标准差 是度量数据集离散度的一个重要指标，但是，本篇讨论的不是标准差 的作用和意义，
而是标准差计算中的一个细节问题。
实际情况下，一般会接触到两种标准差：总体标准差 和样本标准差，其中样本标准差是最常用的。
1. 总体标准差
总体标准差 的计算公式： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> σ = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − μ ) 2 \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2} </math>σ=N1∑i=1N(xi−μ)2
其中， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> N N </math>N是总的数据个数， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x i x_i </math>xi表示每个数据，
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> μ \mu </math>μ是所有数据的平均值，即： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> μ = 1 N ∑ i = 1 N x i \mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i </math>μ=N1∑i=1Nxi
从公式来看，总体标准差很好理解，目的就是度量数据集中的数据偏离平均值的情况。
2. 样本标准差
再来看样本标准差 公式： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> s = 1 N − 1 ∑ i = 1 N ( x i − x ˉ ) 2 s = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2} </math>s=N−11∑i=1N(xi−xˉ)2
其中， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> N N </math>N是样本集的数据个数， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x i x_i </math>xi表示每个样本数据，
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x ˉ \bar{x} </math>xˉ是样本数据的平均值，即： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x ˉ = 1 N ∑ i = 1 N x i \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i </math>xˉ=N1∑i=1Nxi
从公式可以看出，样本标准差 计算时，用的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 N − 1 \frac{1}{N-1} </math>N−11，而不是 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 N \frac{1}{N } </math>N1。
3. 为什么除以 (N-1)
为了区分总体标准差中 的数据个数，下面用 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> N a l l N_{all} </math>Nall表示总体标准差 中的数据个数，
用 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> N s a m p l e s N_{samples} </math>Nsamples表示样本标准差中的数据个数。
实际的数据分析中，常用的分析指标是样本标准差 ，总体标准差 用的很少。
因为，总体数据量往往很庞大，而且新的数据不断产生，导致所谓的总体数据 也不断变化。
比如，对于民意调查结果，新闻内容，天气数据，股市交易等等，都是抽样做分析。
既然是抽样分析，那么，计算样本标准差时，是得不到整体数据的平均值 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> μ \mu </math>μ的。
所以在样本标准差的计算公式中，我们用的是样本的平均值 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x ˉ \bar{x} </math>xˉ，而不是整体的平均值 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> μ \mu </math>μ。
直观上来看，样本的平均值 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x ˉ \bar{x} </math>xˉ会要比整体的平均值 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> μ \mu </math>μ更接近样本数据集中的数据,
所以，理论上 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ∑ i = 1 N s a m p l e s ( x i − x ˉ ) 2 \sum_{i=1}^{N_{samples}} (x_i - \bar{x})^2 </math>∑i=1Nsamples(xi−xˉ)2要比 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ∑ i = 1 N s a m p l e s ( x i − μ ) 2 \sum_{i=1}^{N_{samples}} (x_i - \mu)^2 </math>∑i=1Nsamples(xi−μ)2的值小一些。
因此， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 N s a m p l e s ∑ i = 1 N s a m p l e s ( x i − x ˉ ) 2 \frac{1}{N_{samples}}\sum_{i=1}^{N_{samples}} (x_i - \bar{x})^2 </math>Nsamples1∑i=1Nsamples(xi−xˉ)2也比 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 N s a m p l e s ∑ i = 1 N s a m p l e s ( x i − μ ) 2 \frac{1}{N_{samples}}\sum_{i=1}^{N_{samples}} (x_i - \mu)^2 </math>Nsamples1∑i=1Nsamples(xi−μ)2的值要小。
为了调整这个偏差，让样本标准差 能够更接近总体的标准差 ，
样本标准差 公式中除以 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> N s a m p l e s − 1 N_{samples}-1 </math>Nsamples−1而不是 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> N s a m p l e s N_{samples} </math>Nsamples，
相当于调高了样本标准差的值，使之更接近**总体的标准差 **。
4. 补充
通过（ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> N s a m p l e s − 1 N_{samples}-1 </math>Nsamples−1）调节样本标准差 的过程也被称作贝塞尔校正 （Bessel's correction），
它的数学推导过程可以参考：贝塞尔校正