.t. \begin{cases} x_1+x_2+x_3=6\\ x_1-x_2\geq2\\ x_1+x_2-2x_3\leq5\\ x_1,x_2,x_3\leq15\\ \end{cases} s.t.⎩ ⎨ ⎧x1+x2+x3=6x1−x2≥2x1+x2−2x3≤5x1,x2,x3≤15
根据Matlab标准化后的目标函数和约束条件：
m i n w = − x 1 − x 2 + 3 x 3 min\quad w=-x_1-x_2+3x_3 minw=−x1−x2+3x3
s . t . { x 1 + x 2 + x 3 = 6 − x 1 + x 2 + 0 ∗ x 3 ≤ − 2 x 1 + x 2 − 2 x 3 ≤ 5 x 1 , x 2 , x 3 ≤ 15 s.t. \begin{cases} x_1+x_2+x_3=6\\ -x_1+x_2+0*x_3\leq-2\\ x_1+x_2-2x_3\leq5\\ x_1,x_2,x_3\leq15\\ \end{cases} s.t.⎩ ⎨ ⎧x1+x2+x3=6−x1+x2+0∗x3≤−2x1+x2−2x3≤5x1,x2,x3≤15
约束条件矩阵化：
( 1 − 1 0 1 1 − 2 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ≤ ( − 2 5 ) \left(\begin {array}{c} 1 &-1 &0 \\ 1 &1 &-2 \\ \end{array}\right) \left(\begin {array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{array}\right) \leq \left(\begin {array}{c} -2\\ 5\\ \end{array}\right) (11−110−2) x1x2x3 ≤(−25)
1 1 1 \] ⋅ \[ x 1 x 2 x 3 \] T = 6 \\left\[\\begin {array}{c} 1\&1\&1 \\end{array}\\right\] \\cdot {\\left\[\\begin {array}{c} x_1\&x_2\&x_3 \\end{array}\\right\]}\^T=6 \[111\]⋅\[x1x2x3\]T=6 \[ x 1 x 2 x 3 \] T ≤ \[ 15 15 15 \] T {\\left\[\\begin {array}{c} x_1\&x_2\&x_3 \\end{array}\\right\]}\^T\\leq{\\left\[\\begin {array}{c} 15\&15\&15 \\end{array}\\right\]}\^T \[x1x2x3\]T≤\[151515\]T Matlab代码： ```matlab func=[-1;-1;3]; A=[1,-1,0;1,1,-1]; b=[-2;5]; aeq=[1,1,1] beq=6; ub=[15;15;15]; [x,value]=linprog(func,A,b,aeq,beq,[],ub); ``` 结果： ```matlab >> x x = -9.5000 15.0000 0.5000 >> value value = -4 ```