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对于平面直角坐标系上的坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y),定义如下两种操作:
- 拉伸 k k k倍:横坐标 x x x变为 k x kx kx, 纵坐标 y y y 变为 k y ky ky;
- 旋转 θ \theta θ :将坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y) 绕坐标原点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 逆时针旋转 θ \theta θ 弧度( 0 ≤ θ < 2 π 0 \le \theta < 2 \pi 0≤θ<2π)。易知旋转后的横坐标为 x cos θ − y sin θ x \cos \theta - y \sin \theta xcosθ−ysinθ,纵坐标为 x sin θ + y cos θ x \sin \theta + y\cos \theta xsinθ+ycosθ 。
本题要求将平面坐标 ( x , y ) (x, y) (x,y),经过 n n n个操作 ( t 1 , t 2 , ⋯ , t n ) (t_1, t_2, \cdots, t_n) (t1,t2,⋯,tn)后,对于给定的操作序列,计算 m m m个如下查询:
- i j x y:坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y)经过操作 t i , ⋯ , t j t_i, \cdots, t_j ti,⋯,tj( 1 ≤ i ≤ j ≤ n 1 \le i \le j \le n 1≤i≤j≤n)后的新坐标。
在考场上,笔者发现此题为区间查询问题,因而首先想到使用树状数组。但是树状数组的建树和查询成本都太高,而此题不涉及到对区间值的修改,因而只需要记录 k k k的前缀和和 θ \theta θ的前缀积即可。前缀和向量的建立只需要线性代价,而每次区间查询只需要常数级别的代价。
具体而言,由于拉伸和旋转2种行为相互独立,我们只需分别求出经过 n n n个操作 ( t 1 , t 2 , ⋯ , t n ) (t_1, t_2, \cdots, t_n) (t1,t2,⋯,tn)后,总共旋转的角度和拉伸的倍数。我们仅需维护2个向量:
- 拉伸前缀积向量 k = { k 0 , k 1 , k 2 , ⋯ , k n } \mathbf k = \{k_0,k_1, k_2,\cdots,k_n\} k={k0,k1,k2,⋯,kn},其中 k 0 = 1 k_0=1 k0=1, k i k_i ki为前 i i i次操作的总拉伸的倍数,即前缀积;
- 旋转前缀和向量 θ = { θ 0 , θ 1 , θ 2 , ⋯ , θ n } \mathbf{\theta} = \{\theta_0,\theta_1, \theta_2,\cdots,\theta_n\} θ={θ0,θ1,θ2,⋯,θn},其中 θ 0 = 0 \theta_0=0 θ0=0, θ i \theta_i θi为前 i i i次操作的总旋转角度,即前缀和。
被查询坐标 ( x , y ) (x, y) (x,y)经过 t i , ⋯ , t j t_i, \cdots, t_j ti,⋯,tj( 1 ≤ i ≤ j ≤ n 1 \le i \le j \le n 1≤i≤j≤n)后,拉伸倍数为 k j / k i − 1 k_j / k_{i-1} kj/ki−1,角度为 θ j − θ i − 1 \theta_j-\theta_{i-1} θj−θi−1。
AC代码
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m;
vector<double> xita(100005);
vector<double> k(100005, 1);
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int type;
double value;
cin >> type >> value;
if (type == 1) {
k[i] = k[i - 1] * value;
xita[i] = xita[i - 1];
} else {
k[i] = k[i - 1];
xita[i] = xita[i - 1] + value;
}
}
for (int i = 0; i < m; ++i) {
int l, r;
double x, y;
cin >> l >> r >> x >> y;
double sum_xita = xita[r] - xita[l - 1];
double pro_k = k[r] / k[l - 1];
cout << fixed << setprecision(3) << (x * cos(sum_xita) - y * sin(sum_xita)) * pro_k << " "
<< (x * sin(sum_xita) + y * cos(sum_xita)) * pro_k << endl;
}
return 0;
}