实验九 RSA签名算法-
一、实验目的
通过实验掌握GMP开源软件的用法，理解RSA数字签名算法，学会RSA数字签名算法程序设计，提高一般数字签名算法的设计能力。
二、实验要求
(1)基于GMP开源软件，实现RSA签名算法。
(2)要求有对应的程序调试记录和验证记录。
三、实验内容
1.密钥生成算法
这一步骤将为每个用户生成公钥和相应私钥，执行如下操作:
(1) 产生两个不同的大素数p和q。
(2)计算n=pq和φ=(p-1)(q-1)。
(3)选择一个随机数e(1<e<q),满足ged(e,p)=1。
(4)使用扩展欧几里得算法计算d(1<d<q)使得ed = l(modp)。
(5)那么用户得公钥为(n,e),私钥为d。
2.签名生成算法
假设用户A对消息m∈M签名，执行操作如下:
(1)存在一个函数R(* ),将消息m映射为范围[0,n-1]的一个数m，即m=R(m)。
(2)计算s=m"modn。
(3)A对消息m的签名为s。
(4)恢复消息m=R~'(m)。
四、算法实现：
RSA签名算法可以分为三个部分:生成密钥、签名和解签名。关键函数
生成满足gcd(e,p)=1的随机数e(1<e<φ):实现该功能的函数为void e_ gen(mpz_ t e, mpz t fn),第一个参数e为函数的输出。函数过程为:设立flag=1,然后在while循环内部，使用void random_ num(mpz_ .t ran_num, mpz_ t m, mpz_ .t n)函数产生在[2, φ-1]的随机数字e，接着求该数字e与φ(n)的最大公约数，判断该最大公约数是否等于1。如果等于1,则flag=0, while循环结束;否则，继续做循环。循环结束即输出满足需求的随机数e(1<e<<φ)。函数的实现代码如下:
1.密钥生成算法：
cpp
#include <iostream>
#include <cmath>
// 函数声明
int gcd(int a, int b);
int modInverse(int a, int m);
int main() {
// 步骤1: 产生两个不同的大素数p和q
int p = 61; // 替换为实际生成的素数
int q = 53; // 替换为实际生成的素数
// 步骤2: 计算n=pq和φ=(p-1)(q-1)
int n = p * q;
int phi = (p - 1) * (q - 1);
// 步骤3: 选择一个随机数e(1<e<φ)，满足gcd(e, φ) = 1
int e = 17; // 替换为实际选择的e
// 步骤4: 使用扩展欧几里得算法计算d(1<d<φ)使得(ed ≡ 1 (mod φ))
int d = modInverse(e, phi);
// 输出公钥和私钥
std::cout << "公钥 (n, e): (" << n << ", " << e << ")" << std::endl;
std::cout << "私钥 d: " << d << std::endl;
return 0;
}
// 辅助函数: 计算最大公约数
int gcd(int a, int b) {
if (b == 0)
return a;
return gcd(b, a % b);
}
// 辅助函数: 计算模反元素
int modInverse(int a, int m) {
for (int x = 1; x < m; x++) {
if ((a * x) % m == 1) {
return x;
}
}
return -1; // 如果不存在模反元素
}
2.签名生成算法
cpp
#include <iostream>
#include <cmath>
// 函数声明
int modPow(int base, int exponent, int modulus);
int main() {
// 用户A对消息m签名
int m = 42; // 替换为实际的消息
// 步骤1: 将消息m映射为范围[0, n-1]的数
int n = 3233; // 替换为实际的n
m = m % n;
// 步骤2: 计算s = m^e mod n
int e = 17; // 替换为实际的e
int s = modPow(m, e, n);
// 步骤3: A对消息m的签名为s
std::cout << "用户A对消息m的签名为: " << s << std::endl;
return 0;
}
// 辅助函数: 计算模幂运算
int modPow(int base, int exponent, int modulus) {
int result = 1;
base = base % modulus;
while (exponent > 0) {
if (exponent % 2 == 1)
result = (result * base) % modulus;
exponent = exponent >> 1;
base = (base * base) % modulus;
}
return result;
}
五、实验心得：
密钥生成是整个RSA系统的基础。通过选择两个不同的大素数，计算出n和φ，再选择合适的e和使用扩展欧几里得算法计算d，最终得到公钥和私钥。这个过程中，对数论知识的理解是至关重要的，尤其是关于素数和模运算的概念。
签名生成算法涉及到对消息的映射、模幂运算等步骤。通过将消息映射到指定范围，然后使用指定的指数进行模幂运算，得到消息的签名。这一过程实际上是数字签名的核心，确保了消息的完整性和真实性。