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一、题目
给你一个整数数组prices
,其中prices[i]
表示某支股票第i
天的价格。在每一天,你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候最多只能持有一股股票。你也可以先购买,然后在同一天出售。返回你能获得的最大利润。
示例 1:
输入:prices = [7,1,5,3,6,4]
输出:7
解释:在第2
天(股票价格= 1
)的时候买入,在第3
天(股票价格= 5
)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润= 5 - 1 = 4
。随后,在第 4 天(股票价格 = 3)的时候买入,在第 5 天(股票价格 = 6)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。
总利润为 4 + 3 = 7 。
示例 2:
输入:prices = [1,2,3,4,5]
输出:4
解释:在第1
天(股票价格= 1
)的时候买入,在第5
天 (股票价格= 5
)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润= 5 - 1 = 4
。总利润为4
。
示例 3:
输入:prices = [7,6,4,3,1]
输出:0
解释:在这种情况下, 交易无法获得正利润,所以不参与交易可以获得最大利润,最大利润为0
。
1 <= prices.length <= 3 * 104
0 <= prices[i] <= 104
二、代码
【1】动态规划: 定义状态dp[i][0]
表示第i
天交易完后手里没有股票的最大利润,dp[i][1]
表示第i
天交易完后手里持有一支股票的最大利润(i
从0
开始)。考虑dp[i][0]
的转移方程,如果这一天交易完后手里没有股票,那么可能的转移状态为前一天已经没有股票,即dp[i−1][0]
,或者前一天结束的时候手里持有一支股票,即dp[i−1][1]
,这时候我们要将其卖出,并获得prices[i]
的收益。因此为了收益最大化,我们列出如下的转移方程:dp[i][0]=max{dp[i−1][0],dp[i−1][1]+prices[i]}
再来考虑dp[i][1]
,按照同样的方式考虑转移状态,那么可能的转移状态为前一天已经持有一支股票,即dp[i−1][1]
,或者前一天结束时还没有股票,即dp[i−1][0]
,这时候我们要将其买入,并减少prices[i]
的收益。可以列出如下的转移方程:dp[i][1]=max{dp[i−1][1],dp[i−1][0]−prices[i]}
对于初始状态,根据状态定义我们可以知道第0
天交易结束的时候dp[0][0]=0,dp[0][1]=−prices
因此,我们只要从前往后依次计算状态即可。由于全部交易结束后,持有股票的收益一定低于不持有股票的收益,因此这时候dp[n−1][0]
的收益必然是大于dp[n−1][1]
的,最后的答案即为dp[n−1][0]
。
java
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
if (prices.length < 2) {
return 0;
}
// 思路:通过二维数组表示当前的两种状态 prices[i][0] 表示持有现金 prices[i][1]表示持有股票,每次遍历获取Max
int[][] dp = new int[prices.length][2];
// 初始化0
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);
}
return dp[prices.length - 1][0];
}
}
注意到上面的状态转移方程中,每一天的状态只与前一天的状态有关,而与更早的状态都无关,因此我们不必存储这些无关的状态,只需要将dp[i−1][0]
和dp[i−1][1]
存放在两个变量中,通过它们计算出dp[i][0]
和dp[i][1]
并存回对应的变量,以便于第i+1
天的状态转移即可。
java
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int n = prices.length;
int dp0 = 0, dp1 = -prices[0];
for (int i = 1; i < n; ++i) {
int newDp0 = Math.max(dp0, dp1 + prices[i]);
int newDp1 = Math.max(dp1, dp0 - prices[i]);
dp0 = newDp0;
dp1 = newDp1;
}
return dp0;
}
}
时间复杂度: O(n)
其中n
为数组的长度。一共有2n
个状态,每次状态转移的时间复杂度为O(1)
,因此时间复杂度为O(2n)=O(n)
。
空间复杂度: O(n)
我们需要开辟O(n)
空间存储动态规划中的所有状态。如果使用空间优化,空间复杂度可以优化至O(1)
。
【2】贪心: 由于股票的购买没有限制,因此整个问题等价于寻找x
个不相交的区间(li,ri]
使得如下的等式最大化∑i=1xa[ri]−a[li]
其中li
表示在第li
天买入,ri
表示在第ri
天卖出。同时我们注意到对于(li,ri]
这一个区间贡献的价值a[ri]−a[li]
,其实等价于(li,li+1],(li+1,li+2],...,(ri−1,ri]
这若干个区间长度为1
的区间的价值和,即a[ri]−a[li]=(a[ri]−a[ri−1])+(a[ri−1]−a[ri−2])+...+(a[li+1]−a[li])
因此问题可以简化为找x
个长度为1
的区间(li,li+1]
使得∑i=1xa[li+1]−a[li]
价值最大化。
贪心的角度考虑我们每次选择贡献大于0
的区间即能使得答案最大化,因此最后答案为ans=∑i=1n−1max{0,a[i]−a[i−1]}
其中n
为数组的长度。需要说明的是,贪心算法只能用于计算最大利润,计算的过程并不是实际的交易过程。
考虑题目中的例子[1,2,3,4,5]
,数组的长度n=5
,由于对所有的1≤i<n1
都有a[i]>a[i−1]
,因此答案为ans=∑i=1n−1a[i]−a[i−1]=4
但是实际的交易过程并不是进行4
次买入和4
次卖出,而是在第1
天买入,第5
天卖出。
java
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int ans = 0;
int n = prices.length;
for (int i = 1; i < n; ++i) {
ans += Math.max(0, prices[i] - prices[i - 1]);
}
return ans;
}
}
时间复杂度: O(n)
其中n
为数组的长度。我们只需要遍历一次数组即可。
空间复杂度: O(1)
只需要常数空间存放若干变量。