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本专栏专注于分析与讲解【面试经典150】算法，两到三天更新一篇文章，欢迎催更......
专栏内容以分析题目为主，并附带一些对于本题涉及到的数据结构等内容进行回顾与总结，文章结构大致如下，部分内容会有增删：
- Tag：介绍本题牵涉到的知识点、数据结构；
- 题目来源：贴上题目的链接，方便大家查找题目并完成练习；
- 题目解读：复述题目（确保自己真的理解题目意思），并强调一些题目重点信息；
- 解题思路：介绍一些解题思路，每种解题思路包括思路讲解、实现代码以及复杂度分析；
- 知识回忆：针对今天介绍的题目中的重点内容、数据结构进行回顾总结。
Tag
【数学】
题目来源
解题思路
有一种朴素的方法可以计算 x 的平方根，就是枚举 1 到 x \sqrt{x} x ，对一个个数的平方进行验证，时间复杂度为 O ( x ) O(\sqrt{x}) O(x )，这里我们就不介绍了。接下来介绍两种时间复杂度更优的方法：
- 数学表达式；
- 二分法。
方法一：数学表达式
x = x 1 2 = ( e l n x ) 1 2 = e 1 2 l n x \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} = (e^{lnx})^{\frac{1}{2}}= e^{\frac{1}{2}lnx} x =x21=(elnx)21=e21lnx
根据以上公式我们就可以得到 x \sqrt{x} x 的值了。
需要注意的是由于计算机无法存储高精度的浮点值，而指数函数和对数函数的参数和返回值均为浮点数，因此运算过程中会存在误差。例如当 x=2147395600 时， e 1 2 l n x e^{\frac{1}{2}lnx} e21lnx 的计算结果与正确答案 46340 相差 1 0 − 11 10^{-11} 10−11，这样对结果取整数部分时，会得到 46339 这个错误的结果。
因此在得到结果的整数部分 res 后，我们应当找出 res 与 res+1 中哪一个是真正的答案。
实现代码
cpp
class Solution {
public:
int mySqrt(int x) {
if (x == 0) {
return 0;
}
int res = exp(0.5 * log(x));
return (long long)(res + 1) * (res + 1) <= x ? res + 1 :res;
}
};复杂度分析
时间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)。
空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)。
方法二：二分法
我们可以二分枚举答案，从 0 到 x 二分枚举，中点记为 mid，如果 mid * mid <= x，那么 mid 就是可能的答案：
- 如果
mid * mid < = x，更新l = mid + 1并记录res = mid； - 如果
mid * mid > x，更新r = mid - 1； - 如此二分，直到
l > r； - 最后返回
res。
实现代码
cpp
class Solution {
public:
int mySqrt(int x) {
int l = 0, r = x, res;
while (l <= r) {
int mid = l + (r - l) / 2;
if ((long long)mid * mid <= x) {
res = mid;
l = mid + 1;
}
else if ((long long)mid * mid > x){
r = mid - 1;
}
}
return res;
}
};复杂度分析
时间复杂度： O ( l o g x ) O(logx) O(logx)。
空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)。
其他语言
python3
这里展示的是二分查找的python3代码。
py3
class Solution:
def mySqrt(self, x: int) -> int:
l, r, ans = 0, x, -1
while l <= r:
mid = (l + r) // 2
if mid * mid <= x:
ans = mid
l = mid + 1
else:
r = mid - 1
return ans写在最后
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