【机器学习】聚类（三）：原型聚类：高斯混合聚类

文章目录

• 一、实验介绍
• • [1. 算法流程](#1. 算法流程)
  • [2. 算法解释](#2. 算法解释)
  • [3. 算法特点](#3. 算法特点)
  • [4. 应用场景](#4. 应用场景)
  • [5. 注意事项](#5. 注意事项)
• 二、实验环境
• • [1. 配置虚拟环境](#1. 配置虚拟环境)
  • [2. 库版本介绍](#2. 库版本介绍)
• 三、实验内容
• • [0. 导入必要的库](#0. 导入必要的库)
  • [1. 全局调试变量](#1. 全局调试变量)
  • [2. 调试函数](#2. 调试函数)
  • [3. 高斯密度函数（phi）](#3. 高斯密度函数（phi）)
  • [4. E步（getExpectation）](#4. E步（getExpectation）)
  • [5. M步（maximize）](#5. M步（maximize）)
  • [6. 数据缩放函数](#6. 数据缩放函数)
  • [7. 初始化参数](#7. 初始化参数)
  • [8. GMM EM算法函数](#8. GMM EM算法函数)
  • [9. 主函数](#9. 主函数)
• 四、代码整合

高斯混合聚类是一种基于概率模型的聚类方法，采用多个高斯分布的线性组合来表示数据的聚类结构。通过对每个样本的多个高斯分布进行加权组合，该算法能够更灵活地适应不同形状的聚类。

一、实验介绍

1. 算法流程

1. 初始化：
     初始化高斯混合分布的模型参数，包括每个高斯混合成分的均值向量 μ i \mu_i μi、协方差矩阵 Σ i \Sigma_i Σi 和混合系数 π i \pi_i πi。

{ ( μ 1 , Σ 1 , π 1 ) , ( μ 2 , Σ 2 , π 2 ) , . . . , ( μ k , Σ k , π k ) } \{(\mu_1, \Sigma_1, \pi_1), (\mu_2, \Sigma_2, \pi_2), ..., (\mu_k, \Sigma_k, \pi_k)\} {(μ1,Σ1,π1),(μ2,Σ2,π2),...,(μk,Σk,πk)}

2. 迭代过程（EM算法）：

   • Expectation (E) 步骤：
     对于每个样本 X j X_j Xj 计算其由各混合成分生成的后验概率 γ i j \gamma_{ij} γij，表示样本属于第 i i i 个混合成分的概率。

   γ i j = π i ⋅ N ( X j ∣ μ i , Σ i ) ∑ l = 1 k π l ⋅ N ( X j ∣ μ l , Σ l ) \gamma_{ij} = \frac{\pi_i \cdot \mathcal{N}(X_j | \mu_i, \Sigma_i)}{\sum_{l=1}^{k} \pi_l \cdot \mathcal{N}(X_j | \mu_l, \Sigma_l)} γij=∑l=1kπl⋅N(Xj∣μl,Σl)πi⋅N(Xj∣μi,Σi)

   • Maximization (M) 步骤：
     更新模型参数：
     • 新均值向量 μ i \mu_i μi 的更新： μ i = ∑ j = 1 m γ i j X j ∑ j = 1 m γ i j \mu_i = \frac{\sum_{j=1}^{m} \gamma_{ij} X_j}{\sum_{j=1}^{m} \gamma_{ij}} μi=∑j=1mγij∑j=1mγijXj
     • 新协方差矩阵 Σ i \Sigma_i Σi 的更新： Σ i = ∑ j = 1 m γ i j ( X j − μ i ) ( X j − μ i ) T ∑ j = 1 m γ i j \Sigma_i = \frac{\sum_{j=1}^{m} \gamma_{ij} (X_j - \mu_i)(X_j - \mu_i)^T}{\sum_{j=1}^{m} \gamma_{ij}} Σi=∑j=1mγij∑j=1mγij(Xj−μi)(Xj−μi)T
     • 新混合系数 π i \pi_i πi 的更新： π i = 1 m ∑ j = 1 m γ i j \pi_i = \frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} \gamma_{ij} πi=m1∑j=1mγij

3. 停止条件：

   根据设定的停止条件，比如达到最大迭代轮数或模型参数的变化小于某一阈值。

4. 簇划分：

   根据得到的后验概率 γ i j \gamma_{ij} γij 确定每个样本的簇标记，将样本划入概率最大的簇中。

   C i = { X j ∣ argmax i γ i j , 1 ≤ i ≤ k } C_i = \{X_j | \text{argmax}i \gamma{ij}, 1 \leq i \leq k\} Ci={Xj∣argmaxiγij,1≤i≤k}

5. 输出：

   返回最终的簇划分 C = { C 1 , C 2 , . . . , C k } C = \{C_1, C_2, ..., C_k\} C={C1,C2,...,Ck}。

高斯混合聚类采用了迭代优化的方式，通过不断更新均值向量、协方差矩阵和混合系数，使得模型对数据的拟合更好。EM算法的E步骤计算后验概率，M步骤更新模型参数，整个过程不断迭代直至满足停止条件。最后，将每个样本划分到概率最大的簇中。

