1. 极大似然估计与EM算法
极大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是以观测值出现的概率最大作为准则。关于极
大似然估计，假设现在已经取到样本值
了，这表明取到这一样本的概率L(θ) 比较
大。我们自然不会考虑那些不能使样本
出现的θ作为估计值，再者，如果已知当
θ=θ(0)是使L(θ)取很大值，而θ中的其他θ的值使 L(θ)取值很小，自然认为取θ(0)作为未知参数
θ 的估计值较为合理。
在极大似然估计中，独立同分布(IID)的数据
， 其概率密度函数为
似然函数定义为
，对数似然函数定义为
，θ的
极大似然估计为
。
极大似然估计存在着问题是：①对于许多具体问题不能构造似然函数解析表达式 ②似然函数
的表达式过于复杂而导致求解方程组非常困难。正是在这种情况下，才提出了EM算法。EM算法主
要用于非完全数据参数估计，它是通过假设隐变量的存在，极大化地简化了似然函数方程，从而解
决了方程求解问题。
计算极大似然估计(maximum likelihood estimate，MLE)，需要求似然函数的极值。如求正态
分布均值和方差的MLE：
观测数据：观测到的随机变量Y的IID样本
缺失数据：未观测到的随机变量Z的值
完整数据：包含观测到的随机变量Y和未观测到的随机变量Z的数据，
EM算法是一种迭代算法，1977年由Dempster等人总结提出，用于含有隐变量的概率模型参
数的极大似然估计，或极大后验概率估计。EM算法的每次迭代由两步组成：E步，求期望
（Expectation）；M步，求极大（Maximization）。所以这一算法称为期望极大算法。
2. 3硬币模型
假设有3枚硬币，分别记作A、B、C。这些硬币正面出现的概率概率分别是a、b、c。进行如
下掷硬币试验：先掷A，根据其结果选出硬币B或C，正面选择硬币B，反面选硬币C；然后掷选出
的硬币，掷硬币的结果，出现正面记作1，出现反面记作0；独立地重复n次试验(这里n=10),观测结
果如下：1、1、0、1、0、0、1、0、1、1
假设只能观测到掷硬币的结果，不能观测到掷硬币的过程。问如何估计三硬币正面出现的概率，即
三硬币模型的参数。三硬币模型可以写作：
这里，随机变量y是观测变量，表示一次试验观测的结果是1或0；随机变量z是隐变量，表示未观测
到的掷硬币A的结果，θ=(a,b,c)是模型参数。注意，随机变量y的数据可以观测，随机变量z的数据
不可观测。
将观测数据表示为
，未观测数据表示
则观测数据的似然函数为：
即：
考虑求模型参数θ=(a,b,c)的极大似然估计，即：
这个问题没有解析解，只能通过迭代的方法求解。EM算法就是可以用于求解这个问题的一种迭代
算法，下面给出针对以上问题的EM算法：
EM算法首先选取参数的初值，记作：
然后通过下面的步骤迭代计算参数的估计值，直至收敛为止。第i次迭代参数的估计值为：
EM算法的第i+1次迭代如下：
①E步：计算在模型参数
下观测数据
来自掷硬币B的概率：
计算似然函数的期望：
②M步：求似然函数的极大值
计算模型参数的新估计值：
进行数字计算：假设模型参数的初始值取为：
由E步第一个公式，
对y=0与y=1均有
，利用迭代公式（新估计值），得到
由E步第一个公式有
，j=1,2,3...10，继续迭代得
。
于是参数模型的极大似然估计：
。
3. EM算法步骤
EM算法的实现思路：首先根据已经给出的观测数据，估计出模型参数的值； 然后再依据上⼀
步估计出的参数值估计缺失数据的值，再根据估计出的缺失数据加上之前已经观测到的数据重新再
对参数值进行估计；然后反复迭代，直至最后收敛，迭代结束。
EM算法计算流程：
EM算法步骤：
选择模型参数的初值
，开始迭代；
E步：记
为第i次迭代参数θ的估计值，在第i+1次迭代的E步，定义Q函数并计算：
