数学建模| 线性规划（Matlab）

线性规划（Matlab）

线性规划
Matlab函数
Matlab使用例子

线性规划

线性规划：约束条件和目标函数都是线性的。简单点说，所有的决策变量在目标函数和约束条件中都是一次方。

Matlab函数

Matlab函数：

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[x, value] = linprog(func, A, b, Aeq, beq ,lb, ub);

参数解释：

func 表示目标函数。
A 表示不等式约束条件系数矩阵，b 表示不等式约束条件常数矩阵。
Aeq 表示等式约束条件系数矩阵，beq 表示等式约束条件常数矩阵。
lb 表示决策变量的下限数组，ub表示决策变量的上限数组。
x 表示目标函数 func 取得最小值时的决策变量取值数组。
value 表示目标函数 func 取得的最小值。

Matlab中线性规划的标准形式：
min ⁡ x c T x \min_x c^Tx xmincTx
s . t . { A x ⩽ b A e q ⋅ x = b e q l b ⩽ x ⩽ u b s.t. \begin{cases} Ax\leqslant b\\ Aeq\cdot x= beq\\ lb\leqslant x\leqslant ub\\ \end{cases} s.t.⎩ ⎨ ⎧Ax⩽bAeq⋅x=beqlb⩽x⩽ub

注意：

对于不存在的约束用空矩阵\[\]，意思是例如beq条件不存在，但是lb和ub条件存在，可以写成linprog(func, A, b, Aeq, \[\] ,lb, ub)。如果不是中间某个参数不存在，而是后面都不存在就可以省略，例如lb和ub不存在，可以写成linprog(func, A, b, Aeq, beq)。
根据Matlab标准，默认求解最小值，如果要求解最大值，把目标函数变成相反数（系数全部乘以-1）；约束条件默认求的都是小于等于或者等号，大于号得转成小于等于。就是说拿到一个目标函数和约束条件，放进Matlab求解前，要先转换为Matlab标准。

Matlab使用例子

步骤：按照数模题目进行建模，得到目标函数和约束条件，然后把目标函数和约束条件化为标准形式，再化成matlab里面矩阵形式，再填入代码中。

目标函数和约束条件：
m a x z = x 1 + x 2 − 3 x 3 max\quad z=x_1+x_2-3x_3 maxz=x1+x2−3x3
s . t . { x 1 + x 2 + x 3 = 6 x 1 − x 2 ≥ 2 x 1 + x 2 − 2 x 3 ≤ 5 x 1 , x 2 , x 3 ≤ 15 s.t. \begin{cases} x_1+x_2+x_3=6\\ x_1-x_2\geq2\\ x_1+x_2-2x_3\leq5\\ x_1,x_2,x_3\leq15\\ \end{cases} s.t.⎩ ⎨ ⎧x1+x2+x3=6x1−x2≥2x1+x2−2x3≤5x1,x2,x3≤15

根据Matlab标准化后的目标函数和约束条件：
m i n w = − x 1 − x 2 + 3 x 3 min\quad w=-x_1-x_2+3x_3 minw=−x1−x2+3x3
s . t . { x 1 + x 2 + x 3 = 6 − x 1 + x 2 + 0 ∗ x 3 ≤ − 2 x 1 + x 2 − 2 x 3 ≤ 5 x 1 , x 2 , x 3 ≤ 15 s.t. \begin{cases} x_1+x_2+x_3=6\\ -x_1+x_2+0*x_3\leq-2\\ x_1+x_2-2x_3\leq5\\ x_1,x_2,x_3\leq15\\ \end{cases} s.t.⎩ ⎨ ⎧x1+x2+x3=6−x1+x2+0∗x3≤−2x1+x2−2x3≤5x1,x2,x3≤15

约束条件矩阵化：
( 1 − 1 0 1 1 − 2 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ≤ ( − 2 5 ) \left(\begin {array}{c} 1 &-1 &0 \\ 1 &1 &-2 \\ \end{array}\right) \left(\begin {array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{array}\right) \leq \left(\begin {array}{c} -2\\ 5\\ \end{array}\right) (11−110−2) x1x2x3 ≤(−25)
$1 1 1$ ⋅ $x 1 x 2 x 3$ T = 6 \left $\\begin {array}{c} 1\&1\&1 \\end{array}\\right$ \cdot {\left $\\begin {array}{c} x_1\&x_2\&x_3 \\end{array}\\right$ }^T=6 $111$ ⋅ $x1x2x3$ T=6
$x 1 x 2 x 3$ T ≤ $15 15 15$ T {\left $\\begin {array}{c} x_1\&x_2\&x_3 \\end{array}\\right$ }^T\leq{\left $\\begin {array}{c} 15\&15\&15 \\end{array}\\right$ }^T $x1x2x3$ T≤ $151515$ T

Matlab代码：

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func=[-1;-1;3];
A=[1,-1,0;1,1,-1];
b=[-2;5];
aeq=[1,1,1]
beq=6;
ub=[15;15;15];
[x,value]=linprog(func,A,b,aeq,beq,[],ub);

结果：

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>> x

x =

   -9.5000
   15.0000
    0.5000

>> value

value =

    -4