【Acwing1027】方格取数（动态规划）题解

题目描述

思路分析

错误思路：

贪心法，先走一次求出最大值，把走过的路上面的数值清零，然后用同样的方法再走一遍求最大值，然后让这两个最大值相加就是最后的结果。

很多人在看到这个题目的时候会有上面的思路，但实践告诉我们，有些数据用上述思路答案是错误的，这是为什么呢？

原因很简单：假设第一次走的时候，有多条路径s1，s2，......可以得到最大值，我们并不知道要选择哪一条，也就是说我们并不知道要把哪一条路上面的数清零，因为不同的选择会对第二次走的结果产生影响！！！

所以要使用其它思路，此处采用动态规划解决

起初，我们很容易想到用四维数组表示状态f $i1$ $j1$ $i2$ $j2$

但其实没有必要，因为我们只需要两条路"同时走"就可以了，也就是说我们可以设置一个维度代表（x，y方向上已经走的路径的和），这个表示为k，那么状态就可以降成三维：f $k$ $i1$ $i2$

下面对集合进行划分：

对于f $k$ $i1$ $i2$ ，包含四部分：

第一部分是第一条路从上边走过来，第二条路是从上面走过来 f $k-1$ $i1-1$ $i2-1$ +t

第二部分是第一条路从右边走过来，第二条路是从上面走过来 f $k-1$ $i1$ $i2-1$ +t

第三部分是第一条路从上边走过来，第二条路是从右面走过来 f $k-1$ $i1-1$ $i2$ +t

第四部分是第一条路从右边走过来，第二条路是从右面走过来 f $k-1$ $i1$ $i2$ +t

那么这个t，怎么求，就要看i1和i2是否相同了，因为如果相同的话，再走到这里值已经清空了：

i1==i2 t=w $i1$ $k-i1$

i1!=i2 t=w $i1$ $k-i1$ +w $i2$ $k-i2$

最后答案即为：f $n+n$ $n$ $n$

cpp 复制代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=15;
int f[N*2][N][N];
int w[N][N];
int n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int a,b,c;
    while(cin>>a>>b>>c,a||b||c)w[a][b]=c;
    for(int k=2;k<=n*2;k++)
    {
        for(int i1=1;i1<=n;i1++)
        {
            for(int i2=1;i2<=n;i2++)
            {
                int j1=k-i1,j2=k-i2;
                if(j1>=1&&j1<=n&&j2>=1&&j2<=n)
                {
                    int t=w[i1][j1];
                    if(i1!=i2)t+=w[i2][j2];
                    int &x=f[k][i1][i2];
                    x=max(x,f[k-1][i1-1][i2-1]+t);
                    x=max(x,f[k-1][i1-1][i2]+t);
                    x=max(x,f[k-1][i1][i2-1]+t);
                    x=max(x,f[k-1][i1][i2]+t);
                }
            }
        }
    }
    cout<<f[2*n][n][n];
    return 0;
}