动态规划：多重背包问题-一维滚动数组解法

题目描述

你是一名宇航员，即将前往一个遥远的行星。在这个行星上，有许多不同类型的矿石资源，每种矿石都有不同的重要性和价值。你需要选择哪些矿石带回地球，但你的宇航舱有一定的容量限制。

给定一个宇航舱，最大容量为 C。现在有 N 种不同类型的矿石，每种矿石有一个重量 w $i$ ，一个价值 v $i$ ，以及最多 k $i$ 个可用。不同类型的矿石在地球上的市场价值不同。你需要计算如何在不超过宇航舱容量的情况下，最大化你所能获取的总价值。

输入描述

输入共包括四行，第一行包含两个整数 C 和 N，分别表示宇航舱的容量和矿石的种类数量。

接下来的三行，每行包含 N 个正整数。具体如下：

第二行包含 N 个整数，表示 N 种矿石的重量。

第三行包含 N 个整数，表示 N 种矿石的价格。

第四行包含 N 个整数，表示 N 种矿石的可用数量上限。

输出描述

输出一个整数，代表获取的最大价值。

输入示例

10 3

1 3 4

15 20 30

2 3 2

输出示例

提示信息

数据范围：

1 <= C <= 10000;

1 <= N <= 10000;

1 <= w $i$ , v $i$ , k $i$ <= 10000;

思路：动态规划-一维滚动数组

可以转换为0-1背包，关于0-1背包可以看我的博客：动态规划：0-1背包问题-二维数组和一维滚动数组解法。这里就不讲二维数组的解法了，二维数组的写法其实和一维滚动数组是差不多的，虽然物品数增加了，但是可以进行排列，给个例子：

质量	价值	最大数量
1	15	2
3	20	3
4	30	2

我们可以把数量扩写成如下的形式：

质量	价值
1	15
1	15
3	20
3	20
3	20
4	30
4	30

这样就转换为了0-1背包问题。多重背包在0-1背包的基础上加上了一个数量的维度，把它添上去就好了：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main(){
    int C, N;
    cin >> C >> N;
    vector<int> weight(N, 0);
    vector<int> value(N, 0);
    vector<int> nums(N, 0);
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        cin >> weight[i];
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        cin >> value[i];
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        cin >> nums[i];
        
    for (int i = 0; i < N; ++i){
        while (nums[i] > 1){
            weight.push_back(weight[i]);
            value.push_back(value[i]);
            nums[i]--;
        }
    }
        vector<int> dp(C + 1, 0);
    for (int i = 0; i < weight.size(); ++i){
        for (int j = C; j >= weight[i]; --j){
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);            
            }
        }
    }
    cout << dp[C];
    return 0;
}

然而vector的push_back是非常低效的，所以我一开始做出了下面的改进：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main(){
    int C, N;
    cin >> C >> N;
    vector<int> weight(N, 0);
    vector<int> value(N, 0);
    vector<int> nums(N, 0);
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        cin >> weight[i];
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        cin >> value[i];
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        cin >> nums[i];
    
    vector<int> dp(C + 1, 0);
    for (int i = 0; i < weight.size(); ++i){
        for (int j = C; j >= weight[i]; --j){
            for (int k = 1; k <= nums[i]; ++k){
            	if (j >= k * weight[i])
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);            
            }
        }
    }
    cout << dp[C];
    return 0;
}

代码还可以继续精简，把if的判断放到for循环里：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main(){
    int C, N;
    cin >> C >> N;
    vector<int> weight(N, 0);
    vector<int> value(N, 0);
    vector<int> nums(N, 0);
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        cin >> weight[i];
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        cin >> value[i];
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        cin >> nums[i];
            
    vector<int> dp(C + 1, 0);
    for (int i = 0; i < weight.size(); ++i){
        for (int j = C; j >= weight[i]; --j){
            for (int k = 1; k <= nums[i] && j >= k * weight[i]; ++k){
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);            
            }
        }
    }
    cout << dp[C];
    return 0;
}