这里，Q函数定义为完全数据的对数似然函数
在给定观测数据Y和当前的参
下对未观测数据Z的条件概率分布
的期望；通过求期望，去掉了完整似然函数中的
变量Z。其实就是用这个缺失数据的期望值来代替缺失的数据，而这个缺失的数据期望值和它的概
率分布有关。那么我们可以通过对似然函数关于缺失数据期望的最大化，来逼近原函数的极大值。
EM算法本质就是含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计法。即EM的E步。
M步：求使
极大化的θ，确定第i+1次迭代的参数的估计值
重复E、M两步，直到收敛。每次参数更新会增加非完整似然值，反复迭代后，会收敛到似然的局
部最大值。
4. EM算法原理
EM算法是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。它的具体思想是：既然不能直接最大化参
数似然函数L，我们可以不断地建立参数似然函数L的下界（E步），然后优化下界（M步）。
利用琴生不等式得到似然函数的下界：
对于每一个样例i，让Qi表示该样例隐含变量z的某种分布，Qi满足条件：
这个过程可以看作是对L（θ）求了下界。对于
的选择有很多种，哪种更好呢？假设θ已经给
定，那么L（θ）的值就决定于
和
。我们可以通过调整这两个概率使下界不断上
升，以逼近L（θ）的真实值，那么什么时候算是调整好了呢？当不等式变成等式时，说明调整后的
概率能够等价L（θ）。根据琴生不等式，等式成立的条件是随机变量取值为常数值，故可得到：
c为常数，不依赖于
。
由于
，那么就有
（多个等式分子分母相加不变，这个认为每
个样例的两个概率比值都是c），那么有：
将
带入前面得到的似然函数下界，可以发现L（θ）的下界函数就是前面定义的
函数。 这一步是E步，建立了L（θ）的下界。
接下来是M步，就是在给定
后，调整θ，去极大化L（θ）的下界，那么怎么确保EM收敛
呢？又如何确保每次迭代都能使极大似然估计单调增加呢？下述两个定理表明了利用EM算法所得
到的估计序列具有良好的收敛性，且其收敛到p(θ丨Y)的最大值。
定理1：设P（Y丨θ）为观测数据的似然函数，
（i=1,2...）为EM算法得到的参数估计序列，
（i=1,2...）为对应的似然函数序列，则是单调递增的，即
。保证了EM算法的每次迭代都使似然函数增大或达到局部极值。
定理2：设
为观测数据的对数似然函数
（i=1,2...）为EM算法得到的参数估计序列，
（i=1,2...）为对应的对数似然序列。
（1）如果P（Y丨θ）有上界，则
收敛到某一值
（2）在函数
与
满足一定条件下，由EM算法得到的参数估计序列的收
敛值
是
的稳定点。
保证了EM算法所得到的估计序列具有良好的收敛性，且其收敛到p(θ丨Y)的最大值。
5. EM算法补充
EM算法的另一种理解：坐标上升法
下图的直线式迭代优化的路径，可以看到每一步都会向最优值前进一步，而且前进路线是平行于坐
标轴的，因为每一步只优化一个变量。就像在x-y坐标系中找一个曲线的极值，然而曲线函数不能
直接求导，因此什么梯度下降方法就不适用了。但固定一个变量后，另外一个可以通过求导得到，
因此可以使用坐标上升法，一次固定一个变量，对另外的求极值，最后逐步逼近极值。对应到EM
上，E步：固定θ，优化Q；M步：固定Q，优化θ；交替将极值推向最大。
EM算法的几点说明：
①参数的初值可以任意选择，但需要注意EM算法对初值是敏感的。
②E步求Q函数。Q函数式中Z是未观测数据，Y是观测数据。注意，
的第一个变元表
示要极大化的参数，第二个变元表示参数的当前估计值。每次迭代实际在求Q函数及其极大。
③M步求
的极大化，得到
，完成一次迭代
。每次迭代都使似
然函数增大或达到局部极值。
④给出停止迭代的条件，一般是对较小的正数
，若满足以下条件，则停止迭代。