2. 算法解释

• 通过EM算法的E步骤，计算每个样本属于每个混合成分的后验概率。
• 通过EM算法的M步骤，更新每个混合成分的均值向量、协方差矩阵和混合系数，优化模型对数据的拟合。
• 算法通过迭代过程，不断调整模型参数，使得混合分布更好地刻画数据的分布。

3. 算法特点

• 通过多个高斯分布的组合，适用于不同形状的聚类结构。
• 采用EM算法进行迭代优化，灵活适应数据的复杂分布。

4. 应用场景

• 适用于数据具有多个分布的情况，且每个分布可以用高斯分布来描述。
• 在图像分割、语音识别等领域广泛应用。

5. 注意事项

• 初始参数的选择可能影响最终聚类效果，因此需要进行多次运行选择最优结果。
• 算法对异常值不敏感，但在特定场景下可能需要考虑异常值的处理。

二、实验环境

1. 配置虚拟环境

conda create -n ML python==3.9

conda activate ML

conda install scikit-learn matplotlib

2. 库版本介绍

软件包	本实验版本
matplotlib	3.5.2
numpy	1.21.5
python	3.9.13
scikit-learn	1.0.2

三、实验内容

0. 导入必要的库

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import multivariate_normal
from sklearn.datasets import load_iris

1. 全局调试变量

DEBUG = True

• 该变量控制是否在执行过程中打印调试信息。

2. 调试函数

def debug(*args, **kwargs):
    global DEBUG
    if DEBUG:
        print(*args, **kwargs)

• 用于打印调试信息的函数。在整个代码中都使用了它以进行调试。

3. 高斯密度函数（phi）

def phi(Y, mu_k, cov_k):
    # Check for and handle infinite or NaN values in Y
    norm = multivariate_normal(mean=mu_k, cov=cov_k)
    return norm.pdf(Y)

• 计算多元高斯分布的概率密度函数。

4. E步（getExpectation）

def getExpectation(Y, mu, cov, alpha):
    N = Y.shape[0]
    K = alpha.shape[0]

    assert N > 1, "There must be more than one sample!"
    assert K > 1, "There must be more than one gaussian model!"

    gamma = np.mat(np.zeros((N, K)))

    prob = np.zeros((N, K))
    for k in range(K):
        prob[:, k] = phi(Y, mu[k], cov[k]) * alpha[k]

    prob = np.mat(prob)

    for k in range(K):
        gamma[:, k] = prob[:, k] / np.sum(prob, axis=1)

    return gamma

• EM算法的E步骤，计算每个数据点属于每个簇的概率。主要步骤包括：
  • 初始化一个零矩阵 gamma 用于存储响应度。
  • 对于每个簇，计算每个数据点属于该簇的概率（通过 phi 函数计算），然后乘以该簇的混合系数。
  • 归一化概率以得到响应度矩阵 gamma。

5. M步（maximize）

def maximize(Y, gamma):
    N, D = Y.shape
    K = gamma.shape[1]

    mu = np.zeros((K, D))
    cov = []
    alpha = np.zeros(K)

    for k in range(K):
        Nk = np.sum(gamma[:, k])
        mu[k, :] = np.sum(np.multiply(Y, gamma[:, k]), axis=0) / Nk

        diff = Y - mu[k]
        cov_k = np.dot(diff.T, np.multiply(diff, gamma[:, k])) / Nk
        cov_k += 1e-6 * np.identity(D)  # Adding a small value to the diagonal for stability
        cov.append(cov_k)

        alpha[k] = Nk / N

    cov = np.array(cov)
    return mu, cov, alpha

• EM算法的M步骤，即更新模型参数，主要步骤包括：
  • 初始化均值 mu、协方差矩阵列表 cov 和混合系数 alpha。
  • 对于每个簇，计算新的均值、协方差矩阵和混合系数。均值的更新是通过加权平均计算的，协方差矩阵的更新考虑了数据的权重（响应度），混合系数的更新是每个簇中数据点的权重之和。

6. 数据缩放函数

def scale_data(Y):
    for i in range(Y.shape[1]):
        max_ = Y[:, i].max()
        min_ = Y[:, i].min()
        Y[:, i] = (Y[:, i] - min_) / (max_ - min_)
    debug("Data scaled.")
    return Y

• 将数据集中的每个特征缩放到 [0, 1] 范围内。

7. 初始化参数

def init_params(shape, K):
    N, D = shape
    mu = np.random.rand(K, D)
    cov = np.array([np.eye(D)] * K)
    alpha = np.array([1.0 / K] * K)
    debug("Parameters initialized.")
    debug("mu:", mu, "cov:", cov, "alpha:", alpha, sep="\n")
    return mu, cov, alpha

