堆与堆排序 - 技术栈

一.什么是堆？

1.堆是完全二叉树，除了树的最后一层结点不需要是满的，其它的每一层从左到右都是满的，如果最后一层结点不是满的，那么要求左满右不满。

2.堆分为两类，大根堆和小根堆。

大根堆每个结点都大于等于它的两个子结点，这里要注意堆中仅仅规定了每个结点大于等于它的两个子结点，但这两个子结点的顺序并没有做规定，跟二叉查找树是有区别的。

小根堆则是小于等于它的两个子结点。

二.堆的实现

堆通常用数组来实现

具体方法就是讲二叉树的结点按照层级顺序放入数组中，根结点在位置1，它的子节点在位置2和3，而子节点的子节点则分别在位置4,5,6,7，以此类推。

上面这张图是从1开始的，但是我习惯从0开始（因为数组的索引一般是从0开始）。

这样的话如果一个父结点的下标为i，则它的父结点的位置为i/2,而它的2i+1和2i+2。这样，在不适用指针的情况下，我们也可以通过计算数组的索引在堆中上下移动。

三.堆的基本操作【上滤，下滤，建堆】

1.下滤

只有树的根元素破坏了堆序性。

我们将破坏堆序性的元素与他的最大子结点比较，如果小于他的最大子结点，如果小于他的最大子结点，则与之交换，持续比较交换，直到该元素大于他的子节点为止，或者移动到底部为止，此时该树就成功地被调整成一个大根堆。我们把根结点向下调整的操作称为下滤，很容易看出复杂度为logN。

2.上滤

只有树的最后一个元素破坏了堆序性。

同理让它和它的父元素比较，若大于父节点则交换，直到无法上移为止。

这个操作主要用于插入新元素到堆中。复杂度也为logN。

3.建堆

如果有一个乱序的数组，怎么操作让它整理为堆呢？

有两种方法，一种方法为自顶向下建堆法，对应的操作为上滤。

【1】自顶向下建堆法

方法：插入堆->上滤

【2】自下向上建堆法

方法：对每个父结点进行下滤

四.堆排序及实现步骤

构造堆（如果要从小到大则构造大顶堆，否则小顶堆）

2.得到堆顶元素，这个值就是最大值

3.交换堆顶元素和数组中的最后一个元素，此时所有元素中的最大元素已经放到了合适的位置

4.对堆顶的元素进行上滤操作，重新让除了最后一个元素的剩余元素中的最大值放到堆顶。

5.重复2-4步骤，直到堆中剩一个元素为止。

示例代码：将一个数组从小到大排序：

cpp 复制代码

#include <iostream>
using namespace std;

// 调整大顶堆的函数
void heapify(int arr[], int n, int i) {
    int largest = i;    // 初始化最大元素为根节点
    int left = 2 * i + 1;
    int right = 2 * i + 2;

    // 如果左子节点比根节点大，则更新最大元素的索引
    if (left < n && arr[left] > arr[largest])
        largest = left;

    // 如果右子节点比当前最大元素大，则更新最大元素的索引
    if (right < n && arr[right] > arr[largest])
        largest = right;

    // 如果最大元素不是根节点，则交换根节点和最大元素的位置
    if (largest != i) {
        swap(arr[i], arr[largest]);

        // 继续调整以确保新的子树也满足大顶堆的性质
        heapify(arr, n, largest);
    }
}

// 堆排序函数
void heapSort(int arr[], int n) {
    // 构建初始的大顶堆，从最后一个非叶子节点开始
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
        heapify(arr, n, i);

    // 依次将堆顶元素（最大值）与数组末尾元素交换，并重新调整堆
    for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
        swap(arr[0], arr[i]);    // 将当前最大值放到数组末尾
        heapify(arr, i, 0);      // 重新调整堆，排除已排序的部分
    }
}

// 输出数组元素的辅助函数
void printArray(int arr[], int n) {
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cout << arr[i] << " ";
    cout << endl;
}

// 测试堆排序算法
int main() {
    int arr[] = {9, 3, 7, 5, 1, 6, 8, 2, 4};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    cout << "原始数组：" << endl;
    printArray(arr, n);

    heapSort(arr, n);

    cout << "排序后的数组：" << endl;
    printArray(arr, n);

    return 0;
}

如果从大到小排序，只要将构造大顶堆的函数改为构造小顶堆即可：

cpp 复制代码

// 调整小顶堆的函数
void heapify(int arr[], int n, int i) {
    int smallest = i;    // 初始化最小元素为根节点
    int left = 2 * i + 1;
    int right = 2 * i + 2;

    // 如果左子节点比根节点小，则更新最小元素的索引
    if (left < n && arr[left] < arr[smallest])
        smallest = left;

    // 如果右子节点比当前最小元素小，则更新最小元素的索引
    if (right < n && arr[right] < arr[smallest])
        smallest = right;

    // 如果最小元素不是根节点，则交换根节点和最小元素的位置
    if (smallest != i) {
        swap(arr[i], arr[smallest]);

        // 继续调整以确保新的子树也满足小顶堆的性质
        heapify(arr, n, smallest);
    }
}