为什么计算样本标准差时，除以 N-1 而不是 N

标准差 是度量数据集离散度的一个重要指标，但是，本篇讨论的不是标准差 的作用和意义，

而是标准差计算中的一个细节问题。

实际情况下，一般会接触到两种标准差：总体标准差 和样本标准差，其中样本标准差是最常用的。

1. 总体标准差

总体标准差 的计算公式： $\sigma \; =\; 1\; N\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; (\; x\; i\; -\; \mu \; )\; 2\; \backslash sigma\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{N\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\; (x\_i\; -\; \backslash mu)^2\}$σ=N1∑i=1N(xi−μ)2

其中， $N\; N$N是总的数据个数， $x\; i\; x\_i$xi表示每个数据，
$\mu \; \backslash mu$μ是所有数据的平均值，即： $\mu \; =\; 1\; N\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; x\; i\; \backslash mu\; =\; \backslash frac\{1\}\{N\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\; x\_i$μ=N1∑i=1Nxi

从公式来看，总体标准差很好理解，目的就是度量数据集中的数据偏离平均值的情况。

2. 样本标准差

再来看样本标准差 公式： $s\; =\; 1\; N\; -\; 1\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; (\; x\; i\; -\; x\; ˉ\; )\; 2\; s\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{N-1\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\; (x\_i\; -\; \backslash bar\{x\})^2\}$s=N−11∑i=1N(xi−xˉ)2

其中， $N\; N$N是样本集的数据个数， $x\; i\; x\_i$xi表示每个样本数据，
$x\; ˉ\; \backslash bar\{x\}$xˉ是样本数据的平均值，即： $x\; ˉ\; =\; 1\; N\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; x\; i\; \backslash bar\{x\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{N\}\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\; x\_i$xˉ=N1∑i=1Nxi

从公式可以看出，样本标准差 计算时，用的 $1\; N\; -\; 1\; \backslash frac\{1\}\{N-1\}$N−11，而不是 $1\; N\; \backslash frac\{1\}\{N\; \}$N1。

3. 为什么除以 (N-1)

为了区分总体标准差中 的数据个数，下面用 $N\; a\; l\; l\; N\_\{all\}$Nall表示总体标准差 中的数据个数，

用 $N\; s\; a\; m\; p\; l\; e\; s\; N\_\{samples\}$Nsamples表示样本标准差中的数据个数。

实际的数据分析中，常用的分析指标是样本标准差 ，总体标准差 用的很少。

因为，总体数据量往往很庞大，而且新的数据不断产生，导致所谓的总体数据 也不断变化。

比如，对于民意调查结果，新闻内容，天气数据，股市交易等等，都是抽样做分析。

既然是抽样分析，那么，计算样本标准差时，是得不到整体数据的平均值 $\mu \; \backslash mu$μ的。

所以在样本标准差的计算公式中，我们用的是样本的平均值 $x\; ˉ\; \backslash bar\{x\}$xˉ，而不是整体的平均值 $\mu \; \backslash mu$μ。

直观上来看，样本的平均值 $x\; ˉ\; \backslash bar\{x\}$xˉ会要比整体的平均值 $\mu \; \backslash mu$μ更接近样本数据集中的数据,

所以，理论上 $\sum \; i\; =\; 1\; N\; s\; a\; m\; p\; l\; e\; s\; (\; x\; i\; -\; x\; ˉ\; )\; 2\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{N\_\{samples\}\}\; (x\_i\; -\; \backslash bar\{x\})^2$∑i=1Nsamples(xi−xˉ)2要比 $\sum \; i\; =\; 1\; N\; s\; a\; m\; p\; l\; e\; s\; (\; x\; i\; -\; \mu \; )\; 2\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{N\_\{samples\}\}\; (x\_i\; -\; \backslash mu)^2$∑i=1Nsamples(xi−μ)2的值小一些。

因此， $1\; N\; s\; a\; m\; p\; l\; e\; s\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; s\; a\; m\; p\; l\; e\; s\; (\; x\; i\; -\; x\; ˉ\; )\; 2\; \backslash frac\{1\}\{N\_\{samples\}\}\backslash sum\_\{i=1\}^\{N\_\{samples\}\}\; (x\_i\; -\; \backslash bar\{x\})^2$Nsamples1∑i=1Nsamples(xi−xˉ)2也比 $1\; N\; s\; a\; m\; p\; l\; e\; s\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; s\; a\; m\; p\; l\; e\; s\; (\; x\; i\; -\; \mu \; )\; 2\; \backslash frac\{1\}\{N\_\{samples\}\}\backslash sum\_\{i=1\}^\{N\_\{samples\}\}\; (x\_i\; -\; \backslash mu)^2$Nsamples1∑i=1Nsamples(xi−μ)2的值要小。

为了调整这个偏差，让样本标准差 能够更接近总体的标准差 ，
样本标准差 公式中除以 $N\; s\; a\; m\; p\; l\; e\; s\; -\; 1\; N\_\{samples\}-1$Nsamples−1而不是 $N\; s\; a\; m\; p\; l\; e\; s\; N\_\{samples\}$Nsamples，

相当于调高了样本标准差的值，使之更接近**总体的标准差 **。

4. 补充

通过（ $N\; s\; a\; m\; p\; l\; e\; s\; -\; 1\; N\_\{samples\}-1$Nsamples−1）调节样本标准差 的过程也被称作贝塞尔校正 （Bessel's correction），

它的数学推导过程可以参考：贝塞尔校正