C++前缀和算法的应用：用地毯覆盖后的最少白色砖块原理源码测试用例

本文涉及的基础知识点

题目

给你一个下标从 0 开始的二进制字符串 floor ，它表示地板上砖块的颜色。

floor $i$ = '0' 表示地板上第 i 块砖块的颜色是黑色。

floor $i$ = '1' 表示地板上第 i 块砖块的颜色是白色。

同时给你 numCarpets 和 carpetLen 。你有 numCarpets 条黑色的地毯，每一条黑色的地毯长度都为 carpetLen 块砖块。请你使用这些地毯去覆盖砖块，使得未被覆盖的剩余白色砖块的数目最小。地毯相互之间可以覆盖。

请你返回没被覆盖的白色砖块的最少数目。

示例 1：

输入：floor = "10110101", numCarpets = 2, carpetLen = 2

输出：2

解释：

上图展示了剩余 2 块白色砖块的方案。

没有其他方案可以使未被覆盖的白色砖块少于 2 块。

示例 2：

输入：floor = "11111", numCarpets = 2, carpetLen = 3

输出：0

解释：

上图展示了所有白色砖块都被覆盖的一种方案。

注意，地毯相互之间可以覆盖。
参数范围 :

1 <= carpetLen <= floor.length <= 1000

floor $i$ 要么是 '0' ，要么是 '1' 。

1 <= numCarpets <= 1000

分析

原理

毛毯尽量不相互覆盖，这样可以覆盖更多的白砖。除非：毛毯放不下了。

如果能够覆盖一张毛毯，那么一定可以覆盖无限毛毯。除非 floor.length 小于carpetLen，否则一定可以覆盖。这种情况题目已经排除了。

计算最多可以盖住多少块白砖，白砖数减去盖住的白砖，就是未盖住的白砖数。

假定新毯子覆盖在[iPre,iPre + carpetLen)，那么前一张毯子不一定在[iPre-carpetLen,iPre)，可以更前。所以执行：

dp $i + 1$ = max(dp $i$ , dp $i + 1$ );

执行之前：dp $i$ 的含义是i的最后一张毯子的尾部，可以覆盖最多砖瓦数。

执行之后：dp $i$ 的含义是的最后一张毯子的尾部<=i，可以覆盖最多砖瓦数。

时间复杂度

O(n*n)。两层循环，第一层，枚举第i张毛毯。第二层循环，枚举上一次的覆盖位置。

步骤

一，计算白砖数量的前缀和。

二，两层循环。

##　变量解释


vSum	vSum $i$ 表示 floor[0,i)中白砖的数量，也就是前i块砖中，白砖的数量
pre	表示i块毯子，覆盖了[0,i)，能盖住的最多白砖数

代码

核心代码

class Solution {

public:

int minimumWhiteTiles(string floor, int numCarpets, int carpetLen) {

//错误想法：如果盖毯子，则毯子的末端一定盖住白砖

//计算最多可以盖住多少块白砖

vector vSum = { 0 };//vSum $i$ 表示 floor[0,i)中白砖的数量

for (const char& ch : floor)

{

vSum.emplace_back(vSum.back() + ('1' == ch));

}

m_c = floor.length();

vector pre (m_c+1,0);//表示i块毯子，覆盖了[0,i)，能盖住的最多白砖数

for (int i = 0; i < numCarpets; i++)

{

vector dp = pre;

for (int iPre = 0; iPre < pre.size(); iPre++)

{

const int iNew = min(m_c , iPre + carpetLen);

dp $iNew$ = max(dp $iNew$ , pre $iPre$ + (vSum $iNew$ -vSum $iPre$ ));

}

for (int i = 0; i < m_c; i++)

{

dp $i + 1$ = max(dp $i$ , dp $i + 1$ );

}

pre.swap(dp);

}

return vSum.back() - *std::max_element(pre.begin(),pre.end());

}

int m_c;

};

测试用例

template

void Assert(const vector& v1, const vector& v2)

{

if (v1.size() != v2.size())

{

assert(false);

return;

}

for (int i = 0; i < v1.size(); i++)

{

assert(v1 $i$ == v2 $i$ );

}

template

void Assert(const T& t1, const T& t2)

{

assert(t1 == t2);

}

int main()

{

Solution slu;

string floor = "10110101";

int numCarpets = 2, carpetLen = 2;

int res;

复制代码

floor = "1110111";
numCarpets = 2, carpetLen = 3;
res = slu.minimumWhiteTiles(floor, numCarpets, carpetLen);
Assert(0, res);

floor = "10110101";
numCarpets = 2, carpetLen = 2;
res = slu.minimumWhiteTiles(floor, numCarpets, carpetLen);
Assert(2, res);

floor = "11111";
numCarpets = 2, carpetLen = 3;
res = slu.minimumWhiteTiles(floor, numCarpets, carpetLen);
Assert(0, res);	


//CConsole::Out(res);

}

2023年2月旧代码

class Solution {

public:

int minimumWhiteTiles(const string floor, const int numCarpets, const int carpetLen) {

m_c = floor.length();

//dp $i$ $j$ 已经处理了i块砖，用了j块地毯，最少为覆盖的砖数

vector<vector> dp(m_c+1, vector(numCarpets+1,INT_MAX));

dp $0$ $0$ = 0;

for (int brick = 0; brick < m_c; brick++)

{

for (int iUseCarpets = 0; iUseCarpets <= numCarpets; iUseCarpets++)

{

const int& iValue = dp $brick$ $iUseCarpets$ ;

if (INT_MAX == iValue)

{

continue;

}

//空一格

dp $brick + 1$ $iUseCarpets$ = min(dp $brick + 1$ $iUseCarpets$ , iValue + ('1' == floor $brick$ ));

//假定不重叠，如果重叠右移到不重叠，不影响结果

if (numCarpets == iUseCarpets)

{

continue;

}

const int iNewBrick = min(brick + carpetLen, m_c);

dp $iNewBrick$ $iUseCarpets + 1$ = min(dp $iNewBrick$ $iUseCarpets + 1$ , iValue);

}

return *std::min_element(dp $m_c$ .begin(), dp $m_c$ .end());

}

int m_c;

};

扩展阅读

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者操作系统：win10 开发环境：

VS2022 C++17

C++前缀和算法的应用：用地毯覆盖后的最少白色砖块 原理源码测试用例