• 初始化GMM的参数（均值、协方差和混合系数）。

8. GMM EM算法函数

def GMM_EM(Y, K, times):
    Y = scale_data(Y)
    mu, cov, alpha = init_params(Y.shape, K)
    for i in range(times):
        gamma = getExpectation(Y, mu, cov, alpha)
        mu, cov, alpha = maximize(Y, gamma)
    debug("{sep} Result {sep}".format(sep="-" * 20))
    debug("mu:", mu, "cov:", cov, "alpha:", alpha, sep="\n")
    return mu, cov, alpha

9. 主函数

if __name__ == '__main__':
    # Load Iris dataset
    iris = load_iris()
    Y = iris.data

    # Model parameters
    K = 3  # number of clusters
    iterations = 100

    # Run GMM EM algorithm
    mu, cov, alpha = GMM_EM(Y, K, iterations)

    # Clustering based on the trained model
    N = Y.shape[0]
    gamma = getExpectation(Y, mu, cov, alpha)
    category = gamma.argmax(axis=1).flatten().tolist()[0]

    # Plotting the results
    for i in range(K):
        cluster_data = np.array([Y[j] for j in range(N) if category[j] == i])
        plt.scatter(cluster_data[:, 0], cluster_data[:, 1], label=f'Cluster {i + 1}')

    plt.legend()
    plt.title("GMM Clustering By EM Algorithm")
    plt.xlabel("Feature 1")
    plt.ylabel("Feature 2")
    plt.show()

四、代码整合

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import multivariate_normal
from sklearn.datasets import load_iris

DEBUG = True


def debug(*args, **kwargs):
    global DEBUG
    if DEBUG:
        print(*args, **kwargs)


def phi(Y, mu_k, cov_k):
    # Check for and handle infinite or NaN values in Y
    norm = multivariate_normal(mean=mu_k, cov=cov_k)
    return norm.pdf(Y)


def getExpectation(Y, mu, cov, alpha):
    N = Y.shape[0]
    K = alpha.shape[0]

    assert N > 1, "There must be more than one sample!"
    assert K > 1, "There must be more than one gaussian model!"

    gamma = np.mat(np.zeros((N, K)))

    prob = np.zeros((N, K))
    for k in range(K):
        prob[:, k] = phi(Y, mu[k], cov[k]) * alpha[k]

    prob = np.mat(prob)

    for k in range(K):
        gamma[:, k] = prob[:, k] / np.sum(prob, axis=1)

    return gamma


def maximize(Y, gamma):
    N, D = Y.shape
    K = gamma.shape[1]

    mu = np.zeros((K, D))
    cov = []
    alpha = np.zeros(K)

    for k in range(K):
        Nk = np.sum(gamma[:, k])
        mu[k, :] = np.sum(np.multiply(Y, gamma[:, k]), axis=0) / Nk

        diff = Y - mu[k]
        cov_k = np.dot(diff.T, np.multiply(diff, gamma[:, k])) / Nk
        cov_k += 1e-6 * np.identity(D)  # Adding a small value to the diagonal for stability
        cov.append(cov_k)

        alpha[k] = Nk / N

    cov = np.array(cov)
    return mu, cov, alpha



def scale_data(Y):
    for i in range(Y.shape[1]):
        max_ = Y[:, i].max()
        min_ = Y[:, i].min()
        Y[:, i] = (Y[:, i] - min_) / (max_ - min_)
    debug("Data scaled.")
    return Y


def init_params(shape, K):
    N, D = shape
    mu = np.random.rand(K, D)
    cov = np.array([np.eye(D)] * K)
    alpha = np.array([1.0 / K] * K)
    debug("Parameters initialized.")
    debug("mu:", mu, "cov:", cov, "alpha:", alpha, sep="\n")
    return mu, cov, alpha


def GMM_EM(Y, K, times):
    Y = scale_data(Y)
    mu, cov, alpha = init_params(Y.shape, K)
    for i in range(times):
        gamma = getExpectation(Y, mu, cov, alpha)
        mu, cov, alpha = maximize(Y, gamma)
    debug("{sep} Result {sep}".format(sep="-" * 20))
    debug("mu:", mu, "cov:", cov, "alpha:", alpha, sep="\n")
    return mu, cov, alpha


if __name__ == '__main__':
    # Load Iris dataset
    iris = load_iris()
    Y = iris.data

    # Model parameters
    K = 3  # number of clusters
    iterations = 100

    # Run GMM EM algorithm
    mu, cov, alpha = GMM_EM(Y, K, iterations)

    # Clustering based on the trained model
    N = Y.shape[0]
    gamma = getExpectation(Y, mu, cov, alpha)
    category = gamma.argmax(axis=1).flatten().tolist()[0]

    # Plotting the results
    for i in range(K):
        cluster_data = np.array([Y[j] for j in range(N) if category[j] == i])
        plt.scatter(cluster_data[:, 0], cluster_data[:, 1], label=f'Cluster {i + 1}')

    plt.legend()
    plt.title("GMM Clustering By EM Algorithm")
    plt.xlabel("Feature 1")
    plt.ylabel("Feature 2")
    plt.show()