C++前缀和算法的应用：石头游戏 VIII 原理源码测试用例

本文涉及的基础知识点

C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例包括课程视频

题目

Alice 和 Bob 玩一个游戏，两人轮流操作， Alice 先手。

总共有 n 个石子排成一行。轮到某个玩家的回合时，如果石子的数目大于 1 ，他将执行以下操作：

选择一个整数 x > 1 ，并且移除最左边的 x 个石子。

将移除的石子价值之和累加到该玩家的分数中。

将一个新的石子放在最左边，且新石子的值为被移除石子值之和。

当只剩下一个石子时，游戏结束。

Alice 和 Bob 的分数之差为 (Alice 的分数 - Bob 的分数) 。 Alice 的目标是最大化分数差，Bob 的目标是最小化分数差。

给你一个长度为 n 的整数数组 stones ，其中 stones[i] 是从左边起第 i 个石子的价值。请你返回在双方都采用最优策略的情况下，Alice 和 Bob 的分数之差。

示例 1：

输入：stones = [-1,2,-3,4,-5]

输出：5

解释：

Alice 移除最左边的 4 个石子，得分增加 (-1) + 2 + (-3) + 4 = 2 ，并且将一个价值为 2 的石子放在最左边。stones = [2,-5] 。
Bob 移除最左边的 2 个石子，得分增加 2 + (-5) = -3 ，并且将一个价值为 -3 的石子放在最左边。stones = [-3] 。
两者分数之差为 2 - (-3) = 5 。
示例 2：
输入：stones = [7,-6,5,10,5,-2,-6]
输出：13
解释：
Alice 移除所有石子，得分增加 7 + (-6) + 5 + 10 + 5 + (-2) + (-6) = 13 ，并且将一个价值为 13 的石子放在最左边。stones = [13] 。
两者分数之差为 13 - 0 = 13 。
示例 3：
输入：stones = [-10,-12]
输出：-22
解释：
Alice 只有一种操作，就是移除所有石子。得分增加 (-10) + (-12) = -22 ，并且将一个价值为 -22 的石子放在最左边。stones = [-22] 。
两者分数之差为 (-22) - 0 = -22 。
参数范围：
n == stones.length
2 <= n <= 105
-104 <= stones[i] <= 104

分析

思路

dp[i]表示剩余i个石头时，(先手方分数-后手方分数)的最大值。计算dp[i]时，假定移除石头后，还剩j个,也就是总共（包括之前移除）移除m_c-j个。至少移除一个旧石头，故j的取值范围[0,i) 。cur = stones[0,m_c-j)个石头的价值和 - dp[j]。dp[i]等于cur的最大值。

x > 1

初始状态下，只能移除2个，不能移除1个。

非初始状态下，由于必定会移除新石头，所以移除一个旧石头就可以了。

也就是dp[m_c]时m_c-j不能等于1，也就是j不能m_c-1。j无此限制的取值范围是[0,m_c)，加上此限制后就变成[0,m_c-1),即i < m_c-1

注意

题意：包括新石头，只剩一个石头的时候结束。我的理解：不包括新石头，没石头的时候结束。初始状态外，一定有新石头，所以两种等价。初始状态，且石头大于1时，两者等价，都是未结束。一个石头，两者不等价。但本题石头数>=2。所以在本题范围内等价。

怀疑

这个题目可能出错了，可能是不放新石头。这样需要技巧合并i。

代码

错误代码

错误原因：忽略了x>1。

class Solution {

public:

int stoneGameVIII(vector& stones) {

m_c = stones.size();

vector dp(m_c + 1);//dp[i]表示剩余i个石头时，(先手方分数-后手方分数)的最大值

//计算dp[i]时，假定移除石头后，还剩j个,也就是移除m_c-j个

// cur = stones[0,m_c-j)个石头的价值和 - dp[j]

vector vSum = { 0 };

for (const auto& n : stones)

{

vSum.emplace_back(n + vSum.back());

}

int iMax = vSum[m_c - 0]-dp[0];

for (int i = 1; i <= m_c; i++)

{

dp[i] = iMax;

iMax = max(iMax, vSum[m_c - i] - dp[i]);

}

return dp.back();

}

int m_c;

};

修正缺陷后

解决方法

cpp 复制代码

class Solution {
public:
	int stoneGameVIII(vector<int>& stones) {
		m_c = stones.size();
		//dp[i]表示剩余i个石头时，(先手方分数-后手方分数)的最大值
		m_dp.resize(m_c + 1);
		//计算dp[i]时，假定移除石头后，还剩j个,也就是移除m_c-j个
		// j的取值范围[0,i) 且m_c-j>1
		// cur = stones[0,m_c-j)个石头的价值和 - dp[j]
		vector<int> vSum = { 0 };
		for (const auto& n : stones)
		{
			vSum.emplace_back(n + vSum.back());
		}
		int iMax = vSum[m_c - 0]-m_dp[0];
		for (int i = 1; i <= m_c; i++)
		{
			m_dp[i] = iMax;
			if (m_c - i > 1)
			{
				iMax = max(iMax, vSum[m_c - i] - m_dp[i]);
			}
		}
		return m_dp.back();
	}
	int m_c;
	vector<int> m_dp;//dp[i]表示剩余i个石头时，(先手方分数-后手方分数)的最大值
};

测试用例

template

void Assert(const vector& v1, const vector& v2)

{

if (v1.size() != v2.size())

{

assert(false);

return;

}

for (int i = 0; i < v1.size(); i++)

{

assert(v1[i] == v2[i]);

}

template

void Assert(const T& t1, const T& t2)

{

assert(t1 == t2);

}

int main()

{

Solution slu;

vector stones;

int res = 0;

stones = { -1, 2, -3, 4, -5, 6 };

res = slu.stoneGameVIII(stones);

Assert(3, res);

Assert(vector{0, 3, 3, 3, 3, 3, 3}, slu.m_dp);

stones = { -3,-5,3 };

res = slu.stoneGameVIII(stones);

Assert(-3, res);

Assert(vector{0, -5,-3,-3}, slu.m_dp);

stones = { -1, 2, -3, 4, -5 };

res = slu.stoneGameVIII(stones);

Assert(5, res);

Assert(vector{0, -3, 5, 5, 5, 5}, slu.m_dp);

stones = { -10,-12 };

res = slu.stoneGameVIII(stones);

Assert(-22, res);

Assert(vector{0, -22,-22}, slu.m_dp);

//CConsole::Out(res);

}

2023年2月旧代码

class Solution {

public:

int stoneGameVIII(vector& stones) {

m_c = stones.size();

vector preSum;

int iSum = 0;

for (const auto& s : stones)

{

iSum += s;

preSum.push_back(iSum);

}

vector dp(m_c);

dp.back() = preSum.back();

for (int i = m_c - 2; i >= 1; i--)

{

dp[i] = max(dp[i + 1], preSum[i] - dp[i + 1]);

}

return dp[1];

}

int m_c;

};

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

C++前缀和算法的应用：石头游戏 VIII 原理源码测试用例

本文涉及的基础知识点

题目

分析

思路

x > 1

注意

怀疑

代码

错误代码

修正缺陷后

测试用例

2023年2月旧代码

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